Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 37
Текст из файла (страница 37)
т т О о Однако, в силу условия эргодичностп, среднее по времени Р зависит только от энергии Н(Х,), а именно: 1'= ЯН(Х,)1, с учетом этого Р ) юв(Хо) 12 [Н(Хо)1 о2Хо. Но юо(Х,) отлична от нуля только при Н-Е; поэтому 2,(Н) можно вынести из-под знака интеграла, положив при этом Н Е. В результате получим Р = )г (Е) 1 юв (Хо) КХо = ~г (Е) = Р, и равенство средних доказано. $ Э. ОБ ОБОСНОВАНИИ КЛАССИЧЕСКОЕ СТАТИСТИКИ НН Т (-)- )= Нш — ) де= П>ы о О 1 ('дР . (>о!о дг! т т (>дг т Т о (8ЛЦ Поэтому должяо быть кулем к средяее статистическое (др>д>). Ово равно — вн зн 1-1 1=1 (8Л2) Пры этом Хь мы должны вырааить согласво уравнениям дзижевив е) 1(тобы уяснить себе смысл многозначных ввтегралоз уравяеяый движения, полезно разобрать ивтегралы движения' скстемы с гамыльтоыовой фупкцяей 2п,з ),гц«( е+ з з 1 11 3 ЗЗ прв иррациональном отыошеыкп ю>/ю>.
(Это — колебавые кваавупругой сис- темы с двумя степенями свободы, дающые в плоскости Тн д, «фигуры Лвс- сажуь.) Здесь один иытеграл ыз трех, ве содержащых 1,— многовначныд. Ов имеет вид Р> ( Рз — агс>8 — — — атссб — = () = сопзь ю о>О о> «од з я содержит арктавгевсы, т. е.
мыогозяачвые фуыкциы р и Ф Могут лв существовать эргодыческые мехавыческые системы в смысле данного выше определения (8.8)? На первый взгляд кажется, что сразу можно показать вевозможвость этого. Действвтельво, система заведомо, кроме интеграла звертив, вмеет еще другие интегралы; пусть одын вз ввх Фе(Х) ав. Среднее яо времевы от функции Ф«(Х), очевидно, равно ав и завысит вовсе ве от постояввой интеграла энергии К ои и>, а от и,.
Дело, однако, в том, что для эргодической системы левые части всех интегралов уравнений дввжевкя Фл пь, Ч'л ()л (где й 2, ..., н), кроме ивтеграла энергии, суть мнововначные е) функции коордвват и импульсов в притом такие, что ых нельзя преобразовать к функциям одвоавачвым.
Может, однако, показаться, что однозначные интегралы, помимо ыятеграла зверски, можно сразу укааать — это интегралы количества движения ы момента количества движения. Но системы, рассматриваемые в термодивамяке, ве имеют вв квтегралов колвчества движения, ви квтегралов моментов количества двыжекия.
Действительно, вапрвмер, в случае газа при отражения молекулы от степки меыяется ее количество движения. Вместе с этим мевяется количество движения (ы момевт количества движения) всего газа. В силу сказаияого, очевидно, и была необходима сделаыыая прв определеыыя эргодвчыостп оговорка об однозначности функции Р(Ф р). С точки же аравия физической задачи, очевядво, имеет смысл рассматривать только однозначные функция состояния. Исхода из сделанного замечания о неоднозначности ввтегралов эргодических систем, можно прийти к выводу о веизбежлостп микрокавоыического распределения.
Приведем этот вывод. Нашей задачей является вайтя такое распределеыяе вероятности и(Х), что взятые с его помощью средвис статистические дают средние по времена. Рассмотрим среднее звачеыие производной по времени от огравичевкой фувкцкы Р(Х). Очевидно, средыее по времеыя от дРДН равно вул>о.
Действительно, ГЛ. 2. ОСНОВЫ КЛАССИЧНСКОИ СТАТИСТИКИ 192 через Хы так что дН ° дН Х=т= Хз =Р= — )=1,2,... л. дР~' з+~ г де~' Преобразуем ивтеграл в (3.12) путем ввтегрироваиия по частям. Учитывая Ври этом, что и пропадает на гравицах ивтегрвровавия и что Х дХ вЂ” О, получим А дХ а (АР) ~Р ~~„Х ди Прираввпвая зто выражение пулю п прииимая во ввимапие произвольиость функции Р, приходим к выводу, что должно обращаться в куль подыитегральвое выражеиие, т.
