Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Мы определилп, таким образом, остававшийся пока не определенным множитель в соотношении В =йТ, где й — температура в энергетических единицах. Из (12.4) получаем сейчас же теплоемкость газа: $ гх идкхлыгый однолтомныи газ дается каноническим распределением гг„е+ гг;;+ г',1 й)1'=С хр( — " ., '„', *)йр„йрвйр,йкйуйх, мли, заменяя импульсы р, р„, р. скоростями $=у./лг и т. д, гг г е 4/ггггг) и Рсс. 6. и определяя С пз условия нормировки, получим дИ' = — ( —., ь„) ехр ~ — " " ~ ггпу г(г) ггьггх ду е)з.
(12.7) и по всем к, у, з, получаем ве- роятность ггИЧи) того, что абсо- лютная величина скорости ле- жит между и п о+ гЬ: ггуе л(йг(с) = 4к( —,) х (гльг)' Х ехр ~ — ™ о' ггс = г" (гг) ггю хьг) (12.8) ог4'ЛУ/лк Ркс. 7. График г(и) для тех же значений Т дан на рис.
7: Отметим разницу выражений (12.7) и (12.8). Плотность вероятности в (12.7) рассчитана на единицу объелга фазового Это — расггределекие скоростей ко закону Максвелла, График функции 7$) =( — / ехр( — — г дап на рис. 6 для двух аначеннй Т, относящихся как 1:4, Путем интегрирования (12.7) по шаровому слою в пространстве скоростей, т. е. по всем з, т), ь, удовлетворяющим неравенству 'гйр = г'"ьг+ з+ье~с+гго, г ГЛ. 3. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. пространства и имеет максимум при $ ц ь — О.
Плотность вероятности в выражении (12.8) отнесена к интервалу скоростей, равному единице. Она сначала растет с возрастанием скорости, потому что растут объемы 1паровых слоев в пространстве скоростей, достигает максимума при о= и„У2ЯТ/т и затем убывает. Значение и, соответствующее ее максимуму, называют еероятнейшей скоростью. Пользуясь (12.8), можно также найти значение средней квадратичной скорости: вз ~ изоту (и) з ФО ФО -1 ) и'ехр~ — — ~Нор озехр1 — — 1йо~ —. (12.9) 2ЗГ) ~,) ( 2АТ) ~ и ' е ю Таким обрааом, Заметим еще, что средняя квадратичная скорость просто связана со скоростью звука а в газе. Действительно, по формуле Лапласа где М вЂ” молярная масса газа. Так как Б/М к/т, то, очевидно, ту/о' УЗС,/С„а.
Отношение теплоемкостей С„/С. для разных газов колеблется ет 1,2 до 1,66. Следовательно,1 оз и а — величины одного порядиа. Средняя квадратичная скорость у' о'примерно в полтора раза больше, чем а. Для одноатомного газа С,/С., как мы увидим в 5 17, равно 1,66, так что для него у' оз = За/''г' 5 ° 1,34а. $ 13. Распределение Максвелла — Вольцмана для систем е аддитивной энергией В любой системе, анергия которой равна сумме энергий отдельных частиц, для распределения частиц имеет место выражение, аналогичное максвелловскому.
Зто — распределение Максвелла — Больцмана. Чтобы получить его, можно, подобно преж- з 1«. гаспгпдзлзпив максввлла — вольцмапа 209 нему, считать, что «системойь является одна какая-то частица, остальные же играют роль термостата (чпсло их очень велико).
Тогда вероятность состояния этой избранной частицы (например, первой частицы) при любом состоянии остальных дается каноническим распределением ЫИ" (Х,) = сопз1 ехр ~ — ~ ' ~ЫХ«е Н(Х,)) (13Л) где Х, обозначает совокупность координатпимпульсоз однойчас- тицЫ, «1Х, — проиаведение их дифференциалов, О(Х,) — энергию этой частицы. Постоянная, как всегда, должна быть определена пз условия нормировки, она зависит от 9. Выражение (13Л) может быть получено также из канонического распределения для всего газа (совокупности всех частиц), т. е. )И (Х„Х„...,Х») = т Н (Х,) и (Х,) ...
Н(Хм)) ехр )е(Х,«)Х ... аХ . Для нахождения вероятности состояния первой частицы (при любых состояниях остальных), равной )РР(Х,)- ) ... ) (РР(Х„Х„...,Хм), М-1 Г и) е(и = )е'сопз1 ехр~ — фа«. (13.2) е) Докажем зто соотиошские, хотя ово почти очевидно. Пусть т(Х«) 1, если фааоваи точка Ь-й молекулы находится внутри ЗХь и Х(Ъ«) О, осли ова находится иве ЫХП тогда М з = ~чр х(хь), Ь 1 м й - Ч', Х(Хь) 1-1 йо Х(Хь) 1.4Й'(Х,)+О (1 — ЫЬР(Х,)) ~И~(Х ), где н)Р(Х,) — вероитиость молекуле попасть в ИХП в«отому М М Лн (Х,) - 3 ХЩ) - 3 З)р (Х,) -Н З)р (Х,) 1 14 м.
