Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 61
Текст из файла (страница 61)
При этом совершенно так же, как и в рассмотренном выше случае, при рассеянии на дебаевских тепловых волнах происходит изменение частоты. В спектре рассеянного света появляются частоты ч~ е, где ч — частота падающего света, а ю — частота той волны борновских колебаний, на которой рассеивается свет в данном направлении.
Длина этой упругой волны Х по-прежнему дается соотношением (41.15). Так как для бориовских колебаний часчота очень слабо зависит от длины волны, то получается изменение частоты падающего света, одинаковое для рассеянного света разных направлений. Кроме того, так как для борновских колебаний ю очень велико по сравнению с частотой дебаевских колебаний той же длины волны, то изменение частоты падающего света получается значительное, легко наблюдаемое с помощью Обычных спектральных приборов.
Это — явление комбикациовяоэо рассеяния, или эффект Рамена для кристаллов (29). Некоторые изменения должны быть внесены и в теорию теплоемкости. Именно, если кристалл состоит из элементарных ячеек (каждая из е частиц), то он обладает Зэ)т' степенями свободы и соответственно Зэ)У собственными колебаниями, З)У из которых Относятся к дебаевской ветви, остальные к борновской. В выражении для энергии должны быть учтены все эти собственные колебания, что вносит некоторое изменение в выражения (41.5) н (4114). Впрочем, эти изменения играют роль только для промежуточной области температур. При низких температурах остается правильным дебаевский заков кубов (41.9), при высоких — классическое выражение для теплоемкости (27).
Нужно иметь в виду, что в изложенной адесь теории тепло- емкости твердых тел атомы (или ионы) решетки всюду рассматриваются как точки. Таким образом, энергия воабуждеиия атомов н соответствующая ей теплоемкость не учитывались. В некоторых случаях, когда для атомов возмомзны переходы с очень малым изменением энергии, теплоемкость, соответствующая этим переходам, может играть очень большую роль. Это имеет место, например, для кристаллов сернокислого гадолиния при температуре около 2 К, при которой его теплоемкость увеличивается в сотни раз. Кроме того, в изложенной теории предполагалось, что атомы не меняются между собой местами и что структура кристалла при изменении температуры не изменяется. Во многих случаях, например для твердых растворов (латунь), вблизи определенных температур наблюдаются резкие увеличения теплоемкости на величины порядка 1 кал/К.
Эти явления, связанные с фазовыми ГЛ. Ь ОСНОВЫ КВАНТОВОИ СТАТИСТИКИ переходами второго рода, объясняются в том случае, если мы учтем возможность перехода атомов равного сорта из одного уала решетки в другой, возможные при этом изменения симметрии решетки и связанное с ними изменение ее энергии* ). 9 43. Равновесное излучение. Формула Планка Применение квантовой теоряи к иалучению, другими словами, к электромагнитному полю, основано на следующих представлениях. Считается, что иалучение, как и всякая другая физическая система, подчиняется законам, которым можно придать форму уравнений Гамильтона.
Характерная особенность излучения та, что это — система с бесконечным числом степеней свободы. Однако выше (в 99 20 и 2») мы видели, что если ввести нормальные координаты, то к этой системе можно применять обычные методы механики и статистики в общем так же, как и к системе с конечным числом степеней свободы. Применяя квантовую теорию, мы рассматриваем излучение как аквантованное поле». Другими словами, к излучению мы применяем законы квантовой механики. Каждое собственное колебание излучения внутри зеркального ящика можно рассматривать как осциллятор.
По квантовой теории энергия осциллятора может иметь значения хв е = —, + нйв 2 (43Лу ») Более аодробзо смл Уббелоде А. Б. Со»ремеззая термодкзамзка, УФН, 1938, т. 20, с. 29 з 281. Общая теория дастся з книге: ландау Л. д. Лириков Б. М. Статистическая фиалка.— Мл Наука, 1976, ч. 1, гл.
Х1Ч.— (Тсорегвчсская фиалка, т. Ч). где в — собственная частота рассматриваемого нормального колебания. Для излучения нулевую энергию нужно отбросить или, другими словами, принять, что уровни энергии осциллятора равны нйв, а не йв/2+ пйв (при и = О, 1, 2, ...). Если не отбросить эту нулевую энергию собственного колебания, то полная нулевая энергия всего излучения, имеющего бесконечное число степеней свободы, получается бесконечной. Такое измененное выражение для уровней энергии собственных колебаний поля излучения показывает, что оператор Гамильтона для них иной, чем для обычного осциллятора. Действительно, оказывается„ что можно так видоизменить оператор Гамильтона, что это требование будет выполненным и в то же время полученный оператор при замене оператора импулъса числом обращается в классическую функцию Гамильтона осциллятора — ', (р'+ в'а').
