Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Кроме антисимметричной функции (45.9), среди функций (45.8) есть еще функция симметричная: Ч'в в~а(1)1~в(2) + савв(1)Ча(2), не иаменяющаяся при перестановке координат частиц. Допущение, что для системы возможны только состояния, описываемые 2$ м. л. леовтоввв 322 гл. ь стАтистики вози — экнштВЙНА и ФБРми симметричными функциями, также ведет к отказу от индивиду ализации частиц и приводит к статистике Бозе — Эйнштейна, имеющей место, в частности, для фотонов.
й 46. Принцип Паули и принцип симметрии в волновой механике системы, состоящей из многих одянаковых частиц Изложенные соображения нетрудно обобщить на случай системы, состоящей из г»' частиц. Предположим сначала, что взаимодействие между частицами можно не рассматривать, и опять отвлечемся от спина частиц, Гамильтонов оператор системы равен Й=Н,+Е,+...+Е., (46.1) причем оператор Й, действует на координаты (-й частицы. Все операторы Н~ одинаковы, только действуют на функции координат разных частиц.
Состояние системы описывается волновок функцией Ч'(хо уь зо ..., х„, у„, з„) Ч'(1, 2, ..., У), (462) удовлетворяющей для стационарного состояния системы уравнению ЙЧг = ЕЧ», (46.3г причем Š— анергия системы в атом состоянии. Воспользовавшись, как и раньше, методом разделения переменных, получим одно из решений задачи в виде Ч' ='т (1)тв(2) ...т ()т), (46.4) где ч», фв, ..., й. — Собственные функции уравнения Шредингера для одной частицы, удовлетворяющие уравнению Йщ~ з1ф (46.5) и соответствующие собственным значениям е, зм ..., е, причем е»+е»+...+е Е.
Другие решения уравнения (46.3), соответствующие тому же аначению Е, получаются путем всех возможных перестановок координат частиц в выражении (46.4); в результате будем иметь Ч' ф (2)Фз(1)" ф.(У) Ч'" =ф (3)й»(1)" ф.(У), и т. д. Если все состояния ф, Чм ..., 4 различны, мы получим таким путем всего Ж) различных функций, т. е. собственное значение Е, в этом случае У!-Кратное.
Наиболее общее решение получим, если составим линейную однородную (с произвольными коэф- 3 46, пгнпцнпы симматгия и лптиснммктгин 323 фициентами) функцию из всех этих собственных функций, т. е. выражение Ч (й) (46.6) Если через РЖ обозначить функцию, получающуюся пз функ ции (46.4) с помощью некоторой перестановки координат частиц, то общее решение (46.6) можно записать в виде Я тра (46.7) где сумма распространяется па все возможные перестановки. Сама функция Ч' также входит в эту сумму; она находится в результате «тождественной перестановки» Р= 1 (т. е. отсутствия всяких изменений в функции Чг).
Эту тождественную перестановку тоже нужно включить в число возможных перестановок. Среди функций (46.7) есть две функции: симметричная и антисимметричная. Симмегричяал функция соответствует случаю, когда все сг 1: Ч', = 'ЯР%, (46.8) т. е. она не меняется при любой перестановке координат частиц. При перестановках в этой функции меняются местами только члены суммы. Антисимметричяая функция Ч'~ соответствует выбору сг = 1, если перестановка Р состоит из четного числа транс- позиций (перестановок двух частиц), н сг = — 1, если Р состоит кз нечетного числа трапспозпцнй.
Эта функция имеет вид Ч'а =,".',(~ РЖ), (46.9) $„ (1) 9з (1) ... 9 (1) в„ (2) Чз (2) ... ф„ (2) та (л ) тэ ('т) . тв (~) (46.10) Если среди состояний а, (), ..., ю есть хотя бы два одинаковых, го Чга О, так как в этом случае в (46.9) попарно равны члены, отличающиеся знаком. Это видно сразу и из (46.10), так как в этом случае в детерминанте получаются два одинаковых столб- 21~ где в сумме все члены, соответствующие четным Р, нужно брать ео знаком плюс, соответствующие нечетным Р,— со знаком минус. Функция Ч'~ только меняет знак при перестановке координат любой пары частиц, так как при этом все члены суммы меняют знак, поскольку ко всем перестановкам прибавляется одна транснозпция. В случае отсутствия взаимодействия, когда Ч' имеет вид (46.4), по определению детерминанта Ч', очевидно, можно записать в виде 324 гл. с.
