Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Мы видели ($43), что, рассматривая излучение как электромагнитные волны и применяя к ннм квантовую теорию, мы получаем формулу Планка для спектральной плотности равновесного излучения, вполне согласующуюся с опытом. Исходя же из представления о фотонах и пользуясь классическим выражением Максвелла — Больцмапа для среднего числа частиц с определенной энергией, мы пришли к неправильной формуле Вина для плотности равновесного излучения. Как уже указано, разрешение втой трудности дало только введение статистики Бозе — Эйнштейна, применение которой к фотонам дает правильное планковское выражение для плотности равновесного излучения. Таким образом, оказывается, что представление об излучении как о кваптованных волнах и представление о нем как о фотониом газе, подчиняющемся принципу симметрии, т.
е. статистике Бозе — Эйнштейна, в рассматриваемом вопросе о равновесии совершенно эквивалентны. Заметим, что эквивалентность этих двух представлений не ограничивается рассматриваемым здесь частным вопросом, а представляет собой общее положение квантовой теории света. з вв, пгимкнвнив статистики воза к фотонному гази ЭЗ( Исторически статистика Бозе возникла именно в связи с решением задачи о равновесном излучении с точки зрения представления о фотонах еще до ясной формулировки общих принципов квантовой механики многих' тел и принципа Паули.
Пусть в замкнутой, идеально отражающей оболочке находится излучение — совокупность фотонов. Рассматриваем фотоны ($44) как частицы с энергией е=йю и импульсом р=йю/с. Тогда число возможных квантовых состояний фотона с энергией в интервале (з, в+Не) илн, что то же, с частотой в интервале (ю, в+ ою) согласно (47.11) равно (48 1) йсли среднее число фотонов в определенном состоянии с энергией з равно й й(з), то энергия этих фотонов равна ей = пей. (48,2) Следовательно, интересующая пас энергия в интервале частот (ю, в+ Ню) равна ейоЯ, а плотность ее равна вл НЕ Хло~йо (48.3) иве Задача заключается, таким образом, в отыскании среднего числа частиц й(е) илн, поскольку уровни энергии частицы (фотона) в нашем случае дискретны,— в отыскании среднего числа частиц й,=й(е,) в состоянии с энергией з,.
Для решения этой задачи мы предполагаем, что наш ящик с излучением помещен в термостат. Тогда вероятность состояния излучения, которое определено заданием чисел частиц и„пз, и„... в различных возможных состояниях, дается каноническим выражением (48.4) И'(и„л„п„...) =е" ю"Я причем энергия системы Е = 2" пвев. Поскольку мы принимаем здесь статистику Бозе, кавкдой совокупности чисел п„п„п„... соответствует только одно возможное состояние системы: П(ио л„по ...) =1. Поэтому вероятность состояния можно записать в виде И'(п„лв,пв,...) =ехР~ ' ' ' ' 'в ).
(48.5) В рассматриваемом нами случае фотонов условие постоянства числа частиц ~ ив = Х пе имеет места, потому что фотоны могут исчезать и появляться (при испускании и поглощении света), 332 ГЛ. 5. СТАТИСТИКИ БОЗŠ— ЭЙНШТЕИНА И ФЕРМИ 60 60 Г ее 1-» -»дед/Е е — дед/е — дед/е п»=С» д пде = ~д пде ~,тес од~ од=о од=о Обозначая ехр ( — ед/6) через а» (д, ( $), имеем пд = ~~'.~ помад ~ ~ дд ~ (48.8) ед О од=о ее Это выражение — того же типа, что и в 3 87.
Обоаначив ~ дд ед О через з, получим, как легко видеть из (48.8), З)во п. = дд —. аяд Но величина че ед 1 з= ~еде е~д: 1-Чд ' поэтому, логарифмируя и дифференцируя, находим вд пд = — = — ед/е или, в наших первоначальных обозначениях, 1 1 (з) = /е = д /е (48.9) (48ЛО) Подставляя в (48.8), получаем формулу Планка: ав~йо сйа=,~ (, е и общее число их ничем не фиксировано. Таким образом, в этом случае числа п„п„п„... представляют собой независимые переменные, определяющие состояние системы.
Кроме того, выражение (48.5) показывает, что вероятность состояния имеет вид -еде»/е произведения множителей типа сооег е . Это значит, что переменные п„представляют собой статистически независивые величины. Вероятность определенного значения каждого п„(п, О, $, 2,...) дается выражением -"дед/е (48.6) где С,— нормирующий множитель, определяемый из уравнения (48.7) е»=е Поэтому средние числа частиц в разных состояниях системымогут быть найдены неаависимо друг от друга. Среднее число этих частиц в й-и состоянии равно З 49. СТАТИСТИКА ФЕРМИ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО ГАЗА ззз $49.