Я СЗ. РАВНОВЕСНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. ФОРМУЛА ПЛАНКА з(й Прп отбрасывании йе/2 средняя энергия нормального колебания при температуре Т равна хв е= — Ъ (43.2) Средняя энергия пэлучения с частотами в интервале (в, в+ ссв) равна Е„дв в Ж(ю), (43.3) где с)Я(в) — число нормальных колебаний с частотами в этом интервале. Подставляя в (43.3) эначение е (43.2) и Ы2(в) ($ 20), получим а з авсат (43.4) Наоборот, при низких температурах в знаменателе в (43.4) можно отбросить единицу по сравнению с показательным членом.
Тогда получается формула Вина, приближенно согласующаяся с опытом при ниэких Т: Е с(в = —.Йв'е ""~"тйо. нс (43.6) Пнтегрируя (43.3) по всем частотам (польэуясь при этом (4т.б)), получим для полной плотности энергии саков Стефана — Вольс)- лана: 60 Р й ( Г х Г в"ев — — ) Е„йо= — ) =аТс, с 3, где Сс~н~ (сьаса Эта Формула Планка прекрасно подтверждается на опыте. При низких частотах и высоких температурах е стремится к йТ, н мы получаем как предельный случай формулу Рэлея — Джинса: Е й» = — ФЧсТс/в. (43.5) Глава 5 ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩИХ ПРИНЦИПОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ МНОГИХ ЧАСТИЦ. СТАТИСТИКИ БОЗŠ— ЭЙНШТЕЙНА И ФЕРМИ в 44. Трудности, приведшие к статистикам Бозе и Ферми Применение квантовой теории позволило разрешить трудности, воаникшие в классической теорки теплоемкости кристаллов и многоатомных гааов.
Однако для разрешения целого ряда вопросов и устранения встречающихся аатруднений необходимо более полное применение принципов квантовой теории совокупности частиц, чем сделанное в гл. 4. Там из квантовой теории мы воспользовались в сущности только дискретностью возможных значений энергии системы. Иа затруднений теории мы укажем здесь два, возникших ужо давно.
Первое затруднение возникло, в сущности, вместе с появлением представления о световом кванте — фотоне. Дело в том, что если рассматривать излучение как газ, состоящий из фотонов, и применять к нему общие принципы статистики, то мы пе получаем формулу Планка для спектральной плотности равновесного излучения. В общих чертах зто можно показать так. Выражение Больцмана для среднего числа частиц с импульсами в интервале (р, р+ др) можно записать в виде г(й = сопэс ° е '~врг~(р (44.1) Для фотонов энергия с — йю, импульс р — Аеас, так что е=рс.
(44.2) Подставляя эти значения в (44.1), получим среднее число фотонов в интервале частот (ю, ю+ йо): йп = сопэь ° е ""~ею'да. Энергия равновесного излучения при температуре Т 6!й, соответствующая атому интервалу частот, будет, очевидно, равна К„йю йю Ий сопэз . е """ю'Ню.
Таким обрааом, вместо формулы Планка мы получили формулу Вина, являющуюся ее предельным случаем при йю» 6 и только в атой области частот и температур согласующуюся с опытом. До появления статистики Бозе эту трудность пытались разрешить различными искусственными гипотезами. 9 «$, пгинцнпы симмвтгии и лнтиснмметгни 317 Другое затруднение возникло в связи с теорией злектропроиодности металлов и касается их теплоемкости Я).
Мы знаем, что электропроводность металлов объясняется наличием в металлах электронов, которые в первом приближении можно рассматривать как свободные и вааимодействие которых с решеткой кристалла ограничивается соудареннями с ией. Исходя нз этого представления, удалось дать теорию проводимости металлов, в частности вывести закон Видемана — Франца о пропорциональности коэффициентов электро- и теплопроводности металлов. Однако в рамках представлений классической статистики эта теория приводит к неправильному значению теплоемкостн. Действительно, по закону равномерного распределения каждому электрону в металле нужно приписать среднюю энергию (8!2)кТ.
Значит, к средней энергии ионной решетки 8)»'йТ надо добавить энергию свободных электронов. Следовательно, внутренняя эяергня и теплоемкость. должны быть (для одновалентного металла, где на каждыи ион приходится один свободный электрон) в полтора раза больше, чем для одной решетки. Это приводит к тому, что закон Дюлонга и Пти, который, как мы видели ($18), объясняется учетом одной только энергии решетки, без учета энергии электрояов не должен был бы выполняться даже при высоких температурах, а мы внаем, что он выполняется. Это затруднение было разрешено только применением статистики Ферми. б 45.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
