Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 72
Текст из файла (страница 72)
В согласии со ска- а ьь. пгимкнвния тглвнвния знншткинл-еокквгл зта х = — — + толчки Ь (ось х направлена вверх), где л — напряженность поля тяжести, Ь вЂ” по-прежнему козффициент трения. Уравнение Эйнштейна— Фоккера имеет ввд (6 д/Ы дм ди дм — = 6 — + с) —. дс дх (55.3/ Решение его (х+ Сс — х )ь) сд(х „с,х) = =ехр ь — ' ). (/4сс)сс с Таким образом, распределение — гауссовское, причем центр его смещается вниз (падает) со скоростью 6; кроме того, крнвая. распределения расплывается. Рассмотрим теперь (одномерный) случай, когда в начале координат помещена горизонтальная стенка, от которой отражаются частицы.
Тогда при х) О вероятность ю(хн с, х) должнаудовлетворять (55.3) н, кроме того, условию нормирования 1 сс (хь, С, х) ох = 1 е Дифференцируя зто последнее по с и пользуясь (55.3), получим О = — ) и с(х = ~ — (.() — + 6сд) с(х — — ~1) — + 6кс~ а о так как при х ю дсд/дх =О. Таким образом, при х О долснно быть выполнено граничное условие Р— +6ю=О. дх 24» ванным выше о задачах, относящихся к системе в тепловом равновесии, зто — исключительный случай, связанный с допущени ем, что частица движется в бесконечном пространстве. Допустив„ что броуновская частица не может выйти из некоторого объема (сосуда), мы пришли бы к выражению для вероятности, допус кающему стационарное распределение.
Из (55Л) видно еще, между прочим, что вероятность значе~ пнй случайной функции с независимым изменением (в данном случае такой функцией является х(С)), удовлетворяющей условиям (54ЛО) и (54Л1), дается гауссовским выражением. Рассмотрим еще случай броуновского движения в поле тяжести. «Уравнение движения» воаьмем в согласии с (53.2) в виде. $ за, многомерное уРАВнение эйнштейнА — ФОккеРА 373 причем ) и)ь)о)х = 1. Предполагаем, что существуют пределы 1пп — = 11ш — " (㻠— ха) и) (З, х; г + т, г) () Аг= Аа (г, х), (56.3) е (56.2) (за — гь) (з) — х)) «о 2т $ (' = 11п) —, ) (гь — ха)(г) — х)) п)(С, х; 8+ т, г) () ог= Вз)(г, х) хт3 н что (('ь ль) (') — *)) (') — ')( (56 4) «о о (х) «',) (х) — и) (бю хе; г, х) Ых= д )ь,*'.«*)[ — 2А Р ) —..).2» )«*) — «*,)»»») откуда после интегрирования по частям в правой части и принимая во внимание, что д(х) произвольпа,найдемдлявероятностп и)(г„х', г, х) уравнение Эйнштейна — Фоккера: ~) (х) —.'" = — ~~ — „.
(А» (г, х) (3 (х) ю) + «~ . (Ваап»). (56.6) а "а *) Вероятность перехода ю(йм х', », х) представляет собой неотрицательное решение уравнения (56,6), удовлетворяющее условияы нормирования (56.2) и при г=»«обращающееся в нуль всюду, кроме точки х х,. Величины А» и Вы характерпауют наш случайный процесс. Вс з„..., х„— прямоугольные координаты, то величины А» характерпзу)от систематическое изменение пх, Вы — случаиные отклонения от него. В наиболее общем случае выделение «систематической» части изменении координат неоднозиа шо и беа дальнейших физических рассуждений не имеет смысла. Дело в том, что при переходе к другим координатам А„ Р и В„преобразуютсл в Аа я В„в следующим образом: В этом легко убедиться, если в выражениях (66.3) разности з» вЂ” л», столщие под знаком интеграла, разложить в ряд Тейлора по разностям в но- Умно)кая (56.1) па произволытую функцию ))(х„х„..., х„) д(х) п повторяя весь вывод, данный в 3 54, получим вместо уравнения (54А2) уравнение 374 Гл.
з. ИвкотОРые ВопРОсы статистичкскои кинетики » вых координатах э — э„и принять во внимание (56.4). Таким образом, В», — компоненты теизора 2-го равга, величины же А» ве являются комвопейтами вектора, и из равенства их нулю в одной коордвватвой системе ие следует, что оки равны пулю в другой. Поэтому А» ие могут служвть вввариаиткой характеристикой систематического изменения. В случае, когда метрика в пространстве (эь э», ..., э„) ве введена, уравнение Эйвжтейва — Фоккера можно переписать в следующем виде: Здесь э = юр, тэк что вероятвость состояния Аэ равна и Нэ; Л вЂ” произвольная положительная величина, преобразующаяся согласно формуле д(э,,ээ, ...,эа) 1 д 5' - а ',,' „, В„= А„— —, (в»рл); В» — вектор, которым можно характеризовать систематическое пзмепевие т».
Однако, очеввдво, выбор его веодкозвачев ввиду произвольности 5. В качестве первого примера рассмотрим броуновское движение при отсутствии внешних сил в трех измерениях, считая, что состояние частицы определяется ааданием ее координат х, у, х Процесс однороден во времени, так что вероятность переходов аависит только от длины промежутка времени, а не от начала м конца его. Систематического смещения нет, поэтому А„ = А„ А, = О. Кроме того, ввиду иэотропип и однородности среды, в которой происходит броуновское движение, направления осей х, р, х совершенно равноправны, поэтому В В„„ = В„ В сопев и, кроме того, В - В„, — — В.. = О.
