Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 41
Текст из файла (страница 41)
с вем.— М.; Лс ОНТИ, 1935, гл. 1, 1 7. 14» гл. г. основы кляссичкснон статистики 212 Задавя 1. Найти свободную знергню, уразкеняе состоявня, полную знергяю я тенлоемкость идеального мнотоатомного газа. Считать, что ззакмодействяя между молекуламв кет к что каждая молекула имеет т степеней сзободы. Потенцвальвая энергия взаимодействия атомов з молекуле — нронззольязя функцня координат, онределяюжкг состоякне молекулы.
Показать, что о етом случае уравнение состояния является уравненном Нлансйрона, а знергкн зазнокт только от температуры. 2. Применять метод канонического распределения к газу з цяззкдряческом сосуде в поле тяжести. В качестве внешних параметров рассматривать координаты верхней н нкжвей (ялоскнт) стенок. Навтн навлекая ка ннх к показать, что онн связаны мсн>ду собой барометркческой формулой. й 14.
Давление как внешний параметр При решении задачи об идеальном газе мы выбрали в качестве внешних параметров координаты стенок сосуда или зависнщкй от них объем сосуда. Покажем, что зту же задачу можно поставить несколько иначе, если рассматривать газ в сосуде с подвижной стенкой — в цилиндре с поршнем — и в качестве внешнего параметра рассматривать нагрузку яа поршень. Теперь нашей системой является газ и поршень. Пусть цилиндр с гааом сверху закрыт поршнем с сечением, равным единице, на который действует постоянная сила, например груз Р. Состояние системы определяется координатами х„у„г„..., х„, у„, г„и импульсами р,...
р„, молекул газа и одной координатой стенки — поршня, которую будем отсчитывать от дна сосуда и обозначим У (так как она прн выбранном сечении цилиндра равна объему сосуда), соответствующий ей импульс обозначим рт. Сила Р играет роль внешнего параметра. Чтобы увеличить силу Р, нужно совершить работу, равную увеличению потенциальной энергии силы Р, например поднять дополнительный груз с(Р и положить его на поршень. Работа системы равна при этом — УЮР, так что соответствующая среднян обобщенная «сила» будет — Р.
Гамильтонова функция системы имеет вид Н' = Н + РУ + р~»/2М, (14.1) где Н относится к газу н имеет тот ясе вид, что и в 1 12 (формула (12.1)1, РУ вЂ” потенциальная энергия груза, р~»(2М вЂ” его кинетическая энергия. Вычислим интеграл состояний. Ои разек И+ Р»+ „«,~2М) Я' = ~ >2У 1 >1р» ~ехр— е ~ >гх> ... с(г>т>гр>„... с(ря,. Интегрирование по с(х„..., с)рто выполняется так же, как преж- де, и дает в точности значение Е, полученное в 2 12: Я ехр( — — '> = У (2пл>6) ' Ч> (», 6)1 л зн>з е Гл.
3. основы клАссическОЙ стАтистики статистики; в квантовой же статистике такое толкование невозможно. Теорема о равномерном распределении позволяет во многих случаях очень просто находить значение энергии системы в ее зависимости от температуры, значительно проще, чем путем общего метода — нахождения интеграла состояний н затем применения соотношений (11ЛО) и (11.11). Поэтому она чрезвычайно полезна при решении вопросов, касающихся теплоемкости тел. Будем предполагать, что путем соответствующего выбора координат кинетическая энергия системы представлена в виде т 2т1 (д) ' (15Л) так что лз, — л1, л1, = тг' з1п1 (), и, = тг'. Теорема о равномерном распределении состоит в том, что средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы, т.
е. величина р~/2т1, одинакова для всех степеней свободы и определяется только температурой согласно равенству РЗ Е зт1(т) (15.2) Мы докажем несколько более общее положение, а именно, покажем, что З дЫ 6 2 'др; 2' (15.3) Ясно, что если Н К+У(д) и К имеет внд (15Л), тор1дН/др1 = р~/гл» и (15.3) обращается в (15.2). Среднее от р, дН!др, равно Р— = ~ е Р— й)1... йд„йР1...
йР„ дН Г Гв нпе дН 1др ) 1др 1 1 +( ) ° ) бд~ ° ° 12д "рз . ° . ар ) е ' р, — Ыр,. че( ( — н,е дп зт-1 ° О где т1 зависят от масс частиц, кроме того, онн, вообще говоря, также функции координат. В прямоугольной системе координат, очевидно, в1< — просто масса. В сферической же системе, например, для случая одной материальной точки Р', Рт Рз 2тгзз!и б 2тг З гк рьвномврнов глспгвдвлвнив кинвтичвскои энвггии 215 Интеграл по Р, можно взять по частям: +б +ю -н,е дН (' де и'е е ' р — е(р = — 6 ) Р1 — ор едр ~,) др ь э 40 СО = — 6[р,е ~~1"„+ 6 ~ е ~~~яр,.
