Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Поэтому здесь необходимо привести основные положения этой последней и выяспить смысл их, имея в виду применение к вопросам статистической физики. Современная математическая теория вероятностей, как всякая математическая теория, строится, исходя иэ ряда определений и аксиом, относящихся к понятию вероятности. Пользуясь ими, можно, зная вероятности одних «событий» (под событием понимается совокупность значений одного илп нескольких пе- ") Гиббс Дм. В. Осиовиыо принципы статистической механики.— Мб Лц Гостекиадат, 1946, гл. 1.
оо) Уиттекер Е. Аиалитическая динамика.— М.; Л.. ОНТИ, 1937, гл. Х1. 176 гл. 1. т'еОРемы механики и понятие Вероятности Иг(У) = Х Иг(х ). (ЗЛ) Если со ' и со " — две разные совокупностп значений (не имеющие общих точек — «непересекаюппгесяь) и Я' — совокупность значений хд„хд,, ..., хд„а до " — совокупность значений хдгды хо~+э, ...,хд,, то, очевидно, И'(Ф) = Иг(Я") + И'(со ") («теорема сложения вероятностейгд). Пусть теперь мы имеем две переменные: переменную х, принимающую аначения х„х„..., х„, и переменную у, принимающую значения у„у„..., у .
Кроме того, задана положительная функция Иг(х, у), причем «=а,ь=пв И'(хь у,) = 1. г=ььдм Тогда величина И'(х, у) называется вероятностью значений х, у. Вероятностью совокупности значений 97 (хд„° ° хд~ угг д."ур,) называется величина г=аь=а И (гУ) Х И (х Ру „). (3.2) Для двух разных непересекающихся совокупностей Ю и й' если в7 — 97'+ в'", имеем Иг(й7) *= И'(вг') + И'(Ж" ). (3.3) д) По вопросу об основах математической тсоряв вероятностей см:.
Ноак«город л. Н. Основные понятия теория вероятностей.— 2-е пад.— М.: Паука, 1974, а также: Вернигтдйн С. Н. Теорвя вероятностей.— 4-е пад.— М.; Л.: Гостехпадат, 1949; Гневен«о В. В. Курс таорвн вероятностей.— 5-е яад.— Мл Наука, 1999. Здесь же мы ве сгремкмся пп к обпщостя,вккстрогостя, прваодя а дальпейщем только осяоапые моменты для того, чтобм было ясно, что попяма«тся под «формальной теорией вдрояткостейм ременных — «случайпых величине), находить вероятности других событий. Вероятностью событий нааывают положительные числа, обладающие свойствами, которые мы приводим здесь, ограничиваясь частным случаем, когда случайная величина принимает конечное число значений о). Пусть переменная х принимает я значений: хь хы ..., х„н о Иг(х) — такая положительная функция х, что ~д И'(хг) =1; вес=« личина гт'(х) называется вероятностью значения х.
Пусть Ф— совокУпность значений хд„хдд. ° ° хд; ВеРоЯтностью этой совокупности значений называют величину з з. фогмлльнок и еизичксков понятия вкгоятности Вероятностью значения х называется величина тв И' (х) = ~~'.~ тт' (х,ут). (3.4) Условной вероятностью у при заданном х называется величина и' (р) = (3.5) ~1 (=) Если И'.(у) не зависит от х, то случайные величины х н у называются статистически независимыми, и )у(х, р) Ър,(х)Итв(р). Совокупность этих положений (и их обобщений на случайные величины, принимающие бесконечное число дискретных или непрерывных значений в пространстве любого числа измерений) и всех теорем, которые из них выводятся, мы будем называть «формальной теорией вероятностей».
Чтобы эта теория могла быть применена в вопросах физики (а также и любой другой конкретной науки, например биологии), нужно, однако, сделать еще один важный шаг — вложить конкретный смысл в понятие вероятности. Дело в том, что во всех приложениях понятие вероятности события отождествляется с относительной частотой его появления прн тех илн иных условиях. В формальной же теории вероятностей конкретный смысл понятия вероятности остается произвольным. Вероятность никак не связывается с какой бы то ни было частотой появления, и поэтому, в сущности, формальная теория вероятностей может применяться так, что вероятности вообще приписывается смысл, ничего общего с частотой появления события не имеющий. Прн решении этого вопроса в приложениях можно идти двумя путями.