Последнее равенство следует иа (56.3), если принять во внимание, что, например, смещение, при котором (х — хе)(р — у») положительно, н смещение, при котором это произведение имеет ту же величину, но отрицательно,— одинаково вероятны. Кроме того, г) $, так как координаты декартовы. Для вероятности перехода ш ш(х„у„з»; 1, х, р, х) уравнение (56.6) принимает вид (56.7) Решение его, удовлетворяющее начальным условиям и условию нормирования*), следующее: (* — *,)'+ (у — у )'+ (* — э )' 1 (4лВ г)э'э е) Ом., например: Крыеее А. Н.
О некоторых двфферевцвальвых ураввепвях математической фиаики.— 5-е изд.— МА Лс Гостехвздат, 1959, 9 29. )Илв: фревв ф., ееиеее Р. Дифференциальные и интегральные уравиеивя математической физики: Пер. с нем.— МА Лх ОНТИ, 1937, ч. П, с. 835.) 6 27. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ВРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ Зпй 2 О7. Вращательное броуновское двпженые Разберем вопрос о вращениях, которые получает частица, помещенная в жидкость иля газ под влияняем теплового движения. Ориентировку частицы будем характеризовать поляриымн угламп б, е, определяющими положение в пространстве некоторого направления, свяэаиыого с частицей (которое мы будем называть осью частицы).
Вращение же частицы вокруг атой оги мы рассматривать не будем. Мы допускаем, кроме того, что иа частицу действует некоторый момент сил М(д б), вращающий ее ось в плоскости меридиана, т. е. в плоскости ьр солей Такой вращающий момент будет, например, действовать иа частыцу, если частица обладает электрическим моментом р, направленным по ее оси, и находится в электрическом поле напряженности Е, направленном по полярной осп неподвижной координатной системы б,ьр. В этом случае М = — РЕ 2!л б. Для решения задачи вводим вероятность юз!и б 2(6ьйр. Проекция бб~ углового смещения направления осп частицы бб на плоскость Р, образующую угол Х с плоскостью меридиана, проходящего через начальное направление осы, равна сумме проекций смещения по меридиану и по параллели.
Оиа с точностью до членов первого порядка в бб и Ьь(ь может быть поэтому ааписапа в виде ббг Ьб соз Х + Льр з(п б э!в Х (57Н) (в этом првближении можно пренебречь кривианой единичной сферы и рассматривать Ьбг, Аб, Ььр з1л б как отрезки на плоскости). Ввиду того, что толчки на частицу со стороны молекул действуют разномерно во всех направлениях, средний квадрат проекции смещения ие должен зависеть от поворота плоскости проекции Р. Принимая во внимание (56.3) и (56.4) (заиду последнего условия приближенное выраяьение (57Н) для Ьбг достаточно), получим Ьбзг Пт —. = В РР 1 2 2 2 2 ° 2 1!ьп.— (пбт созе у +2дбо(ь 21в б соз Х зьв Х+ бтз згаз б э)в Х) - Вез соз Х+2Ветюп б соз Хзьв Х+ В зьв Х= 1 2 1 2 ! — (Воз+ В э 21в б) + 2 (Вее — В зьп б) соз 2Х+ 2 Ве, з1п б юв 2Х.
Вьо выражение яе должно зависеть ни от ьр, ни от б, ии от 2 (последиее— в силу стацконариости аакоиа толчков); поэтому необходимо, чтобы Вьь+ Вьтз)п'б = сопз! = )7, (57.2) в о. (57.3) Сыстематическое изменение угла б вызвано действием момента сил М. Скорость Нь систематического изменения угла б нужно нриравиять угловой скорости вращения оси частицы вокруг оси, проходящей перпеидикуляряо плоскости меридиана и равной М/А, где !ь — коэффициент трении при вращении. Обозначим угол поворота за время т вокруг этой оси через ь562; тогда або В =" 1пп —.
о з 376 гл. ее. Некоторые ВОпРОсы стАтистическОЙ нинитинн Угол Ьбо нужно теперь выразить череа Ьб и Ьф с точностью до членов Ьбз . Ьф" всорого порядка включительно, так как Ипг — = 2Воо н Иш — 2В не равны нулю. Обоаначим углы, определяющие направления осп частицы прп т = О, через б и ср, прн т — через 6' 6+Ьб и ф' = ф+Ьр, а угловое смеще- ние осп — через Ьб. Пользуясь формуламн сферической тригонометрии, иа рис.
23 (все нанесенные на нем линии — дуги больших кругов) найдем соэ 6' = соз 6 соз Ьб + яп 6 з!и Ьб соз ф, зсп 6' яо Ьб з!и ф з!и Ьф' Π— — !6 Ьб = — 16 Ьб соа ф. Огсюда приближенно, с требуемой точностью, налодпм Ьб = У Ьбз + Ьф з!пз б + Ьфебб Ио б соз О, Ьб э! п ф = Ьф я и 6 (! + соз ЮЬЮ), Ьбе — — — Ьб соз ф = У Ьб — Ьб и!и ф= чд Ьб -!- Ьфгбб соэ б яп 6 = Ьб — —. Ьф з!и 6 соз б 1 и Ь 3 2 — — яп б соз 6 1пп — = Ьб В =Иш — =1пп— о— о = Ае — з!и 6 соэ ЮВ = Ае — Во!66.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