(15.4) ЮО Величина е "" стремится к нулю при р, — ~ гораздо быстрее (как е "'~'"'), чем р, возрастает; следовательно, член в квадратных скобках обращается в нуль. Поэтому р,— 6) ... ) дд,...Йу„НР,...е(р„е~ и зт, 1 др дН де — = й. е дд; (15.5) Это условие выполнено, например, для осциллятора. Для него 1 ~ре 2~ З дН ва — — Ю Н = —, ~ — + тюзде~ так что (15.5) дает —. д — = — дз = У = —. 2~т ! 2 дд 2 2 Подобным же образом, если выполнено укаэанное условие, легко доказать равенства д,— =О, дН дчь (15.6) дН Р,— =О, дрь где (чь)ь Действительно, поступая подобно прежнему, находим, например, ди (' (' дн сг-нле д — = ) ... ) д е Нд1 .. ЫЬЙР~ ° ° ° е(Рп= гМ, =,) ' ' ' .) де ев ~„р р Г д,-н'Š— йе ) ...
) Н,ЙЧз ° . <(т' е(Р1 ° е(Ри') — ~(Ч1 ,) де зп-1 ч,е~ ~ „Е~ Н Н~,~ [ -н~е1+- ел-1 так как интеграл в силу нормировки вероятности равен единице. Значение 1=1 мы взяли произвольно. То же выражение мы получили бы для любого ь Таким образом, (15.3) доказано. При выводе соотношения (15.3) мы нигде не пользовались тем, что р; — импульс. Существенно было только, чтобы квадратная скобка в (15.4) равнялась нулю. Поэтому если при возрастании координат Н тоже возрастает достаточно быстро, то и для проиаводных по координатам имеется равенство, аналогичное (15.3), а именно (21): Гл. т. сснспы классичкской стАтистики 216 где учтено, что прп д,-+ ~ со [е 1 = О.
[Точно так же спраг -я~от+и ведлнвы равенства дП вЂ” =О ' дс„ дГУ ,д — '=О, ддь (15.7) и притом при любых 1 и й, в частности, при г й [22Ц 3 16. Средине значения произведений координат для системы, совершающей малые колебания Если потенциальная н кинетическая апергвп системы — квадратичные формы с постоянными козффициентами, то, пользуясь соотношениями (15.5) и (15.6), можно свести нахождение средних значений д~~~, к решению статической задачи, относящейся к той же системе.
Пусть потенциальная ввергая имеет знд 2(г = ч', ь)АТ)еь )ь (16Д) дН дУ с. — тг — = 86., г дть дт~ 1ь' (16.2) где (1, Г з, бы=[0, У гвтыаая (16.2), вмеем Д д)ьсет) = 86 ь. г=г (16.3) Если мы будем считать индекс г заданным, то зто — система н уравве. най для л величин Спг О = 1, 2, ..., о). Совершенно такую же систему мы получим, если будем решать статическую задачу: в направлении одной обобпгенвой координаты Тг действует постоянная сила 8; найти значения всех обобщенных координат. Обозначим координаты при равновесии под действием атой силы через Ць. Для их нахождеввя напишем условия равновесия: или [23] ч; ь„Р,=86„.
(16.4) Уравнения (16.3) и (16.4) имеют единственное решение, так кан соответствующие км однородные уравнения имеют единственное решение (), ~0 для всех з, поскольку етн значения по сделанному нами предпо- и представляет собой существенно положительную величину, а, следовательно, звачеяиям сг 0 (г = 1. 2, ..., и) соответствует устойчивое равновесие. Соотношения (15.5) к (15.6] моною таперь записать так: $11. теплопмкость РА3ОВ В клАссическОЙ стАтистикп 21у где а' зазпсит от упругости н плотности струны н ее сечения, Решевке его, кзк легко убедиться, будет е — х (1 — х), х ~х, е а( — х (! — х), х ~х.
17 -т(х)= Поэтому среднее значение произведения смещений при тепловом движе- ния струны выразится тзк; е а1 хт (( — хз), х~ ~( х, 8 а1 — х (1 — х), х )х. Средний квадрат смещения (х~ = х, = х) равен — 9 (т (х))' = — з х (1 - х). аз1 Зависимость тз от х показана на рнс. 8 штриховой лилией. $17. Применение классической статистики к вопросу о теплоемкостн газов В этом параграфе мы разберем вопрос о теплоемкости одно- атомных и многоатомных идеальных газов (идеальных, т.
е. настолько разреженных, что силами взаимодействия между мояекуламн можно пренебречь) н результаты теории сравним с данными опыта. Это позволит нам сделать ряд выводов о границах применимости классической статистики. Прн решении вопросов о теплоемкостн в тех случаях, которые ыы будем здесь рассматривать, можно воспользоваться тео- ложенпю в отсутствие внешнлх сял соответствуют устойчивому равновесию. Поэтому решения уравнений (16.3) и (16.4) совпадают. Таким путем получаем следующий результат.
Величина теть равна звачеквю координаты т„пря равновесии, если в направлении 1-й координаты действует сила В. Эта теорема оказывается полезной, в частвостп, в теории твердого тела. рх Рассмотрим в качестве примера струну, закрепленную концами в х точках в=О я х=). В качестве ко- х~ т" е ордннаты д д (х) возьмем попе- х~ ~уел( речное смещение центра масс сечения.
Если в точке х=хз действует х" лх поперечная сялз В, то прн равновесии струна примет вяд яоманой с Рнс. 8. углом над местом ее приложения (сплошная линия на рнс. 8). Уравнение равновесия струны имеет внд , ззд аз — =6 6(х — х ), Гл. 3. Основы клАсснчвскоя стАтистикн 218 ремой о равномерном распределении, не прибегая к довольно громоздкому общему методу вычисления фазовых интегралов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
