Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Это же явление наблюдается и у частиц, взвешенных в газе, например у частиц, нз которых состоит табачный дым. В этом явлении мы наблюдаем тепловое движение взвешенных частиц. Развитая с этой точки зрения количественная теория явления была дана А. Эйнштейном и М.
Смолуховским и в дзльнейшезг была в существенных своих чертах блестяще подтверждена па опыте. Позднее были обнару>кены различные другие' явления, аналогичные броуновскому движению: флуктуации тока в проводниках, дрожание аеркала гальванометра, подвешенного на упругой пити в газе, и т. д., о которых уже было упомянуто в гл. 3. По существу во всех этих явлениях мы имеем дело с флуктуациямн, вызванными тепловым движением.
Прп изучении их нас интересует характер изменения нх во времени. В теории явлений этого рода процессы в системе рассматрнваются как «случайные» процессы; они исследуются статистическими методами. Статистические методы, применямые в теории этих явлений, представляют собой развитие методов, данных в работах Эйнштейна и Смолуховского. В основе теории броуновского движения (как и более сложных явлений этого рода) лежит представление, что частица находится под действием беспорядочных толчков со стороны молекул окружающей среды. Действие «) Обзор результатов зкспернментальных работ см. в основной статье М. Снолухозсного в сборннне: Эйнштейн А., Сиолулозсиий М. Броунозсков лзнженне: Пор. с нен.— Мл ОНТИ, 1936, н з нннгж Птрреи Ж.
Броуновское двнженне: Пор. с франц.— С.-Петербург: Общестзеззнан польза, 1912. Сн. также: Птррен Ж. Атомы.— Мл Госиздат, 1924.— (Соврененныо проблемы егтестзозпаннл, кн. 20). 357 3 5». БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ этих толчков вместе с систематическим воздействием среды иа движущуюся частицу (трением) ведет к тому, что среднее (статистическое) аначение кинетической энергии ее поступательного движения равно (3!2)йТ (т.
е. значению, вытекающему пз закона равномерного распределения по степеням свободы для кинетической энергии, соответствующей координатам центра масс частицы). Установим прежде всего, как зависит смещение броуновских частиц от времени. Мы будем рассматривать смещение частиц в течение промежутков времени, достаточно длинных, так что аа это время сила, действующая на броуновскую частицу со стороны окружающих молекул, много раэ меняет свое направление.
Значит, для случая частицы в газе это время должно быть гораздо больше, чем промежуток временп между двумя последовательными столкновениями частицы с молекулами газа. Будем рассматривать броуновское движение в одном измерении (т. е. проекцию этого движения на некоторое фиксированное направление, принимаемое за ось х! и найдем среднее смещение частицы и его квадрата аа заданное время. При этом нужно иметь в виду, что адесь «среднее» (и «вероятность») понимается (как и во всем дальнейшем), конечно, пе как среднее повремени, а как среднее па совокупности части<), Для таких достаточно болыпих промен<утков времени мы можем считать, что смещения частицы за два неперекрывающихся промежутка времени статистически независимы между собой.
Ото основное допущение и позволяет установить зависимость среднего квадрата смещения от времени. Рассмотрим сначала случай, когда нет внешней силы (например, силы тяжести), и поэтому смещения частиц в разные стороны равновероятны, Пусть з = х — путь, пройденный в течение промежутка времени (О, 1); з, = х, — путь, пройденный в течение промежутка (О, <1), прнчев< з, (З; з, =х — х, — путь, пройденный в течение промежутка (г — 1,). В силу статистической независимости з, и з, н одинаковой вероятности полоя<ительных и отрицательных смещений з = з, = з»=0, имеем з,з» =в<в< =О п, следователы<о, 2 (з1 + 22) з1 + з<з» + з2 21 + з»' Введем обозначения з'=<р(<) п з< = <р(11),21=- <р(1 — <1).
Рогда получим функциональное уравнение ~р(з) = <р((,) + ~р(р — (,). Решение его: <р(1) = х' = з« = 2Р<, (53.1) где Р— постоянная 131), Характерной чертой соотношения (53.1) 353 Гл. з. пекотогые ВопРОсы стАтистическОЙ кинетики является пропорциональность среднего квадрата смещения первой степени времени. Заметим, что случайные фупкции, обладающие, подобно только что рассмотренной гр1г), тем свойством, что их изменения за разные промежутки времени статистически независимы между собой, играют очень важную роль в теории случайных процессов. Мы будем называть их случайными функциями с статистическими независимыми изменениями.
Очевидно, что описанное представление о характере броуновского движения справедливо только для не слишком малых промежутков времени. Действительно, если бы можно было считать 8 как угодно малым, то мы пришли бы к выводу о наличии бесконечно больших скоростей. В самом деле, средний квадрат скорости получается равным 2Р 1нп — = 11ш — оо з г Разберем теперь вопрос о броуповском движении более детально, чтобы установить аависимость смещений частицы от свойств окружающей среды и самой частицы. Для етого напишем уравнение движения частицы.
