Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Разберем сначала простейший пример: стержень, рассматриваемый как непрерывное тело, как это делается в феномекологической теории упругости. Рассмотрим малые продольные колебания в атом стержне. Состояние стрежня можно определить заданием смещения точек стержня З(2, х) как функции положения х па стержне и соответствующей скорости $((,х). Уравнение движения стержни имеет вид $20. нОРмАльные колеВАння непРеРывных систем 227 как легко убедиться (если в эти выражения подставить (20.3)), примут вид К 1Х с, ', Х„с~с.
(20.6) Число собственных частот /А2 в интервале (со, со+ /Аю) равно, Очевидно, числу целых чисел г, для которых со, попадает в этот интервал частот. Если поэтому для определенного з оказывается слг/Ь ю, а для з+йз получается сл(г+Лг)/Ь=се+йсо, то величина йз как раз и дает искомое число собственных колебаний, так что ЬЯ Ьг = — йсо. / яс (20.7) Перейдем теперь к рассмотрению колебаний непрерывной системы в пространстве трех измерений.
Сперва мы рассмотрим простейший случай, когда колебания описываются волновым уравнением для скалярной величины. Пусть имеется скалярная величина ср, удовлетворяющая волновому уравнению Чф — — — -0 1 дч с дС (20.8) (где с — скорость распространения волн) и на границах рассмат- риваемого объема граничным условиям (20.9) Электромагнитные колебания, удовлетворяющие уравнениям Максвелла, а также упругие колебания твердого тела, которые будут нас интересовать в дальнейшем, могут быть разобраны аналогичным путем, только здесь получаются несколько болев громоздкиэ решения, 15» Число координат д, не конечное, а они образуют счетную бесконечную совокупность.
Описывая систему с помощью этих коорлияат, к ней уже легко можно применять теоремы статистической физики в той же форме, как онн были сформулированы для систем с конечным числом степеней свободы. Так, например, мы можем вычислить среднюю энергию, приходящуюся на колебания с частотами в интервале (ю, со+ сгю). Действительно, на каждое нормальное колебание приходится средняя энергия йТ «йТ/2 на кинетическую и йТ/2 на потенпиальную).
Поэтому энергия колебаний с частотами в указанном интервале равна Е /Асс = /сТ /гЯ =* — /Аю. Иаг лс ГЛ. 2. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОН СТАТИСТИКИ Уравнение (20.8) может быть получено нз принципа Гамильтона 12 8~г(2 ~ф) — '(()ф)'~ (У = О, причем пределы г, и (, постоянны, а вариации координат обра- щаются в нуль на границах объема У. Величина К - Я(Д)*) играет роль кинетической энергии, а величина Ц - —.,' С*1(фф)'( — потенциальной. Можно, наоборот, рассматривать П как аналог кинетической, а К вЂ” как аналог потенциальной энергии. Рассмотрим решение нашей краевой задачи для прямоугольного ящика со сторонами Ь„ЕИ Ь,.
Граничные условия (20.9) для ф(г, х, у, з) могут быть тогда записаны в виде ф(г, О, у, з)-ф(г, Ь„у, з)-О, ф(г, х, О, г) =ф(г, х, Ьь г) =О, (20ЛО) 2р(г, х, у, О) 9(г, х, у, Е,) -О. Пользуясь для нахождения частного решения методом разделения переменных, полагаем д(()ф(х, у, 2). Чтобы удовлетворить уравнению (20.8) и граничным условиям (20.9), необходимо выполнение уравнения т'ф + Й'ф 0 (20.(() (где йг — некоторая постояннная) и граничных условий ф(0, у, г) =ф(ЬО у, г) О, ф(х, О, г) фЫь г) =О, ф(х,у,О) ф(х,у,Ь,) О, а также необходимо, чтобы д удовлетворяло дифференциальному уравнению д+ и'д О, где ю' = й'с' Величина д совершает, таким образом, простые гармоническио колебания с частотой ы.
Она представляет собой нормальную координату. Уравнение (20.(() с граничными условиями (20Л2) представляет собой нраевую задачу. Решение ее будет отличным от гзз 3 20. нОРИАльные колеВАния непгегывных систем нуля при (Р) +(к, ) +(~. ) (2012) где р, о и т — целые поло1кнтельные числа. При этом соответствУюЩаа ДанномУ Йо„фУнкЦЕЯ 1Р выРазитсЯ так: 8 ~1!2 . лрх . лов . лтх 1РРох(е, У, з) =~ ь ь ь ! э1п ~ эп1 с з1п ~ . (20Л4) Множитель при пронэведении синусов выбран так, что 1р „удовлетворяет условию ) р' (Р=( (интеграл взят по объему параллелепипеда Ь,Е,Ао). Функции 1роо1 я ~рр~о~х, соответствующие разным аяаченням л, ортогональны одна к другой, так что р,р„.,„(Р = 0.
