Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Пользуясь теоремой о равномерном распределении, для этого последнего среднего получаем 1 МТ ваХ = 2)57, Ха= —. (53.И) Приравнивая (53.10) и (53.11), находпм В = йlсТ. (53.12) Как и должно быть по смыслу величины В, определяющей интенсивность толчков со стороны окружающих частицу молекул, она ве зависит от величины а, характеризующей внешние силы. В присутствия внешних сил и без них  — одно к то же. Подставляя (53.12) в (53.9), найдем (х — х,е ") = — (1 — е "'). (53.13) Перейдем теперь к случаю, когда внешних спл пет. Мы долтк- пы тогда перейти к пределу прн 55 = О. При этом о = О и 1 — еаю1.1 — еао'2 )цп = — 1пп = — 1.
Ь Поэтому для свободного броуновского движения 2ьр ха =— Ь (53.14) так что коэффициент диффузии 0 равен ~="ь' (53.15) Это — рзорлаула Эйнштейна, связывакицая коэффициент диффузии 0 п коэффициент трения й. ') Этот важный пункт рассувздевия будет более детальио обосновав и разобран а 11 64, 60. Прп 1-+ значение среднего квадрата отклонения х из положения равновесия, нак вытекает из этого уравнения, стре55ится к х' = —. аА (53.10) 352 гл. з. некоторые вопРОсы стАтистическОЙ кинетики Для случая броуновского движения сферических частиц в жидкости коэффициент трения мажно выразить формулой Стокса, полученной из гндродннамики вязкой ясндкости*): Ь = блат), (53Лб) гда а — радиус шарика, т) — вязкость жидкости.
Тогда получптся соотношение Р= —, (53Л7) Ич этой формулы вытекает возрастассие оживленности броуновского движения с повышением температуры и уменьшением размера частиц, а также его независилшсть от массы частиц. Для броуновского движения в газе, когда размер частицы мал по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа, формула Стокса неприменима, и в этом случае коэффициент трения монсет быть получен нз ъпнетической теории газов**). Из (53.14) легко получить выражение для среднего квадрата того расстояния ге в пространстве, на которое частица смещается аа время С В силу симметрии н (53.14) очевидно, что х' у'=хе =2Р1, откуда г' = хе + у'+ хе — 6Р( — формула, подвергавшаяся многократной экспериментальной проверке.
Необходимо отметить, что соотношение, аналогичное (53Л2), появляется в теории всех явлений, подобных броумовсъому движению. Заметим, что для газов оно может быть получено путем непосредственного вычисления силы трения как действия разницы м ударах окружающих частицу молекул спереди и саади и вычисления флуктуации импульса толчков с учетом флуктуации числа ударов. Поскольку это соотношение необходимо для того, чтобы имел место закон равномерного распределения, оно должно выполняться всегда при условии, что броуновское движение происходит в системе, находящейся в термодннамическом равновесии. Так, например, если броуповская частица заряжена, то па пее, кроме ударов мовекул среды, будут действовать электромагнитные силы со стороны неизбежно присутствующего равновесного излучения.
Импульс свеч, получаемьсй ею эа время схг, будет складываться из импульса, вызванного ударами Лро и импульса со *) См., нварвмер: Пненк 11. Введение в теоретнческую физику; Пер. с нем.— 2-в изд.— Мл ОНТП, 1932, ч. И; Кочин К.
К., Кнаень 25 А., Рива Н. В. Теоретическая гвдремехзмвнв.— Мн Гостехнздзт, 1948, ч. П, $23. "ь) См., кзэрвмер: Герзреньд К. Нвнетвчзсввн теория материи: Пер. е нем.— М.: ОНТИ, 1935, гл. 1, $24; Лорентсс Г. А. Статистические теоркв в термодинанвкв; Пер. с франц.— Мл ОНТИ, 1935, четвертая лекция 9 35. 9 ьь цепи ИАРкоВА. уРАВнение эинштеинА — ФоккеРА 363 стороны излучения ЬР„так что АР=АР,+АР,. В силу независимости этих двух воадействий средний квадрат ЛР равен йгч = ЬР', -(- ЬР,'. Полагая по-прежнему ЬР« = 2В»52, ЛР«' 2В«е»(, получим В= В, +В,. Если частица не заряжена, то действием окружающего иалучения можно пренебречь, тогда остается только член В,; коэффициент трения Ь, связан с ним согласно (53.12) соотношением В, Ь,ЬТ. Если частица движется в вакууме под влиянием одного излучения, то входит только В,.
В этом случае тоже неизбежно действует сила, аналогичная трению, коэффициент которого Ь„ причем Когда действуют оба фактора, коэффициент трения Ь Ь, + Ь,. Соотношение В = ЬЬТ соблюдено в силу (53.12) н равенства В = В, + В„хотя, конечно, характер течения процесса во времени, вообще говоря, иной, чем при наличии только какого-нибудь из двух воздействий.
з 54. Общие методы статистической теории протекания процессов во времени. Цепи Маркова. Уравнение Эйнштейна — Фоккера В вопросах статистической кинетики, так же как в частном случае теории броуновского движения, основную роль играет попятив цепи Маркова.