Статистика Ферми для случая «вырождения» газа Е = ~ ИАЕА, ~п« = >1>. кроме того, очевпдно, Из (49.1) вытекает, что для очень низкой температуры 9 сколько-нибудь заметной вероятностью (близкой к единице) обладает состояние с наименьшей возможной энергией; вероятность других состояний очень мала. Область температур, когда зто имеет место, называется областью «вырождения» газа. Ввиду наличия запрета Паули наименьшая возможная энергия К« в отличие От классического случая положительна, а ие равна нулю. Состоиние, совместимое с запретом Паули и обладающее наименьшей внергией, получится, очевидно, когда и„° 1 для ))> наинизших уровней энергии частицы, другими словами, если электронами «занято» >«> наиниаших уровней.
Эту наименьшую энергию К« (ее называют нулевой внергией) легко найти. Число состояний электрона (чнсло уровней) с энергией его между е и з+ йе согласно (4 >.9) равно «Б(е) УВе»9«)е, где В 2"*>пн*/и*)>'. В каждом из )9' низших состояний находится Рассмотрим совокупность Л> электронов, заключенных в сосуде. Стенки сосуда мы рассматриваем как бесконечно высокий потенциальныв барьер ($47), обеспечивающий невозможность выхода электронов из сосуда. Взаимодействием электронов между собой будем пренебрегать. Так в первом приближении можно рассматривать электроны в металле.
Мы начнем с рассмотрения случая очень низких температур, когда все существенные величины могут быть получены весьма просто. Состояние нашей системы мы определяем ааданием чисел частиц п„п„>г„... в состояниях с знергиямп е„е„е„... Каждой совокупности чисел п„п„п„..., в которой все и, либо нули, либо единицы, соответствует одно (антисимметричное) состояние системы. Состояния же системы, прн которых хотя бы одно из чисел и„больше единицы, невозможны в силу принципа Паули. Вероятность состояния нашей системы, соответствующего определенным значениям п„и„и„..., если она помещена в термостат, дается каноническим выражением И>(п„пь п„...) = в' »"«Я(п„п„пн ...), (49.1) где П(пь и„п„...) — кратность состояния.
В нашем случае в согласии со сказанным вылив (т 46) 1« = 1, еслк все и, ( 1, и П О, если хотя бы одно и,) 1. Так как мы отвлекаемся от вааимодействия частиц, то энергия системы й равна сумме энергий всех частиц: 334 ГЛ. О. СТАТИСТИКИ БОЗŠ— ЗйНШТЕИНА И ФЕРМИ один электрон; поэтому я Е, = )' е„= ~ с а2 (з) = — Вр~~о *, о (49.2) где ьо — энергия наивысшего занятого уровня. Кроме того, число занятых уровней равно общему числу электронов, так что оо ))/ = ~ о(Я (е) = — Вр~~о '. (49.3) Подставив значение В, получаем отсюда — ) = —.
~3яо — ) . (49.4) Таким образом, ~, определяется массой частицы (электрона) ло и концентрацией газа У/Р'. Разделив (49.2) ка (49.3), находим (при учете спина) зл4,,АА /, л) (49.5) В отличие от классического случая, когда Е = (3/2)Ж6, мы видим„ что в статистике Ферми при понижении температуры средняя энергия Е стремится к значению Е„аависящему только от концентрации газа. Это стремление энергии к предельному значению, как можно показать ($51), происходит достаточно быстро, так что при переходе к области вырождения теплоемкость С, дй/дТ стремится к пулю. (Конечно, это еще не вытекает из стремления энергии к постоянному значению, так как если бы, например, Е равнялось Ео+сопзо Т, то С.
была бы отлична от нуля). Постараемся дать грубую оценку верхнего предела области температур, при которых имеет место вырождение газа. Чтобы вырождение имело место, вероятность любого состояния с энергией Е„отличного от состояния с минимальной энергией, должна быть исчезающе мала по сравнению с вероятностью этого последнего, т. е. (ч -ко)/е (ч -е,)/е е «е е «1. (Е1-ео)/е илн (49.6) За состояние с энергией Е, мы можем ваять уже состояние, при котором один иа запятых уровней освобожден и бывший на пем электрон получает энергию, ббльшую чем энергия ьо последнего занятого уровня.
В этом случае энергия Е„очевидно, порядка Ео+ьо. Так что в случае вырождения дол: 1но быть выполнено $49. СТАТИСТИКА ФЕРМИ ДЛЯ ВЫРОЖДРННОГО ГАЗА 333 условие ь,/6 ~ 1 яли, с учетом (49.4), (49.7) Таким образом, область вырождения простирается до более высоких температур при малой массе частиц (электроны) н при большой концентрации /)//г'. Для электронного газа в металле, где концентрация д//)/ очень велика (примерно один злеятрон на ион решетки), вырождение имеет место вплоть до десятков тысяч кельвинов, т.
е. во всяком случае для всех температур, когда металл является твердымтелом. Этим разрешаетсявтеории металлов основное затрудненяе, состоящее в том, что теплоемкость металла равна 6 кал/(моль К), т. е. теплоемкости кристаллической решетки, а электроны практически не вносят ничего в аначение теплоемкости. Действительно, злектронный газ в металле вырожден, а, как указано выше, теплоемкость его в етом случае очень мала (по сравнению с теплоемкостью, определяемой решеткой). Это заключение без существенных изменений сохраняется и в более совершенной теории, учитывающей взаимодействие электронов с ионами кристаллической решетки металла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
