Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Рассмотрим прежде всего формулировку ее для простейшего случая системы с одной степенью свободы, для линейного осциллятора. Пусть в момент Т О имеется площадка, занятая на фазовой плоскости изображающими точками некоторой (непрерывной) совокупности систем. При движении данная площадка будет, очевидно, перемещаться и деформироваться. Однако размер еа (площадь) при этом не изменится. Действительно, координаты фазовых точек этой площадки при движении преобразуются от д', р' в д, р согласно уравнению (1.9).
Это преобразование может быть представлено как совокупность трех преобразований: $) перехода от д', р' к х, у: х д', у р'/ю, (2Л) 471 % 2. Теогвмл лиувилля т. е. с помощью растяжения всех фигур на плоскости в ю раз в направлении оси ординат; 2) перехода от х, у к х', у' путем поворота на угол ф юй х'-х соз~р+ узш<р, у' -ха)п у+ усов ~р; (2.2) 3) перехода от х', у' к д, р с помощью сжатия в ю раз в направлении осп ординат: о х', р= сор', (2.3) При повороте 2) площадь не меняется; изменения площади при сжатии 3) и растяжении т) взаимно компенсируются.
Таким образом, величина площади остается прежней, хотя форма площади, вообще говоря, изменяется (13). Теперь рассмотрим теорему Лиувилля для общего случая. Она формулируется так: Величина 2п-мерного объема, занятого в определенный момент времени некоторой непрерывной совокупностью фазовых точек, не изменяется при их движении. Пусть в начальный момент г О фазовые точки непрерывно заполняли некоторую область У, фазового пространства.
Фазовый объем этой области 6, равен интегралу от элемента фазового пространства по этой области: (2.4) причем ддодро ач с)р Фазовые точки пашей совокупности систем движутся, и с течением времени координаты и импульсы их изменяются. В момент времени С точки будут находиться в некоторой области Уи которая определится из У„если каждую точку ее (д', р') заменить в согласии с интегралами уравнений движения (1.2) на (д, р). Объем области У~ будет (2.5) Теорема Лиувилля утверждает, что С,-(',. Прежде чем перейти к доказательству, заметим, что, как было указано выше, движение фазовых точек можно уподобить движению частиц, взвешенных в жидкоСти, или (при непрерывном их распределении) движению краски (при отсутствии диффузии), распределенной в жидкости. Поэтому и движение, рассматриваемое в теореме Лиувилля с этой точки зрения, можно представить происходящим в несжимаемой жидкости.
Это справедливо потому, что при движении величина С, (будем считать, что этот объем аакрашен краской) не меняется, (72 Гл. ь теОРемы мехАники и понятие веРоятности Как известно, компоненты скоростей несжимаемой жидкости удовлетворяют уравнению д д!/ д« вЂ” + — + — =о. дх ду дз Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы прп движении объем данной массы жидкости не менялся.
Слагающие скорости фазовых точек (д„рл) в силу уравнений Гамильтона удовлетворяют условию (2.6) Чтобы внешняя аналогия этих уравнений была полной, введем единообразное обозначение для координат фазовых точек. Положим б~ Хл Рл Хл«л (2.8) тогда (2.7) можно переписать в виде «о (2.9) л=л вполне подобном (2.6) и соответствующем равенству нулю 2ямерной дивергенции фазовой скорости. Это условие легко истолковать так же, как равенство кулю дивергенции скорости в трех измерениях.
Им устанавливается, что число «фазовых точек», входящих в любой фиксированный фааовый объем, равно числу выходящих, а это и есть условие несжимаемости «фазовой жидкости». (2Д() Таким образом, все зависит от величины функционального определителя Р («) (2Л2) 'хз 1 Покажем теперь, что з многомерном пространстве условие (2.9), так же изк (2.6) з трехмерном, выражает «несжкмаемость», к тем самым докажем теорему Лпувклля. В новых обозначениях имеем С,-~~дХ«,...дХ«,„, С,= ~~гХ,...гХ .
Чтобы сравнить величины С, н С„лучше всего преобразовать яктегралы как (2.6) з трехмерном, выражает «несжкмаемость», н тем самым докажем В сиду только что сказанного зто можно сделать, если з С, заменять, пользуяоь (1.2), кнтегрнрозанке по координатам н импульсам в момент «внтегрврозапкем по кх значенкям в момент О. Тогда получям 178 $ э. тнОРнма лиунилля Сейчас мы покажем, что согласно (1Л), т. е. в силу уравнений Гамиль"тона. Р(г) = 1.
А тогда, очевидно, Р~ Рь н теорема Лнувнлля будет доказана. В новых обозяаченвях интегралы дввжевпя (1.2) можно вапясать так: Х вЂ” / (Хэ Хэ г) (2ЛЗ) Юпределвтель Р(г) = Реэ (аы) есть определнтель 2л-норядка, где ам дХ,./дХэа, 1, а = 1, ..., 2и. Докажем сначала, что определятель Р(г) не зависят от времеви.
