Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 32
Текст из файла (страница 32)
О СМЫСЛЕ ПОНЯТИЯ ВЕРОЯТНОСТИ $1. Уравнения Гамильтона. Фазовое пространство Здесь рм р» — обобщенные координаты н импульсы, Н(Ч~ Р) Н(уь Ч»~ . ю Ч ) Р~ Р» ° ю Ра) — гаиильтоноеа функция системы. Она равна полной энергии системы, выраженной в функции от координат и импульсов. Внд этой функции определяется рассматриваемой системой. Гамнльтонова функция Н связана с функцией Лагранжа Ь соотноше- нием ;~: р»у» — Г„ здесь и обозначает число степеней свободы системы. Если движение рассматривается в инерциальной системе координат, если также отсутствует магнитное поле и можно пользоваться законами нерелятивистской механики (в дальнейшем мы почти исключительно и будем иметь дело с этим простейшим случаем), то гамильтонова функция равна сумме кинетической энергии К и потенциальной энергии ()о Н-К(д, р)+()(д).
Интегралы движения, т. е. решения системы дифференциаль- ных уравнений (1 1), могут быть представлены в виде Р»- Р»ЖЗЛ,В, У»=ф» (УГ,Рн~), й, 1 — 1, 2, ..., и, (1.2) где до, ро — начальные значения координат и импульсов, Функ» о ции ю» и»Э» — однозначные непрерывные функции аргументов до, рн Интегралы движения могут быть записаны еще и в иной о о форме.
А именно, разделив на уравнение р»--дН/дд, остальные Как известно из механики, дифференциальные уравнения движения любой механической консервативной системы могут быть записаны в форме Гамильтона: ен . ан е 1 р» д, й 12, ...,и. (11) В 1. УРАВнкния РАмильтонА. ФАЗОВОВ пРОстРАнстВО 1ВТ 2п — 1 уравнений (1.1), получим дд, ИН~ар, др„дняд„ ар„д!Пдд ~ ' др дН(дд (1.3) Эта система, в случае не зависящей от времени гамильтоновой функции, не содержит К Она имеет 2п — 1 интегралов, и в ето число входит, очевидно, прежде всего, интеграл ввергни Ф,(д, р) ° Н(д, р) =а, Е (1.4) и, кроме того, еще 2п — 2 интегралов: Ф,(д, р) =а„..., Ф„(д, р) = и, (1.5) и пользуясь (1.4) и (1.5).
Он имеет вид Ч,(д, р)-1+бе (1.7) Действительно, прибавление к 3 любой постоянной не нарушает дифференциальных уравнений, так как в них 1 входит только под знаком дифференциала. Для системы с одной степенью свободы все свойства решений уравнений движения легко могут быть пояснены путем графического изображения на плоскости. Рассмотрим, например, движение линейного гармонического осциллятора. Гамильтонова функция (для случая, когда масса равна единице) (12) имеет еле дующий вид: Н = — (р«+ Ф'д«).
1 2 (1.8) Уравнения Гамильтона дН ' дН д= — =р р= — — = — «>'д др ' дд имеют интегралы, которые могут быть написаны в виде Р« д = д«совы(+ — «в(под, р = — Фд«вано(+ р'сова( (1.9) или в виде интеграла энергии 2Н = р'+ ~*д' 2Е (1.10) и соотношения, определяющего зависимость р и д от времени: — агссов д =* 1 + ().
(1 11) )~рз+ 'д' Ч',(д, р) = р„..., Ч'.(д, р) где ао ..., а„; ~„..., р„— постоянные интегрирования. Последний интеграл можно получить, решая, например, уравнение др~ дН Ш дд (1.6) 169 гл. » теОРемы мехАники и пОнятие веРоятности Состояние осциллятора можно изобразить точкой па «фазовой плоскости» д, р. Движению системы соответствует перемещение изображающей фазовой точки по «фазовой линии», определенной в нашем случае уравнением энергии. Эти кривые постоянной энергии представляют собой систему подобных эллипсов. Второй интеграл (111) определяет скорость движения фазовой точки по атой кривой. В случае системы со многими степенями свободы польауются аналогичной геометрической терминологией.
Если величины д» и р„ рассматривать как прямоугольные координаты в пространстве 2л измерений, то состояние системы («фаза») определяется точкой («фааовой точкой» или изображающей точкок) в этом 2п-мерном «фазовом пространстве». Если наша система — отдельная молекула, это пространство называют )»-пространством, если же зто совокупность частиц (газ или другое тело в целом), то Г-пространством. С течением времени изображающая точка перемещается в фазовом пространстве по кривой, по «фазовой траектории».
