Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 73
Текст из файла (страница 73)
чо Полагая Во = М/А, получим ЛХ Ае — А + Р осе 6. (57.5) 72 дз ш= —. —. (В!се ше!и 6)+ — (В к)з!и б-— яп 6 ~дбс дфа че д д' (Во и а!п 6) 1 — дб (Л, ш згв 6) -1- Подставляя сюда Воо и Во, нз (57.2), Вв, иа (57.3), Ло кз (57.5) п Л = О, имеем дш д, / дш М 5 Р дзш з!п 6 — = — зшб ~Р— — — ш)+,—. дг дб ~ дб Ь ) гбпб дфз' (57.6) Предположим сначала, что момент М = — Кяп 6, прячем К вЂ” постоянная (например, в приведенном выше примере дкполя К = рЕ). Соответствующая ему потенциальная ввергая равна е = Ксоз6, М вЂ” де/дб.
Пз соображений симметрии стационарное распределение ш, должно, очевидно, аавнсеть только от 6 н удовлетворять уравнению, получающемуся из (57.6), если в нем положить дш/дс = О, дш/дф = О, откуда дш Ар з!Вб Р— — — ш =С'. о/ Уравнение Эйнштейна — Фоккера в вашем случае согласно (56.6) пишем в виде З Э7. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 377 Легко убедиться, что постоянную С' нужно положить равной нулю, тасс как иначе решение нельзя будет нормировать. Поэтому, подставляя 7Н = = — де!90, получим две во де Ю вЂ” + — —. = О.
дй 5дб Решение этого уравнения в,=С При этом постоянную С нужно определить нз условия нормирования 2п ~ в„з! и 0 80 = 1. з (57.7) В)! = )сТ. (57.8) Это соотношение для вращательного броуновского движения вполне аналогпчяо соотношению для поступательвего. Предполагая, что частица есть шар радиуса а, и принимая для коэффициента трения прп вращении вырансение Стокса' ) Ь 8пцас, где ц — коэффициент вязкости жидкости, получим для коэффициента диффузии Р вращательного броуновского движения формулу Эйнштейна: ЬТ В=— 8пс)а (57.9) Переходя к рассьютрешпо вероятностей перехода, у! предположим, что Н = О. Будем отсчитывать 0 от направления осп частицы в момент сю тогда з силу симметрии в не будет зависеть от ср. Кроме того, примем во внимание, что процесс однороден во времени В,Н и вероятности перехода зависят только от длины промежутка времени с, так что, пе нарушая общности.
Рпс. 23. можно положить сз =- О. Из (57.6) для плотности вероитности перехода в(О, с, О) получим уравнение дв 07 /, дв) зп! 0 — =  — ~зсп 0 — ~. д! д0 (, дб~' (57АО) Пользуясь этим уравнением, можно следующим образом определить средний ъвадрат синуса угла смещения частицы, пе решая самого уравнения. Примем во внимание, что и эш 0 = 2п ~ и з!Вз 0 00. (57.11) о *) См., например; Кочин Н. Н., Кибеаь Н. А., Розе Н. В. Теоретическая гндродинампка.— 51.; Лс Гостехиздат, 1937, ч. П. Распределение в, имеет вяд распределения Больцмана (плп канонического распределения Гиббса). Совиаденпе будет полным, если положить д 373 Рч.
з. некОтОРые ВОпРОсы стлтистическои кинетики 57миояьая (57ЛО) иа 2л зш' б п интегрируя по 6, получим 2л~ з1п б — дб = ып 6 = 2л(7 ~ зьп б — ~э!пб — 6) дб. (57Л2) д! д! .) дб ! дб! Преобразуя интеграл в правой частя путем двукратного интегрирования по частям и принимая прн этом во внимание, что э!пб для пределов интеграла обращается в нуль, находки 1 -~ -') =-~' эш б — !1э!п бдб) дб = — 2 ) з1пз 6 сов 6 дб дб дб~ е а л л 4 ~ зь э(п б дб — 5 ~ эь э! пз б дб. е е Подставляя это в (57.!2) н принимая во внимание (57.Ы) и (57.7), по- лучим д д! — и!ээ б = 4)7 — ОР з!п~ б. Интегрируя это дифференциальььое уравнение для ювьб при начальном условии з1п'б О при ! О, имеем — 2 зш б = — (1 — ««Ш). ' — 3 (57.13) Прп малых ! величину э!и'б можно заменить на бь, а 1 — е-'е' на 60!! тогда мы получим формулу Эйнштейна бь = 4()1, (57Л4) вполне аналогичную соответствующей формуле для поступательного броуновского движения (см.
(53Л), длл двух измерений). Для очень больших ! функция е-«эь стремится ьь яулю и эшьб стремится к 2/3 — значению, соответствующему равной вероятности всех направлений. Решение (неотрицательиое) уравнения (57ЛО), удовлетворяющее условяю нормирования (57.7) и прц ! = О обращающееся в нуль всюду, при 6чь О может быть получено общими методами решения краевых задач«); опо имеет вид « эь = — У (2ьь + 1) Рл (соз 6) « «=з где Р„(сов 6) — полпномы Лежандра, удовлетворяюп!ке условиям ортогональиости л чь ьзь Рз(сов 6) Рж (соэб) зшб дб =)(2ьь+1)72 ьь ж з «) См., например: Куреььг Р., Гильд«у« Я. Петоды математической фи» заки: Пер.