А Леонтович правую часть надо проинтегрировать по переменным Х„Х,, ... ..., Х», определяющим состояния 2-й, З-й, ..., )е'-й частиц. Тогда опять получиьс (13Л). Теореме о распределении Максвелла — Больцмана можно придать несколько иную формулировку: среднее число частиц, находящихся в данном состоянии, Ыл(Х,) равно У оИЧХ,)о). Пользуясь (13Л), получим ГЛ. Х ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОН СТАТИСТИКИ Нужно иметь в виду, что выражения И3.1) и И3.2) имеют разный смысл. Если вспомнить, что вероятность состояния дает назз время пребывания в атом состоянии, то И3.1) дает время пребывания определенной (например, первой) частицы в состоянии с(ХО выражение же И3.2) дает среднее (по времени) число час"тиц в этом состоянии. Обе эти формулировки совершенно равноправны в рамках классической статистики.
Если газ содержит частицы разных сортов (смесь газов) и общие числа частиц разных сортов )Уь Жм ... заданы (исключим из рассмотрения возможность химических реакций), то выражение И3.1) будет иметь место для частицы любого сорта, выражение же И3.2), очевидно, заменится па Н, (Х)) дп,(Х) = У С ехр~ — — '~ йХ, ап,() ) = )т',С ехр( — ' )пг',..., и, (у)) где Х, У, ...
обозначают состояния (совокупность координат и импульсов) одной частицы первого, второго и т. д. сортов, Н,(Х) Не(У), ...— соответствующие энергии одной частицы, Йп,(Х), Йп(у), ...— средние числа частиц в этих состояниях. В качестве примера рассмотрим смесь газов в поле тяжести. Здесь Н, = —,' + пт,уз, Зеч где р — импульс частицы, т, — масса частицы первого газа, з— вертикальная декартова координата частицы. Тогда лз т,г4 ((и, (р, г) =- Н,С, ехр — —, — ~ ) Ир„др„др,Ыхоу~1з.
! Аналогично для частицы второго газа м„гг( а~из(р, з) =- )УзСтехр ~ †.„— — — ") Ыр др„йр, йхду((з. 11роиптегрпровав по импульсам, получим «барометрическую еч формулу» для концентраций ъ, = — ' компонентов смеси 4 ~и~* газов: игг) ( мел) т = соиМ ехр ) — — ') = соней ехр ~ — — ' где М, — молярная масса первого газа. Из этой формулы вытекает, что газы более тяжелые, с большой молярной массой, бу- % 13.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА — ВОЛЬЦМАНА 21$ дуг главным образом сконцентрированы внизу, легкие же газы распространяются на большую высоту. При атом в согласии с хем, что полученное распределение характеризует термодинамически равновесное состояние, температура Т постоянна п, копечно, не зависит от высоты. Не зависит от высоты также и средняя скорость частиц, связанная с температурой соотношением (12.9). Против этого вывода, а следовательно, и против второго начала термодинамики, в согласии с которым он находится, делались возражения.
Возражения эти основаны на следующих «наглядных соображениях» С подъемом на высоту з кинетическая энергия каждой частицьг уменьшится согласно уравнению энергии: то' ™о о— 2 2 Отсюда делался вывод, что, следовательно, и средняя кинетическая энергия частиц (а потому н температура) наверху меньше, чем внизу. Зтот вывод, ведущий к возможности перпетуум мобиле второго рода, основан на недоразумении.
Дело в том, что медленные молекулы, находящиеся внизу, вообще не обладают достаточной кинетической энергией, чтобы подняться наверх. На высоту з будут проникать только те, для которых попо/2~полз. Таким образом, при образовании среднего выпадут более медленпьге частицы, и средняя кинетическая энергия внизу и наверху, как покааывает простое вычисление, окажется одинаковой*). Заметим еще, что в случаях, когда нельзя пренебречь сила11н взаимодействия между частицами, вообще говоря, формула Больцмана (13.2) неверна и не имеет смысла. Действительно, в этом случае энергия отдельной частицы не является определенной величиной ввиду наличия энергии взаимодействия частиц.
В некоторых случаях, если можно рассматривать силы, действующие на частицу приближенно, как внешние силы (считая распределение других частиц заданным), можно все же пользоваться формулой Больцмана (13.2) для распределения частиц по скоростям и координатам как приближенной формулой. В противоположность этому, выражение для распределения Максвелла по скоростям остается справедливым во всех случаях, т.
е. п для жидкостей, и для твердых тел. Действительно, кинетическая энергия всегда равна сумме кинетических энергий отдельных частиц. Поэтому, если мы будем интересоваться только распределением по скоростям, то предыдущие выводы остаются в силе во всех случаях. о) В наиболее наглядной форме омп Еьгоп1ео1 Р.— Х. 1. РЬуь, 1923, а также: ГерцЗоопод 7Г. Кинетическая тоорзя материи.: Пер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
