Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 66
Текст из файла (страница 66)
В случае обычных газов (состоящих из таких атомов или молекул, которые подчиняются статистике Ферми), ввиду малой концентрации газов и большой массы молекул, условие вырождения далеко не выполнено, вплоть до температуры сжижения газов.
Наоборот, в этих случаях мы имеем дело с областью таких концентраций и таких высоких температур, когда статистика Ферми приводит к результатам, совпадающим с классическими (3 51). Поэтому для обычных газов, поскольку речь идет об энергии поступательного движения их частип, можно пользоваться классической статистикой. Найдем еще давление вырожденного электронного газа. Для этого надо знать его свободную энергию Ч'. При вырождении (ч -гс)/е е ж 1, и следовательно, в этом случае можно положить '1' Е,.
(49.8) Но в силу (49.5) Е, пропорциональна У '/' и, следовательно, Ч" =Е, совзс ° У "*. (49.9) Отсюда, пользуясь общим выражением для давления, имеем р = — —, = — сопз1 г' дЧ' 2 -Ь/3 ду 3 Ф нли, разделив на Е„ Р~ = 3 Ео. (49.10) 'Хаким образом, связь давления с энергией в точности та же, что 336 ГЛ. К СТАТИСТИКИ ПОЗŠ— ЗИПШТЕЙНА Н ФЕРМИ и в классической теории обыкновенного газа (хотя Е„конечно, зависит от температуры и концентрации совсем иначе).
Это и неудивительно, потому что зто соотношение для идеального газа получается па основании самых общих положений (теорема импульсов, равновероятность всех направлений скоростей частиц), так что его вид должен быть тем же и в случае применения принципа Паули. б 50. Парамагнетиэм электронного газа и парамагиитные свойства щелочных металлов Классическая теория парамагнетпзма газов Лапжевена *) дает магнитную восприимчивость, обратно пропорциональную абсолютной температуре. Однако для ряда металлов, например для щелочных, экспериментально обнаружены парамагпитные свойства, причем для этих металлов магнитная восерипмчивость в широких пределах оказывается нв зависящей от температуры.
Объяснение этого факта было дано Паули в 1027 г. Он предположил, что парамагнетизм в этих случаях вызывается не магнитными моментами ионов решеток, а магнитными моментами, связанпымп со спиноз«электронов проводимости, другимп словами, объясняется магнетизмом электронного газа. Прн этом для объяснения незавксимости паракагнетпзма от температуры существенно, что электронный газ можно рассматривать как вырожденный газ Ферми. Найдем магнитную восприимчивость вырожденного электронного газа.
Энергия электрона, находящегося в магнитном поле, складывается из его кинетической энергии и магнитной энергии, зависящей от ориентировки спина электрона по отношению к магнитному полю. Спин электрона может быть направлен или по полю, нли против поля. Магнитный момент электрона равен «магнетопу Нора», т. е. (50.1) здесь в — заряд электрона, с — скорость света. Энергия, которой обладает в магнитном поле напряженности Н магнитный момент )«, равна — (рН), т.
е. в нашем случае равна т)АН. Полная энергия электрона равна е е-». )АН, (50.2) где в — его кинетическая энергия. Число состояний электрона с кинетической энергией в интервале (в, е+«1«) н спинок определенного направления йЯ»(в) равно половине выражения «1Я(е), ») См., например: Тамм Б. Б. Основы теоркк электричества.— 9-е нзд.— Мз Наука, 1976, 1 70; Беккер Р. Теорая электричества.— Мз Гостехиздат, 1941, т. 11, 1 30. 337 э ье.
пьгамлгнктизм элкктгонного газа определяемого формулой (47.9): (г,( ) = ~ ВРеьвт(е, откуда г,() =,' Вуе'~*, где в согласии с (47.9) 2т ~виР'- В= лвзв (50.3) Е = ') (д — рН) Иг, (д) + ~ (е+рН) е(г,(е). (50.4) Общее число занятых уровней равно числу электронов: г,(ю,)+г,ц ) =)у. (50.5) Нужно найти значения ь+ н б, дающие минимум Е прп заданном )т'. Днфференцируем (50.4) и (50.5) по ~е н ~, складываем производную от (50.4) с производной от (50.5), умноженном на неопределенный множитель Лагран>ка — ь.