е. зв ~)~ Х„д" =О. дХ ь-г Это уравиевие совпадает с уравнением (4.4) и показывает, что м удовлетворяет условию стациоварпости распределения. Зиачпт, в силу (4.5) ю должно зависеть только от интегралов уравиеинй двии~евия Ф~ =Н, Фа ° °, Ф, Ч'з, ° ", Ч' (всех, кроме Ч',). При атом, очевидно, м должна быть одиозпачвой фувкцией коордвиат п вмпульсое. Но для зргодической системы только интеграл Ф, из Н вЂ” одвозпачвый, остальные — мпогозвачпые, и притом из ппх нельзя построить одвозвачиой фувкции, так как если бы зто было возможво, то зта функция, в противоречие с предположением, была бы одиозиачвым интегралом. Поэтому ю может зависеть только от интеграла энергии.
Поскольку же мы рассматриваем систему задаииой энергии Е, то вероятность состояний с ввергией, отличной от Е, должяа равняться пулю, и„ зиачвт, вероятность будет иметь микрокаиоиическвй вид: и = Сб(Н(Х) — Е). Заметим еще, что Бпркгоф и Нейман кашля пеобходпмые я достаточные условия, которым должны удовлетворять фааовые траектории зргодическвх систем '). Изаествы примеры зргодических систем.
При применении статистики пуп<но иметь в виду, что для наиболее простых систем условие эргодичности заведомо неимеет места. Например, для модели идеального гааа с неваанмодействующими частицами в сосуде с гладкими стенками (т 1) ие только общая энергия газа, но и энергия каждой частицы представляет собой однозначный интеграл движения, от которогоаависят средние по времени. Так же обстоит дело для квазиупругой системы со многими степенями свободы (потенциальнаяэнергия которой — квадратичная форма).
И здесь энергия каждого [з) Сжатый и критическяй обзор зргодических теорий можяо найти в квиге: Хилчип А. Я. Математические освовавия статистической мехаикии.— Мл Гостехиздат, 1943.) я 9. смысл ВЕРОятности В клАссическои стАтистике 193 й 9. О смысле применения понятия вероятности при обосновании статистики па основе классической механики В предыдущем параграфе мы поыагааы, что дая механических сыстеи, удовлетворяющих трвбоваыыям зргодячыостя, равенство средних по времени и средних мпкрокаыоынческых является теоремой механики. Поыятяе вероятности прн таком подходе к вопросу имеет только фарнальныа смысл я не связывается ыя с каким коллективом.
Этому понятию нет места в механической теория, где последующие состояния системы с ыензбежыостын и притом одиоаыачыо вытекают пз ее начального состэяяыя, Вероятность состояния является прн этом просто мерой относительного времени кребыванва в данном состояыяп. Именно вероятность Ит(Ф) того, что система находятся в некоторой области лг фааового пространства: )у(эг) = ~ю(Х)ВХ, равна отыосытельыому времени пребываыыя сыстемы в области Ф. Дейст- вытавьво; пусть фуыкцяя Р(Х) раева единице для точек Х, лежащих в об- несли лг, я Р(Х) раева нулю дая точек Х вые области аг.
В силу равенства средажх Р н Р ымееы Р (Х) ю (Х) НХ = 1!а ~ Р (Х) йн 1 Г У е Прп таком выборе Р(Х) левая часть этого равенства и 1ть)аХ = )Р (эг), где аятегрыровавае распростраыеяо 5Ф обращается в ыа область эу. В прййой же часты 1пв ~ Гт)г будет, очевидно, разеы Пж 1 ( т,) е йй М. А. Леонтович т т гдэ ~ гф нормального колебания — однозначный интеграл двюкеиия, от которого зависят средние по времени. Тем не менее и к таким системам мы будем применять выводы классической статистики. Оправданием этого служит предположение, что если, например, в случае указанной модели газа ввести между частицами силы взаимодействия, то система будет удовлетворять условию эргодичностп. Предполагается, что для этого достаточно взаимодействие настолько малое, что соответствующей гмр энергией при всех вычислениях, выполняемых в статистической физике (напримгр, в выражении для миярояаноничгского распределения), можно пренебречь. хаким образом, прн вычислениях взаимодействие можно не учитывать.