Каждое частное решение типа 1р = д1р представляет собой возможную стоячую волну; величины йх = — ",р, й, = — "' 1 э можно рассматривать как компоненты ее волнового вектора. Общее решение задачи может быть записано в виде суммы всех частных: 1р = Х ЧРос(2) 1роох(л1 У, 2). Р.О.х 1 Это выражение дает разложение любого колебания на стоячие волны. Легко убедиться, что величины К и У выражаются через о...
следующим образом: 2 ЯРохз 0 = 1 о21 е1РохЧРохз РО1 1 РО1=1 что и покааывает еще раз, что оо являются нормальными координатами. Собственные частоты имеют значения ЫРо, = С ~(~Ь) + ~ — ) + ~ — ) . (20.(5) Определим теперь число различных собственных колебаний, волновые числа которых ГЛ. 2. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ лежат в интервале (й, й+ Лй). Для этого поступим так: волновые числа собственных (нормальных) колебаний изобразим вектором й с компонентами /с„, йм й,. Взяв йе йм й, эа координаты в пространстве, видим, что концы векторов йм„соответству2ощих собственным колебаниям, изобразятся точками положительного октанта (р, О, т ° О) с координатами, кратными я/йе я/Ьм я/܄— другими словами, узлами пространственной решетки с элементарной ячейкой объема н~/О ~~ — — я /)т.
Число точек, волновые числа которых й лежат в интервале (й, й+/х)с), будет, очевидно, равно числу точек нашей пространственной решетки, лежащих в шаровом слое между сферами радиусов й и й+ Ь)с. Предполагая, что длина волны 2я/й, соответствующая й, очень мала по сравнению с размерами Ь„ /м 1е нашего ящика, мы получим число таких точек, разделив объем шарового слоя (в одном октанте) 4яй'/х/с/8 на объем элементарной ячейки нашей рашетки я'/)т; в результате дг = ~~ ~~. 2нт Так, очевндяо, определится число различных стоячих волн с волновым числом меятду й и й+Л/т. Последнее можно выразить через частоты. Так как в нашем случае й = м/с, то для числа нормальных колебаний с частотами между ет и от+/тто имеем 2яес (20.17) е) Смл Курант Р., Гелъсерт //.
Методы математической физики, 3-е изд.— Ын Лл Гостехиздат, 1951, т. 1, гл. т1, 1 4. Интересно отметить, что выражение для /12 пе зависит от отношения сторон ящика, а только от его объема т'=Ь,Ь,Ь,. (Конечно, с той степенью точности, с которой верен только что сделанный расчет, легко убедиться, что в нем для /12 возможна неточность порядка Ой/х/с, где Ю вЂ” поверхность рассматриваемого объема.) Можно показать е), что н для ящика произвольной формы, а не только параллелепипеда, число нормальных колебаний в данном интервале частот (в пределе для колебаний, длина волны которых очень мала по сравнению с его размерами) с укаэанной степенью точности не зависит от формы ящика, а зависит только от его объема и дается формулой (20.17). Кроме того, можно доказать, что с тем же приблиятением выражение (20.17) получается и для других граничных условий, $20.
ноРмАльные БОлеБАния непРеРывных систем 331 с гоС Е+ Н = О, с го( Н вЂ” Е = О, й!РН = О, ЙРЕ О. (20Л8) Эти уравнения заменяют теперь уравнение (20.8). На стенках же ящика, которые мы будем считать идеально проводящими, выпол- нены граничяые условия: равенство нулю тангенциальных сла- гающих Е и нормальных слагающих Н: (20.19) Е, =О, Н„=О. Этими условиями заменяется граничное условие (20.9).
В этом случае, так же как и в только что рассмотренном, векторы поля Е и Н можно представить в виде наложения плоских волн, волновые числа которых даются выражением (20.13). Электрическая энергия †) Е 2(Г (аналог кинетической) и маг- Г зя3 нитная энергия — ) Н ог (аналог потенциальной) выражаются зя,) через нормальные координаты также в виде суммы квадратов скоростей и квадратов координат.
Однако в случае излученик колебания поперечны. Каждому возможному значению я(Й„, Й„, Й,) соответствует не одна, а две стоячие волны с взаимно перпендикулярными направлениями колебаний. Из них путем сложения можно уже получить волну любой поляризации. Поэтому число собственных колебаний й2 с частотами в интервале 22ы получается теперь вдвое больше, чем в случае скалярного волнового уравнения, а именно: 2Ъ2 = кзса (ср. с выражением Ь2 (2ОЛ7П. (20.20) например в случае граничного условия дфдп О, а не ф= О, или в случае граничного условия, требующего, чтобы функция ф была периоднчна с периодами Ь1 по х, Ь2 по р и Ь, по 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