Приравняв реаультат нулю, получаем — — ь — =О, — — ь — =О, дй дХ дЕ дУ ю (50.6) (~, рн) г,'((,) — ~г,'(~,) = о, (~ + рн) г,' (~ ) — ~г,'(~ ) = о, откуда (50.7) 1+=1+Ф1, 1 =1 — рН, причем ь находится нз условия (50.5), а именно: г,Е+дн)+гД вЂ” рН) =Х (50.8) Проекция магнитного момента электронного газа на направлеиие поля равна м=р[г,(2,) — г,(2 П. (50.9) Действительно, первый член в скобках дает число электронов со спипом, направленным по полю, а второй — число электронов со сппном против поля.
Принимая во внимание (50.7), находим М = р(г,(2+ рН) — г,(~ — рН)). (50 20) 22 м. А. леонтович При вырождении энергия системы имеет наименьшее возможное значение. Если запяты все уровни энергии, при которых спин направлен по полю и кинетическая энергия электрона меньше Ь+„ и все уровни, соответствующие обратному направлению спина с энергией, меньшей т",, то энергия системы равна с+ х 338 ГЛ. Ь. СТАТИСТИКИ БОЗŠ— ЭЙИШТЕИНА И ФЕРМИ (50.13) Зддвр жяддв д )(я«э«катк — вда ав (50.15) Таким обрааом, получается восприимчивость, не зависящая от температуры во всем (доступном для наблюдения) промежутке температур.
В этом расчете принят во внимание только сипя электрона, воздействие же магнитного поля на траекторию электрона никак не учитывалось. Учет этого обстоятельства, сделанный Л. Д. Ландау, в рамках квантовой теории е) приводит к выводу, что дви- «) для объяснения диамагнетиама существенно применение квантовой теории. Классическая теория вообще не может дать носледоэательного объяснения магнитных явлений как результата движения электрических зарядов. В общем виде это было докааано Лорентцем и Ван-Лелея, а еще аньще Бором в его неопубликованной диссертации (см., например: Блок Ф.
олекуляриая теория магнетизма: Нер. с ием.— Мл ОНТИ, 4936, гл. Н, и д). Классическая теория Лаажеэена, дающая в общих чертах правильное объяснение парамагнетиэма, исходит иэ существоаания вот«выл магнитных динолей а молекулах. Объясннть же возникновение этих магнитных моментов, исходя из движения зарядов, удалось только с квантовой точки зрения. Вели магнитное поле слабое, то рН мало пз сравнекню с („ и можно ограничиться членами первого порядка относительно Н. Это значит, что мы находимся в ооласти, где проницаемость постоянна, а для парамагнитных тел это имеет место вплоть до саыых сильных, достижимых на опыте полей. Разлагая поэтому Уд(ь ~)дй) в (50.8) и (50.10) в ряд по степеням Н и ограничиваясь членами первого порядка, имеем 22,(~) = 1дд, (50.11) М = 2рвНЯ,(~).
(50 12) 3 г,(Р Так как Я,((,) сопзь. Ь"4, тодд(Ь) = 2 — '. Принимая это во внимание и исключая иа (50.12) Яд(ь), получим зр'Л Б 24, Магнитная восприимчивость равна И 3р'Дд Хааракатя = БДт 2ЬГ Как видно из (50.11), величина ~ совпадает (в нашем приближении) с энергией последнего заполненного уровня, которую мы обозначали в т 49 через ь«. Поэтому ~ = ~, = —,', (ЗпсНд)"*в (50.14) идв )т', =)т'/Г, так что 3 ЬЬ СТАТИСТИКА ФЕРМИ. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ 339 жение электронов так воамущается магнитным полем, что получается диамагпитный момент, пропорциональный полю. Этот момент, а следовательно, и соответствующая ему восприимчквость Х„,„,„„, имеет знак, обратный знаку момента, полученного Паули, составляя одну треть его, т. е. 1 Хааамагн = Хаарамагн.