Под цепью Маркова е) (дискретной) в теории вероятностей понимают следующее. Пусть какая-либо система может находиться в одном из п состояний, которые обозначим номерами 1, 2, 3, ..., и. Предположиы, что состояние ее можно наблюдать через определенные промежутки времени, например каждую секунду, в моменты» = О, 1, 2, ... С течением времени могут происходить переходы из одного состояния в другое. Ряд состояний, принимаемых системой с течением времени, представляет собой цепь Маркова, если вероятность того, что при 6-ье наблюдении система находится в Ь-м состоянии, полностью определена заданием состояния (например, 1) системы для одного из предшествующих наблюдений в момент (е ( (.
Эта вероятность может быть записана в виде и((„»; г, Ь); ее можно наавать вероятностью перехода из состояния 1 в состояние Ь аа время ») Смл Марков А. А. Исчяелевке ееролтностей.— 4-е кад.— Мл Госиздат, (924; добаелеяяе «Замечательный случай испытаний, связанных е цепь». Изложение дискретных цепей в сея»в с фкакческкмн задачами см. В лянге: дне«ее В. '»«аЬ»чсЬе!п((сЬЬе(татесЬпппл, 1 (6.
(Гнеденло В. В. Куро теорнп вероятностей.— б-е нзд.— Мл Наука, (969.) 354 гл. «. Иекотогые ВОпРОсы стАтистическОЙ кинетики между л» п й Из сказанного вытекает, что эта вероятность перехода пе зависит от того, в каких состояниях система была до момента »». Понятие о цепи Маркова »южно распространить на случай, когда состояние системы может быть определено через сколь угодно малые промежутки П вЂ” непрерывный параыетр) и когда состояние системы определяется заданием непрерывно намепяющихся параметров х„х„..., х„. В наших задачах часть этик параметров может определять положеяие, часть — скорости системы. В дальпейшеь» мы часто будем для краткости писать один параметр — х.
Ряд таким образом определенных, следующих непрерывно друг за другом состояний образует цепь Маркова, если можно ввести вероятность перехода ю(8„х»; л, х)их из состояния х„которое система имела в момент Г„в состояния, для которых х лежит между х и х+ Нх к моменту», прпчем эта вероятность полностью определена заданием х. в.любой ыоыент г,. Если последовательность состояний системы во времени рассматривать как цепь Маркова, то точное задан»|е начального состоянпя определяет для последующих моментов времени вероятность состояния системы (а не саыо состояние, как зто имеет место в механике). При этом мы, конечно, пониыаеы слово «вероятность» з смысле его «физического» определения (з 3).
Мы считаем, что возможные значения состояния системы в моыент г образуют «коллектив» и вероятность плох дает относительное число появлеяий в этом коллективе состояний (х, х + е(х). Вопрос о связи вводимой таким образоы вероятности состояний со среднпмп по времени будет рассмотрен ниже, в $ 60. К понятию непрерывной цепи Маркова для случайной величины х можно прийти еще следующим образом. Пусть величина хП) для любого» ) («может быть представлена как функция от х, и а а(»„(), т. е. х=фх„а), (5й«.1) где а — случайная величина (закон распределения для иее, ю(8„Ф; а)иа, предполагается заданным), зависящая от промежутка («„«), причем значения а для разных (неперекрывающнхся) промежутков времени П, П статистически нееаеиси.иы мелсду собой.
Поскольку задано распределение вероятности для а, то этим определено расиределенпе вероятности для х прп заданном х„т. е. вероятность перехода (заввсящая от („х«, л). Заметим, что если значения а для разных промежутков времени статистически не независимы, то величины х(л) уже не будут представлять собой цепь Маркова, так как тогда, задавая значение х х, для момента Ф~ (»«, мы теы самым фиксируем а~ а(ГО Г«) и благодаря связи сс с а, меняем вероятность ил«л((„г,а)да, зависящую в этом случае от а,.
Таким образом, в этом случае 9 ы. цзпп магковл. углвнение эпнштвппа — Фоккега 365 задание х, пе определяет полностью вероятность перехода, опа зависит от предшествующих состояний. ! (оследовательность значений, принимаемых координатой броуиовской частицы в рамках теории, изложенной выше, представляет собой цепь Маркова.
В самом деле, согласно (53.5) л люжет быть записано в виде, аналогичном (54.!), а именно: х=хе "+ЫО, 1), (54.2) где гх (О, 1) =- 1 ~ е' г(г" (О) ь а — случайная величина. В силу статистической независимости ЛК(1) для пеперекрываюшихся промежутков времени величины сг — также статистически пезаеисиллые для пеперекрывающихся промежутков, например для (О, 1) и (1', (м) при 0~1(1' <1", откуда а силу сказанного выше п следует наличие цепи Маркова для х. Такилл образом, рассматривая в теории броуновского движеппя последовательный ряд состояний частицы как цепь Маркова, мы телл самым делаем определенное предположение о независимости толчков для разных промежутков времени. Цепи Маркова, конечно, вовсе пе являются наиболее общей мыслимой схемой случайного процесса.
По в статистической физике обычно случайные процессы рассматриваются как процессы, образующие цепи Маркова. Во мпогих случаях процесс можно представить как цепь Маркова путем введения дополнительных параметров, характеризующих состояние системы в данный момепт, например путем описания состояния системы заданием не только ее координат, по и скоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