Зта кривая определяется пересечением 2я — 1 «поверхностей» (1.4) и (1.5). Поэтому она в любом случае лежит на «поверхности энергии». Последний интеграл (1.7) определяет перемещение изображающей точки во времени. Производные ()» и р'„могут рассматриваться как компоненты 2и-мерного вектора «фазовой скорости» вЂ” скорости движения изображающей точки по фазовой траектории. Заметим, что в силу однозначности решений уравнений движения две различные фазовые траектории пересекаться не могут. (Действительно, если бы это имело место, то, при начальном положении изображающей точки в точке их пересечения, начальное состояние систем определяло бы дальнейшее движенно неоднозначно.) Если мы рассмотрим пе одну систему, а целую совокупность их, то состояние будет определено совокупностью фазовых точек, движение — совокупностью фазовых траекторий.
Для наглядного представления мы можем сравнить наши фазовые точки с совокупностью частиц, взвешенных в жидкости (или, в пределе, в случае непрерывного их распределения, с краской, введенной в жидкость) и движущихся вместе с ней. При этом мы должны считать поток жидкости стационарным, так как в силу уравнений Гамильтона (Н не зависит от г) фазовая скорость в данной точке не зависит от времени. В статистической фиаике понятие поверхности энергии играет существенную роль. Поэтому приведем еще примеры, касающиеся поверхности энергии в простейших случаях.
Рассмотрим систему со многими степенями свободы, совершающую малые колебания около поло>кения равновесия. Как известно из механики, в этом случае всегда могут быть найдены «нормальные» координаты. В этих коордпнатах гамильтонова З 1.
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА ФАЭОВОЕ ПРОСТРАНСТВО $69 функция выражается так: и Н = ~~ ~А~~ (рь+ юАЧ1)~ 1=1 (1Л2) где ю1 — собственные частоты системы. Уравнение энергии имеет вид ~ (р» + с11~дь) = 2Е. (1.13) 1-1 Оно представляет собой 2н-мерный эллипсоид с полуосямк аь У2Е, Ь1 У 2Е/а1. (1Л4) В качестве модели идеального одпоатомпого газа мы будем пользоваться представлением о системе певзаимодействующих материальных точек (в какой мере такое представление возможно, у1 будет сказано ниже). Поскольку, однако, мы рассматриваем газ в сосуде (для простоты, допустим, прнмоугольной формы) с координатами стенок а, ае, Ь, Ьз, с, сз, мы должны учесть взаимодей- л * х стеке частиц со стенками.
Мы не будем рассматривать де- Рис. к тально вида этого взаимодействия: для Вас важно только, что у стенок потенциальная энергия взаимодействия сильно увеличивается (вдалн от них она нуль), н появляются очень большие силы отталкивания, так что части- ца любой скорости отскакивает от стенок.
Соответствующий ход потенциальной энергии одной частицы Н1 в зависимости от ко- ординаты х изображен на ркс. 1. Гамильтонову функцию можно поэтому записать в следующем виде: к к Н =,—,' ,'~(р1. + р*,„+ р1,)+ ~ (Н1(х1)+Нц(у1)+ НИ1(з1)), Аи 1=1 (1Л5) что представляет собой З)т'-мерный шар. След поверхности энергии где функции Н1, Нп, НН1 имеют указанный выше впд, 11 — число частиц в гаае, так что н ЗН.
«Сечение» (след) поверхности энергии п-мерным пространством импульсов (все координаты постоянны) определяется уравнением к 3 (Р~1„+ Р1Р + Р11.) СОПЗ1, (1Л6) 1=1 179 1'л. 1. теогемы мехАники и понятие ВеРОятнОсти на 2-мерной плоскости х, р„определяется уравнением — р„'+ У1 (х) = сопзь. (1 Л7) Принимая во внимание сказанное относительно функции У„легко представить, что этот след имеет характер, изображенный на рис. 2. След в пространстве р., р„, х дается уравнением (Ре + Ру)1+ У1 (х) = сопз(. (1Л8) Он изображен на рис.
3 и имеет вид бочки. Мы можем, такнзз р .х Рис. 3. образом, охарактеризовать нашу поверхность энергии как по- верхность «бочкообразную», Ф 2. Георема Лиувилля Для движения систем, подчиняющихся эакопам механики в форме Гамильтона, если состояние их описывать при помощи канонически сопряженных переменных д, и р„, имеет место теорема Лиувелля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