Также и в случае квазиунругой системы (связанные осцилляторы) необходимо предположить, что введение уже очень малых нелинейных связей делает систему эргодической. ГЛ. П ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ сумма промежутков времеви, в течение которых точка, изображающая состояпие системы, находилась в области Ж Таким обрааом, Т И'(Ф) = Ппг— т т В частности, НИ' = юоХ дает отпосптельяое время пребывания изображающей точки в элементе оХ. Рассматривать относительные времеиа пребывапия как вероятности в формальпо математическом смысле оказывается воаможпым потому, что опи удовлетворяют тем же соотношениям, что и вероятности. Действительио, время кребывакия Т з области %', состоящей ка областей.Ф п М, очевидно, равно Т„д+ Т ~.
Поэтому Т Т Т, 1пп — = Пш — + 1пп— Т Т Т что соответствует теореме сложения вероятностей И'(%') = И" (Ф) + И'(М). Посмотрим еще, какой смысл имеет понятие условной вероятиости прп кктерпрвтации ее как отпосительвого времеви пребывавия. Разобьем фазовое простраиство яа два: одпо определяется частью иеремеппых Э п р (область в этом еподпростракствеэ обозначим Ф'); другое подпростраиство определяется остальными переменпыми (область в кем обозначим зб"). Область в полном фазовом пространстве зэ дается заданием областей зэ' и ль", так что вероятность состояния в областв Ф можно выразить в виде И'(лс) = )Р(Ф', зэ").
Условная вероятность того, что переменные первой группы лежат в области Ф' при условии, что перемеппые второй группы лежат в области за"„ равна по определению условпой вероятности Ж(лФ) И'(Ф', Ф") Изд" ("ь) =й(~-)= И ( З-) Здесь И'(М") — вероятность того, что перемекиые второй группы лежат в области .Ф", а перемепиые первой группы имеют любое акачекпе.
Прииимая во внимание, что Т,д/ ~Ф Т )У(зД' ~")-Пш ' Т И'М') =Пш 'Т ° получим Т,, лг" ( ) 1ш Т ~Ю Таким образом, условная вероятность дает отяошепке времени пребывания системы в состоянии, когда переменные первой группы лежат в области лх', а перемепяые второй группы — в области зэ", ко всему времени пребывания в состояиии, когда перемеппые второй группы лежат в области Ф". Например, условная вероятность определенных значений импульсов при фиксированных координатах дает отношение времени пребывапня системы в состояиии с этими импульсами пря фиксироваикой ев копфигурации ко всему времени пребывапия в данкой конфигурации, З ю.
теоэамл гнввсл о клнопичвском гхспгвдклкнии 193 $10. Система в термостате. Теорема Гиббса о каноническом распределении В предыдуших параграфах мы рассматривали системы, энергия которых ке меняется прп любых процессах в пей, если но изменяются внешние параметры. С точки зрения термодинамики такой системе соответствует система энергетически иэолированнал, система, заключенная в жесткую адиабатическую оболочку Сейчас от рассмотрения такой энергетически изолировапной системы мы перейдем к рассмотрению системы, обменивающейся энергией с окружающими телами.
Этому второму подходу соответствует с термодпнампческой точки зрения система, окруженная очень большим терлосгатом определенной температуры. Ясно, что и то, и другое представление — достаточно большая шдеализация. Прп этом модель «система в термостате» является, пожалуй, даже более удовлетворительной, чем представление о системе. в течение какого угодно промежутка времепп абсолютно не обменивающейся энергией с окружающими телами. 11роме того, хотя дальнейшие выводы можно сделать и пользуясь моделью изолированной системы, по применение представления о «системе в термостате» их значительно упрощает.
Поэтому сейчас, исходя нз микроканонического распределения для изолированной скстемы, мы постараемся вывести выражение для вероятности состояния «система в термостате». Поступим следующим образом. Пусть мы имеем энергетически иаолнровапную систему Х, которая состоит из двух частей: Х, (и степеней свободы, н координат и п импульсов) и Е» (гн степеней свободы, т координат и л» импульсов). Состояние системы Е, и будет интересовать нас в дальнейшем, система же Х» должна изображать «термостат», в котором находится Ео Состояние системы Е, будем изображать вектором Х (Х, = д„Х„«» = р„, Й = 1, 2, ..., и; д» и р» — координаты н импульсы системы Х,). Соответствующийэлемепт фазового объема обоапачпм через йХ. Состояние системы ~» задается вектором У (компоненты у; Д„у „, Р,; йУ— элемент фазового объема).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