Можно, во-первых, при каждом применении определить смысл ряда понятий: вероятности, условной вероятности и статистической независимости. Такой путь мыслим в статистической физике для ограниченного круга вопросов, в классической статистической термодинамике этот путь намечен в Я 8 и 9. Однако гораздо более общее и плодотворное решение этого вопроса получается на другом пути. Этот путь, систематически проведенный Мизесом, состоит в том, что уже в рамках математической теории понятие вероятности события связывается с относительной частотой его появления в целой последовательности событий.
Хотя при проведении атой идеи встречаются серьезные математические трудности, однако, по-вндимому, они могут быть преодолены. Основным является понятие «коллектива». Коллективом называется бесконечная последовательность значений одной переменной (или нескольких переменных), обладающая следующими двумя свойствами. 1». М. А. Леонтович (тз Гл. к теОРемы мехАники и понятие ВБРОятнОсти 1. Пусть среди и первых элементов последовательности п(х) элементов, которым соответствует значение переменной л, суще ствует предел »Г (л) 1на— (3.6) й-~а или, в случае двух переменных, предел )г'(х,у) = Вш — „' а(«, Р) а ю который нааывается вероятностью значения х.
2. При любом выборе «подпоследовательности» и' элементов, являющейся частью последовательности п, существует предел 1т" (х) = 1пп —, (3.ба) «, в' причем и" (,) "(,) ж' (т ) йу («) ' (3.66) Это второе свойство может быть названо произвольностью выбора (151.
Таким образом, при атом подходе вероятность всегда характеризует определенный «коллектив», и каждой операции над вероятностями соответствует построение по определенному закону нового коллектива. Например, при переходе от одного коллектива к другому, элементами которого являются совокупности элементов первого, мы получаем коллектив, для которого вероятности равны сумме первоначальных. Если из коллектива значений двух переменных л, у ваять последовательность тех значений, для которых х имеет заданное значение, то легко показать, что зта новая последовательность тоже будет коллективом, причем для него вероятность равна условной вероятности И',(у).
Такая постановка задачи сразу свяаывает вероятностные понятия с частотой появления и потому поаволяет ясно сформулировать аадачу во всех вопросах, где эти понятия применяются. Вероятностные понятия применяются к явлениям, которые могут быть неограниченно повторены при некоторых неизменных условиях. Последовательность появления определенных событий при этих условиях рассматривается как коллектив, и, таким образом, открывается возможность применения теории вероятностей к конкретным вопросам. Уже в квантовую механику входит понятие вероятности, которое имеет в ней именно такой смысл.
Поэтому опирающаяся на квантовую механику квантовая статистика также неизбежно базируется на подобных представлениях. В статистической теории процессов, например в теории броуновского движения, применяют понятие вероятности перехода и существенно польауются понятием статистической независимости. д 4. совокупности систем Все эти понятия могут получить определенный физический смысл только при условии, если понятие вероятности связывать с не- которой последовательностью событий — коллективом.
$ 4. Совокупности систем Мы уже видели, что, вместо того чтобы рассматривать движение одной системы, можно рассматривать движение совокупности неаависимых систем. Рассмотрен этот вопрос более подробно. Пусть имеется ]д систем (будем считать, что число Н неограниченно велико). Состояние каждой системы изображается точкой в фазовом пространстве. Доля общего числа систем, фаэовые точки которых в момент с заключены в элементе дХ дХгдХ»... НХ» ддгдд»...
др, составляет ю(Х, с) дХ. Функцию и (х, с] = ю(ди д«, ..., р„, с) называют где»елея илетиегтъю распределения. Ее можно также рассматривать, как илетиость еереитиести того, что система имеет данное состояние. (Очевидно, что «произвольность выбора» здесь не яспользуется, так что понятие вероятности можно понимать и чисто формально.] С течением времена изображающие точки нашей совокупности движутся в фазовом пространстве, поэтому меняется и плотность их распределения и.
Найдем законы изменения этой функции. Все системы, которые в момент с находились в объеме дХ, через промежуток времени дг перейдут в алемеит дХ', получающийси иэ ЫХ путем его движения в фазовом пространстве. Значит, число систем в ЫХ' к моменту с+ дс равно числу систем в дХ к моменту с, т. е. и (Х', с+ дс)г(Х' ю(Х, с)г(Х.
(4.1) В терминах теории вероятностей это равенство выражает, что фазовая точна, находившаяся в момент с в элементе г(Х, с достоверностью окажется в элементе дХ' в момент С+ дс. В силу теоремы Лкувилля ЫХ' ЫХ и, кроме того, Х имеет в фазовом пространстве координаты дь д», ..., р, а точка Х' — фазовые координаты дг+фгп, де+4»дс... р„+Р ыс поэтому получаем ге(х; с+с(с) ю(Х, с), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