3 (50.16) Поэтому полная восприимчивость электронного газа раина ха упз Х вЂ” Хггарамагн+ Хлнамаггг 3з,з а.з з 3'л Ь (50.17) Сравним полученное значение восприимчивости с опытом для щелочных металлов. В этом случае число свободных электронов Таблица бд Ж можно считать равным числу ионов (одновалентный металл). Результаты приведены в табл. 5.1. Согласие теории с опытом для г(а и К вЂ” удовлетворительное. Отклонения для ВЬ и Сз объясняются тем, что при расчете совершенно не учитывался днамагнптпый момент ионов, который для больших ионов тяжелых металлов может играть уже существенную роль.
й 51. Статистика Ферми. Общий случай где й = 1, еслИ все п,(1, и й = О, если хотя бы одно пз>1," Р, = ~~~~ пзез — энергия системы. з=з 22а Перейдем теперь к рассмотрению газа, подчиняющегося статистике Ферми в обп(езг случае, не ограничиваясь низкими температурамп, для которых имеет место его «вырождеяиеа. Модель газа мы береза прежнюю, в частности не будем учитывать взаимодействия между частицами, и выведем для нее соотношения, годные дла любых температур.
Состояние нашей системы полностью определяется заданием чисел частиц п„п„л„... в состояниях с энергиями ео е„ез, ... Вероятность этого состояния согласно (49.1) равна )г'(пь п„п„...) е'~ з"'й(п„п„п„...), ЗАО Гл. ь стАтистики БОзе — эннштеннА и Фегми Свободная энергия Ч", как всегда, определяется из условия нормирования вероятности и может быть выражена через сумму состояний 3: е =3= т е = ~ ехр1— в Я1,Я~,... пг,йм... (51.1) Среднее число частиц в каком-нибудь состоянии, например в первом, равно ноя~, „, При этом суммировать здесь, а такжеввыражекии (51Л) нужно по всем возможным состояниям системы, т. е. по всем состояниям, для которых все и, имеют значения О и 1.
Ясно, что поэтому О<й,<1. Кроме того, так как общее число частиц постоянно, т. е. ,ЯНА = Х, то при суммировании нужно брать только совокупности чисел л„л„л„..., удовлетворяющие этому условию. Заметим, что вычисление среднего числа частиц й, сводится к вычислению суммы состояний 3. Действительно, полагаядь = -ЕА~Е = е, получаем 'Ч вЂ” 1 ча 1 и ((1 дз ° ° .1 л) = х ~~ л1$1 дз я|.пт„., ег,Ф3~,... (51.3) но ех ч~д я~-1 й~ л1Т1 Чи 1 и1,я~„.. м поэтому а, ех е1ег (51.4) Таким образом, достаточно вычислить сумму состояний. Зная ее, мы, как всегда, можем определить свободную энергию Ч" — 8 )п2, а значит, все термодинамические величины.
При вычислении 3 возникает математическое затруднение, связанное с необходимостью учитывать при суммировании усло- вие постоянства числа частиц (51.3). Чтобы обойти это затрудне- ние, поступим так. Если, как обычно, обозначить через б,„вели- чину, равную единице прк лг = О и нулю при т ТА О (т — целое), то, очевидно, Я можно записать так: В1 Вз г= Х б,,„„д,~, $ Ы. СТАТИСТИКА ФЕРМИ.
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ Теперь суммирование уже распространено по всем возможным и, О, 1, без учета условия (51.3), ввиду того, что члены, для которых зто условие пе выполнено, обращаются в нуль, так каи для вих б, т„,„= О. Величину б, можио записать в виде определеиного аналити» ческого выражения. Именно, легко убедиться простым интегрированием,что 3 ''ф =бе ='(О, ~0; е тогда Подставляя зто выражение в формулу для Я, имеем ар аю Я=,')', б,,„, „д,д, ...= аале..., 1 ~е "1 аю ( ра1е разе -« те — дг де ... ) е е ... е а,аю,... ю Но П (1 + дюеьз) = ехр Я 1а (1 + дюе )), и потому Я можио записать в виде Я = —.„~ ехр(- 1)Уф+ ~' 1а(1+ рюе'е)~йр. е А (51.5) Изменяя порядок интегрирования и суммирования, выполияя суммирование по всем значениям л,-0,1 (причем теперь уже суммпровапие по равным п„в силу сказанного иужио выполнять иезависимо одно от другого), получим чге ар реестр ае разе ь=.— ) е е,е оее ...оф=* з .) ар,аю,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