Для этого днфференцируем его по Г но язвестным правилам: ЛР ж дР даст (2Л4) дт,эн денэ дэ ьэ=г Здесь энаи д/Ы1 обозначает, в сущности, частную проввводвую прв постолнпых Хэ, так что, например, дХьlгп = Хю Как нэвестно, — = Рмя дР (2ЛЬ) дог„ где Ры есть минор определителя Р: дага д дХ,. д Х,. э" дХ дХ дХ дг дхе дхедг Х дх дхэ 2ы м дх э э (2.16) Введя полученное в (2.14), имеем дР дХ д = .г, Р "а —. Х (2Л7) А так как по свойству мнноров ээ Р ео в (2Л7) останутся только члены с 1=1 я (2Л8) (2Л9) Но в силу (2.9) правая часть равна нулю, поэтому дР— =0 дг (2.20) и Р не зависит от Г. Чтобы определпть Р, достаточно найти его величину прк г О.
В этом случае элементы определителя равны дх;. /1, в дХ', 1,0, гчвй; поэтому Р(0) 1. Следовательно, в при вюбом г будет Р(г] 1. 'Георема Лкувнлля доказана. 174 гл. ь теоРемы мехАники и пОнятие веРОятности Приведем еще один простой пример. Рассмотрим упругий удар двух шаров, движущихся по прямой (и ее могущих с нее сойти). Пусть массы шаров т и М, импульсы их до удара р' и Р' и после удара р и Р.
Они связаны соотношением р'+ Р' р+ Р, (2.21) выражающим сохранение полного импульса, и соотношением оо Ров о )оо т+М =о,+Мв (2.21а) выражающим закон сохранения энергии. Отсюда, как известно нз механики, вытекает, что р и Р связаны с р' и Р' линейными однородными соотношениями. Будем рассматривать два момента: непосредственно предшествующий удару и следующий за ним. Тогда координаты в эти моменты будут у'- д, Ч' (~, так что в выражении для фазового объема Ц ~ ~ (д Уд (Р )Р имеет место равенство ~~,(у ~д ~~ )оЩо и остается только показать, что ~ ~,(Р,1Р ~ ~в1 о)ро (2.22) Это — изменение масштаба (сжатие любой фигуры) в Ут раз по оси абсцисс и в УМ раз по оси ординат.
2) Преобразование от х', у' к х, у. При этом преобразовании в силу (2.21) и (2.21а) получаем хвв+ уов хв+ ув Уввхв.( УМув Утх + УМу (2 21) Первое из двух соотношений показывает, что это линейное преобразование — ортогональное (и при атом в свау второго соотношения такое, при котором семейства прямых Утх'+ УМу' сопзФ преобразуются в самих себя, а следовательно, оно является преобразованием отражения от прямой, перпендикулярной к линиям этого же семейства).
Импульсы р и Р можно рассматривать как прямоугольные координаты точки на плоскости. Если положить р' Утх', Р' УМу', р Утх, Р УМу, то переход от р' и Р' к р и Р можно( представить себе как результат следующих преобрааований: 1) Преобразование от р' и Р' к х' и у'. р -Утх, Р' УМу, (2.23) з 3. ФОРИАльное и Физическое понЯтие веРОЯтности 175 3) Преобразование от х, у к р и Р: х = рГУт, у Р/УМ. (2.25) Это — растяжение любой фигуры в Ут раз по оси абсцисс и в УМ раз по оси ординат.
Площадь любой фигуры на нашей плоскости импульсов не изменяется при преобразовании 2) в силу его ортогональности. При преобразовании 1) площади изменяются, очевидно, в 1ПшМ раз, а при преобразовании 3) — в УшМ раз. Поэтому в результате всех этих преобразований площадь любой фигуры остается без иаменений, т. е. в полном согласии с теоремой Лиувилля. Справедливость теоремы Лиувилля существенно упрощает ряд выводов статистической теории. Поэтому в статистической физике почти исключительно пользуются канонически сопряженлыми переменными д и р, так как только в этих переменных данная теорема выражается в изложенной форме.
Заметим еще, что величина фазового объема представляет собой инвариант относительно преобразования координат (и при соответствующем преобразовании импульсов). Не приводя доказательства о), заметим только, что по существу это положение уже доказано нами путем выкладок, приведенных для доказательства теоремы Лиувилля. Дело в том, что, как известно**), всякое каноническое преобразование д и р может быть представлено в виде совокупности бесконечно малых преобразований, удовлетворяющих уравнениям типа Гамильтона, причем 1 играет роль параметра преобразования (например, роль угла поворота координатных осей).
При преобразованиях совершенно того же тяпа, что и преобразования р и д, при движении системы по теореме Лиувилля фазовый объем не меняется (14). з 3. Формальное и физическое понятие вероятности Статистическая физика широко нснользует идеи, метод и математический аппарат теории вероятностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
