Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Действительно, хотя адесь уже играют роль колебаник высокой частоты, которые не могут быть вычислены из непрерывной модели, но ведь для классической статистики вообще существен только подсчет числа нормальных колебаний, а это число правильно дается соотношением Я(се,) 3)х', определяющим ы„ш. Поскольку формула (41.3) оправдана для обоих крайних случаев (очепь низких и очень высоких температур), ее можно распространить и на промежуточную область, рассматривая это как интерполяцию. Принимая во внимание, что в силу (41.6) сашах к х г(«„„)= ~ и(ш)='— "',",'=ЗЛ~, (41.1О) 2а~с с 308 гл. а. ОснОВы кВАнтОВОЙ стАтистики (Т, называется характеристической темлературой).
Тогда (41.4) можно записать в виде т,!т т,!т Е=Е,+ЗМйТЯ ~ — '' =Ее+ЗВТ.З(т ) е е (41 13) Таким образом, средняя энергия зависит от отношения Т!Т,. Если Т велико по сравнению с характеристической температурой Т„ другими словами, если для всех собственных колебаний вплоть до колебания самой высокой частоты величина Ви Зихехх те — ( — =— Ат Ат т мала, то их средняя энергия равна классической величине йТ.
т,~т В этом случае величина 3 ~ т а близка к единице и теп- Ю 1 ~-~ е лоемкость имеет классическое значение ЗЕ. В этой области выполняется закон Дюлонга и Пти. Наоборот, если температура Т гораздо меньше характеристической температуры Т., то в интеграле (41.4) верхний предел можно заменить на бесконечный, и мы получаем выражение (41.5), годное для низких температур, и закон Т* для теплоемкости. Таким образом, чем ниже характеристическая температура Т„ тем шире область применимости закона Дюлонга и Пти. Наоборот, для тел с большой скоростью упругих волн и с малой постоянной решетки а значение еа „, а следовательно, и Т„велико, и уже при комнатной температуре закон Дюлонга и Пти не выполняется (алмаз). Дебаевская формула для энергии хорошо подтверждается на опыте.
Дифференцируя (41 13), получаем теплоемкость т,~т дУ ат а Г аале Зт!Т е Входящий сюда интеграл вычисляется приближенно. В табл. 4.1 даны значения Т„вычисленные по формуле (41 12) и из экспериментальных данных теплоемкости. На рис. 18 показаны значения С. в зависимости от отношения Т!Т,. Сплошная кривая вычислена по Дебаю (уравнение (41.14П; точки — экспериментальные данные для РЬ, КС) и С (алмаз). Представление о тепловом движении в твердых телах как о совокупности упругих волн позволяет не только решить вопрос о теплоемкости твердых тел, но и разобраться в очень многих з и.
ткогия тяпловмкости тввгдых ткл <пгодолжкнив> ЗЮ других вопросах теории твердого тела. Например, с атой точки зрения может быть понят ряд оптических явлений в твердых телах. Флуктуации плотности твердых тел можно рассматривать как уплотнения, возникающие в результате интерференции упругих волн теплового движения. Исходя из этого представления, можно Таблица 4Л вычислить средний квадрат флуктуации плотности и интенсивность рассеянного света. Этим путем получаются величины, согласующиеся с результатами вычисления по методам $ 32 и совпадающие с опытом. Можно также получить и величину деполяризации рассеянного света, которая также оказывается в согласнп с результатами опыта.
Кроме того, этим путем можно сделать следующий вывод о спектральном составе рассеянного света при освещении кристалла монохроматическим светом. С„зы/~еав Х) Рис. т8. Рассеяние можно рассматривать как дифракцию света на «тепловых» неоднородностях, о которых только что говорилось. При этом решение этой оптической задачи приводит к выводу, что в данном направлении, образующем угол 6 с падающим лу- гл.
а ОснОВы квйнтовои стАтистики чом, дифракция вызывается упругими волнами, удовлетворяющими условию Брггга. В данном направлении рассеивают свет те упругие волны теплового движения, для которых направление рассеяния является направлением правильного отражении от плоскости упругой волны, и притом длина упругой волны Л удовлетворяет условию 2Лзш —, = Л„ О 2 (41 15) где Х вЂ” длина волны падающего света.
Амплитуда атой рассеивающей упругой волны меняется со временем пропорционально соз (есс+а), где ю 2ясс/Л (с,— скорость упругой волны, т. е. скорость звука). Амплитуда рассеянной световой волны пропорциональна амплитуде рассеивающей упрутой волны и, следовательно, пропорциональна соз(ест+а). Если частота падающей световой волны т =2ИПЛ (]с — скорость света в теле), то, следовательно, поле рассеянного света пропорционально сог(юг+я)созчь = —,соз((т+ ю) с+а]+ соз и, „), + ] 1 1 Таким образом, в рассеянном свете имеются частоты т~ ю.
Принимая во внимание, что в силу (41 15) 2лсс 2лсс О сс . О со = — = — 2 зсп —, = т — 2 зш й Л 2 И 2 ' в~1~ 2 — сз(п( ~ ). Получающееся таким образом изменение частоты при молекулярном рассеянии очень мало; например, для кварца частота изменяется примерно на одну двухсоттысячную своей величины.