На частицу действуют, вопервьж, силы со стороны окружающей ее среды и, во-вторых, нз нее могут действовать внешние силы, например сила тяжести. Силы, действующие на частицу со стороны среды, можно разделить на систематическую часть — это сила трения — и случайную часть — флуктуацию втой силы взаимодействия среды с частицей, среднее значение которой равно нулю. Мы будем по-прежнему рассматривать смещение частицы за достаточно длинные промежутки времени и будем отвлекаться от очень мелких дрожаний частицы. Поэтому мы можем взять выражение дли силы трения, справедливое при движении с постоянной скоростью, именно, считать, что сила тренин пропорциональна скорости, ее х-компонента равна -Ьх, где й — коэффициент трения "). *) Мы считаем, таким образом, что имеет место закон сопротивления, характерный длк лампнарпогг движения жидкости.
Нетрудно убепптьсп, что прп броуновском движении усепзке лзмппаркостп лотокз з жпдкостп — малое значение чпска Рейпозьпса — можно считать зыполпепкым. Действительно, число Рейпольдса равно ке = раз/Ч. Если мы для скоростп г возьмем зпзчепке средней кзздрзтпчпой тепловой скорости (п, следовательно, будем учптызать зсе самые мелкие тепловые дрожаяяя частицы), то г Уйт)згрь гдз р, — плотность вещества частицы. Поэтому и ~/аг ке = ==. чУ~, У а зз, вгоуновское движвнин Кроме того, решая задачу о таком усредненном движении, мы можем не учитывать силу инерции -тх. Тогда уравнение движения частицы примет вид -)И+ 1+ Х О. (53.2) Здесь Х обоаначает компоненту внешней силы, зависящую от положения частицы, 1 — случайная часть воздействия на частицу окружающих молекул.
Среднее аначение ) для любого момента времени равно нулю: О. (53.3) Решение этого уравнения с х= х е а'+' — „~ )(О)саз~И, а (53.4) где х, — значение координаты х при 1 = О. Обоаначая через Р(1) импульс силы )(1), т. е. можем переписать уравнение (53.4) в виде а-а~ Г х — хае = — „~ е «(г' (О).
а (53.5) Здесь йГ(О) )(О)об — импульс силы 1 аа время НО. Мы предположим, что импульсы эти за равные промежутки времени статистически независимы между собой. Таким образом, мы принимаем, что импульс силы )(6), как и в вышеизложенной упрощенной модели смещение частицы, есть Здесь в системе СГС для воды чбтр 10-', р рю 1, ЬТ 10-та, так что кв т 3.100 ° 10 зР~(а м 3 ° 10 ЧЪ~а, Значит, даже врк а 10-' см (молекулярвые размеры) нолучаем йв 310 в условие ламвварваств выполнено, Величина ) быстро меняет свое направление.
Рассмотрим случай броуновского движения частицы, на ко« торую действует внешняя квазиупругая сила Х вЂ” их, Случай свободного броуновского движения получится отсюда как частный при и О. Уравнение движения имеет теперь вид х +ох = —, где И / 1 ь' Ш ГЛ. О. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ случайная функция с статистически независимым изменением. Средний импульс за любой промежуток времени равен нулю: схг'= О; кроме того, равно нулю среднее произведение импульсов для двух неперекрывающпхся промежутков времени: сои,М'е = О. (53.6) Отсюда (совершенно так же, как выше, на с.
357, в случае смещения з) вытекает, что средний квадрат импульса сор' за время езе равен ~~У" = 2ВМ, (53.7) где  — некоторая постоянная. Легко видеть, что если внешних сил нет, т. е. о= О, то смещение х-х, просто равно р((уЬ, а р (с)' гвс (х — х)о= —, а ь (53 Я) х=х,е '. 1 Мы видим, что в среднем смещение частицы экспоненциально стремится к нулю. Это вызвано действием квазиупругой силы и силы трения (инерция не учитывается, и поэтому колебаний около положения равновесия не получается). Так и должно быть, поскольку систематическое воздействие, вызванное толчкамп окружающих броуновскую частицу молекул жидкости, учтено членом с трением, а беспорядочная часть в среднем пропадает, Возведя в квадрат (53.5) и взяв среднее, получим с с е (х — х,е о')' = — ' ) ~еже+~ 'аг" (6) с)г" (О').
Ьо о о Здесь квадрат интеграла ааписан в виде двукратного интеграла и среднее взято под знаком интеграла. В силу (53.6) под интегралом остаются только элементы, относящиеся к совпадающим пнтервалавс с(О и с(6', так что на основании (53.7) результат Заметим еще, что на основании сказанного выше функция р(с) не имеет производной, так что функция 7(С) в уравнении (53.2) по существу не имеет смысла, и это уравнение имеет только символическое аначенпе. Уравнение же (53.5), заменяющео (53.2), продолжает сохранять смысл и в нашем случае. (Строго говоря, интегралы в нпх нужно понимать как интегралы Стилтьееа.) Взяв от (53.5) среднее по координатам н принимая во внимание, что с)г" О, получим з 53. БгоуновсиоГ движение 861 можно представить в виде 1 (х — х е о~)а 2Вз ~ тоо(О В(1 — е ') (539) ь о Это предельное значение естественно отождествить с средним значением х', которое нмеет место прн термодинамическом равновесии а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