с нем.— 3-е ивд.— Мл 1'остехиэдат, 1951, т. 1, гл. т', Вуа 1 ьз, 3АдАчи О достижении ГРАниц $ 58. Задачи о достижении границ. Применение к вычислению числа соударений броуновской частицы Мы рассмотрим здесь специальные задачи, относящиеся к теории случайных процессов. Онк свяааны с вопросавш, для решения которых необходимо знание вероятности того,что в течение ввданпого времени броуиовскзя частица коснется границ заданного объема. Простейшим случаем задач этого рода является вопрос, возникакнцпй в связи с эксперяментальнон установкой Брпллюэна "). Брюллюэн обработал стенки сосуда с жидкостью, содервкащей броуновскпе частицы, таким образом, что частица, попав на стенку, остается на ней и выпадает из раствора. Он определил затем число частиц,приставших к степке за данное время. Рассмотрим сначала одномерную задачу.
Пусть аа) х — координата центра броуновской частицы пли вообще параметр, определяющий состоянв~ рассматриваемой системы. Предколожпм, что в момент с О частица (для определенности ыы будем говорить о частице) находилась в точке х, и обовпачпм череа )г'(х, с) вероятность того, что она ва время с хотя бы раз достигнет либо точки а, либо точки Ь. Обозначим, далее, через г(х, с, $Щ вероятность перехода за время с иа точки х в интервал ($, $ + 4$) без касания прп этом границы а илп Ь. Вероятность того, что частица, выйдя нз точки х,кк разу не достигнув границ а плп Ь, будет ко времени С в каь кой-нибудь точке внутри интервала (а, Ь), равна) и(»,1,5)йс; с другой а стороны, она равна, очевидно, 1 — И'(х, С), так что ь (, с, $) 45+ И' (, с) = 1. а (58.1) Вероятность И'(х, т+ с) того, что ва время т+1 произойдет хотя бы одно соударенне, равна сумме двух вероятностей: вероятности И'(х, т) того, что хотя бы одно соударенпе пропвойдет ва время т, п вероятности того, что аа время т соударенпе не произойдет, а оно произойдет за остапе.
нои промежуток времени с, равной 1 с' (х, т, ь) И' (ь, с) 4$. а Поэтому получаем соотношение, похожее на уравнение (54.3): ь И'(х, с+ О = )У(х, с)+ ~ о(х, т, 4) Иг($, с) с(5, (58.2) На границах отрезка прн х= а и х = Ь вероятность И'(х, с) для любого г обращается в единицу (зто значит, что уже при с = О граница достигнута), а именно: И'(а, с) =И(ь, О = 1. (58.3) а) Вгбйовсв 5.— Апп. 6. сЬпп. рЬ)А, 1912, Вс) 27, 8. 412. Критика его опытов к расчета дана М.
Смолуховским — см. сборник: Эйиштейи А., Смолухаееяий М. Броуновское движение: Пер. с нем.— Ма ОНТИ, И36, с. 367. ° ') В наложении следуем работам: Ноя»разия Л. Си Андронов А. А., Витт А. А.— ИЭТФ, 1933, т. 3, с. 172; Калма»орое А. Н., Леоитавич М. Л. 2пг Вегес)впцпй бег Вгопйв»Ьей Р)асЬе.— Зом. РЬуз., 1933, Вй 4, 8. 1. 880 гч. а. некстОРын ВОпРОсы стАтистическОЙ кинетики ФУ(х, О) О, а<х СЬ.
(58.4) Теперь мы должны ввести ряд допущений, касающ1шся плотвости вероятности и(х, г, Ц, выражающих то, что движение частицы происходит непрерывно. Эты допущевыя позволят нам свестп решение задачп к решеын1о дифференциального ураввеняя. Вероятность е(х, т, $) не равна вероятности перехода ю(х, т, $) беа условия педостижеппя точек а п Ь, рассматрявавшейся нами в $54, а очевидно, вообще говоря, и ( и. Поэтому если условие (54.11) выполнено для вероятности л1(х, т, с), то п для вероятности и(*, т, й) будет иметь место аыалогичпое условие: Пю ~~ с ( . т) ( та )з дат 1 Г т.ае 'т а (58.5) Если время т стремится к нулю, то н вероятность достижения границ а пли Ь стремится к нулю, поэтому и стремится к ю и стремится всюду прп 8 чьх к нулю.
Мы предположим, что это стремление происходит достаточно быстро, так что Иш ~ ($ — х) о(х, г, $) дб =!1ю — ~ Я вЂ” х) ю(х, т,4) 8$ =А(х, (58.6) отд г а И ~~(й Д (,,й) Ц=П ~~ (5 — ) (,, 5)д8= В() т-е г (58.7) (где А(х) и В(х), очевидно, имеют тогда то же значение, что п выше, в 4 54) и, кроме того, (ь + В ' ((.а..еа — ) с....11~1)=о о т а (58 8) или, приникая во выпмаыпе (58,1), И'(х, т) 11Щ = О. т е (58.9) Чтобы получнть дифференциальное уравнеяпе для Иг(х, С), разложим стошцее в (58.2) под интегралом выражение )у(4, г) в ряд Тейлора по степеням $ — х. Тогда а1* .1 1-а'< 1.~(~аа,и -,'а — 1 дИ'(х, С) дх а ($ — х)' дз)р(х, Г) ($ — х)' д'И'(х,, 1) ) +,, + б .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