Тем не менее, это явление удалось обнаружить экспериментально и, таким образом, подтвердить этот вывод теории (2б]. 2 42. Кристаллы со сложной структурой элементарной ячейки Сделанные выше выводы были основаны на том, что собственные колебания кристаллической решетки большой длины волны, обладающие низкой частотой, достаточно точно могут быть получены, если представлять себе тело непрерывным и применять теорию упругости. Мы убедились, что для одномерной цепочки дело обстоит именно так.
Однако этот вывод справедлив только приходим к выводу, что свет, рассеянный под углом 1), содерл'ит две частоты: $ ез, кРистАллы со слОжнОЙ элементАРнон ячнйкои 31( Мф„+ х(2$„— г)„— г)„,) = О, тг)„+ х(2г)„— $„— $.,) =О. (42А) Ищем решения, представляющие собой бегущую монохроматическую волну: $„Аеч"'-'"', т) = Вв""'-'"', (42.2) причем ~р= йа'=2яа/Х (где а — расстояние между двумя последовательными одинаковыми частицами), Х вЂ” длина волны.
Кроме того, — я «р < я. (42.3) Подставляя (42.2) в уравнения движения (42.1), получим (2х — Мю*)А — х(1+ е")В = О, (42.4) -х(1+ е ")А+ (2х — тго*)В 0; исключая А и В, найдем тМю' — 2х(т+ М)го'+ 2х'(1 — сов щ) О, откуда юе = — (М+ т~ 'у'Ме+ т'+ 2тМсоз<р ]. (42.5) Каждому значению волнового числа соответствует не одна, а две частоты (рис. 19) в, и ю, (два знака у корня в (42.5П.
Частота юь которая получается, если в (42.5) перед корнем взять знак «) См., например: Борн М., Гзннерг-Майер М. Теория твердого телег Пер. с вем.— Лй Мо ОНТИ, 193В, с. 2$( я далее. для одноатомных твердых тел, элементарная ячейка которых содержит всего один атом (примером таких кристаллов может служить решетка меди). Наша одномерная цепочка, состоящая нз одинаковых частиц, тоже может служить моделью только одноатомного тела, в каждом ее периоде находится одна частица.
В случае кристаллов с элементарной ячейкой, содержащей несколько разных частиц (например, ХаС1, СаСО, и т. д.), как помазал Борн е), колебания дискретной кристаллической решетки в некотором отношении существенно отличаются от колебаний непрерывного тела. Для выяснения этого вопроса возьмем опять одномерную модель — цепочку упругосвязанных частиц с чередующимися массами т и М (М) т). Пусть $ и г) — продольные смещения частиц М и т. Уравнения движения аналогичны (40.3) и имеют внд З(г Гл.
«. Основы ива~токой статистики »» »» «» »ь = »»»» Л =ли минус, стремится к нулю е возрастанием длины волны. Этом частоте ю, соответствуют колебания, при которых для малых <р (больших Х) массы М и ш колеблются в (разе. Действительно, полагая в (42.4)»р ° 0 и ю О, получим А В, б„= т) . Колебания, соответствующие ветви частот ю„вполне аналогичны колебаниям цепочки с одинаковыми массами. Для больших Л они могут быть заменены колебаниями непрерывного стержня.
Это— «дебаевская» ветвь частот. Частота же е„которая получается, если перед корнем в (42.5) взять плюс, не обращается в нуль для очень длинных волн. Как вытекает из (42.4), для колебаний это«о го рода при»р=О (Х ) массы Мип» колеблются в противоположных фазах, х МА -тВ. Это — колебание частиц внутри ячейки одной относительно гх другой — «борновская» ветвь собствен- — ных частот решетки. «»» М Подобное же исследование собственных колебаняй было проведено Барном для пространственной кристаллической решетки. Если в элементарной ячейке кристалла находится з частиц, то результат получается следующий. В общем Рис. (9. случае мы получим Зз собственных ко- лебаний, соответствующих определенной длине волны. Некоторые из них могут, благодаря симметрии структуры, совпадать друг с другом.
Три из этих собственных колебаний дают «дебаевскую ветвь», для них собственная частота стремится к нулю пропорционально волновому числу при вго стремлении к нулю. Это — частоты продольного и двух поперечных акустических колебаний данной длины волны. Если не учитывать анизотропии кристалла, частоты обоих поперечных колебаний совпадают между собой. Остальные Зз — 3 частот дают Зз — 3 ветвей «борновскнх» собственных колебаний.
Это — высокие частоты, они не обращаются в нуль при стремящейся к бесконечности длине волны. Этим частотам соответствуют колебания, при которых происходит сильное относительное смещенив одних частиц элементарной ячейки относительно других. Наличием «борновской» ветви частот объясняется ряд явлений в кристаллах. По порядку величин эти частоты — частоты инфракрасной области световых колебаний: 10и — 10и колебаний в секунду. Эти колебания могут быть связаны с изменением влектрического момента ячейки, например для кристаллов 1)аС1, когда имеет место относительное смещение разноименных ионов Г(а и С1.
В этих случаях частотам этих колебаний в оптическом спектре кристалла соответствуют полосы аномальной дисперсии $ ьз. кРистАллы со сложной элементАРнои ячейкои 313 и абсорбции. Эти лежащие в инфракрасной части собственные частоты называются частотами остаточных лучей. Борновские колебания теплового движения, так же как и дебаевские, вообще говоря, вызывают изменения оптических свойств кристалла и ведут к молекулярному рассеянию света.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