статистики возк-эяншткинл и анями ца. Следовательно, если мы потребуем, чтобы состояние системы электронов описывалось всегда антисимметричпыми волновыми функциями, то тем самым мы потребуем выполнения принципа Паули в виде запрета нескольким электронам находиться в одном и том же квантовом состоянии. Таким образом, принцип (взапретв) Паули выражается в квантовой механике в том, что допускаются только антисиммегричные волновые функции.
Как уже указывалось, совокунпость электронов описывается антисимметричными функциями; для них имеет место принцип Паули. Из элементарных частиц принципу Паули подчиняются также совокупности протонов, нейтроны и нейтрино. Состояние совокупности фотонов описывается с метричными волновыми функциями.
Исходя из требований ннвариантности по отношению к преобразованиям Лорентца уравнений квантовой механики для элементарных частиц, Паули показал, что симметрия нли антнсимметрня волновых функций совокупностей элементарных частиц связана с тем, какой спин имеют элементарные частицы. При атом под спином для частиц, имеющих отличную от нуля массу покоя, понимается момент количества движения, которымобладает покоящаяся частица. Если же масса покоя равна нулю (фотоны), то спинок частицы называется наименьший момент количества движения, который может иметь частица [Квадрат вектора спина определяется выражением Ь'а(а+ 1), где а — характерное для каждого вида частиц целое или полуцелое положительное число (в соответствии с этим говорят, что частица обладает целым или полуцелым спнном). Если масса покоя частицы не равна нулю, то лри заданном г проекция спина на заданное направление х может пробегать значения г, г — 1, ..., — а — всего 2з+ 1 значений.
Большинство элементарных частиц — электроны, протоны, нейтроны, мюоны, нейтрино и их античастицы, а также все гипероны (Л, Х, Е) — обладают олином 1/2. Спин я- и К-мезонов равен О. Фотоны обладают олином а 1, причем а, может принимать только два значения: а,= ж1 в).1 Паули показал во), что для элементарных частиц с полуцелым олином волновые функции — антиси.кметричиые, для элементарных частиц с целым спином — симметричные. Пусть теперь мы имеем совокупность частиц, каждая из которых состоит из нескольких элементарных частиц (например, [е) О смысле момента колкчвстаа двкжвяяя а квантовой явхаявкв смл Блоеокцее Д.
Б. Основы квантовой механики.— 6-в яад.— Мл Наука, 1983; Ландау Л. Д., Лвфвекц Е. М. Кааятовая квхакика (кврвлятяаястская теория).— 3-в яад.— Мл Наука, 1974.— (Творвтячвская фкзяка, т. )Н); Береетецкия В. Б., Лвтувекц Е. М., Пктееееккз Л. П. Квантовая влвктродякамкка.— 2-в иад.— Мл Наука, 1980.— (Творвтячвская фяакка, т. )т). ° е) Сил Пав*в В. Труды по каактозой теории: Статьи 1928 — 1958.— Мл Наука, 1977, с.
354.) $4«. Пгинципы симмвтгии и Антиснммвтгии 325 атомарный водород или газ, состоящий из молекул), и будем в пашем рассмотрении трактовать каждую кз таких частиц как неделимую. Тогда состояние системы должно описываться волновыми функциями: симметричной относительно координат таких слонсных частиц, если каждая частица состоит из четного числа иве»септарных частиц, подчиняющихся запрету Паули, и анти- симметричной относительно координат, если каждая частица состоит иа нечетного числа элементарных частиц. Действительно, в первом случае переставляя две частицы, мы тем самым совершаем перестановку чепюго числа элементарных частиц, и потому антиснмметрпчная (по отношению к их координатам) волновая функция не должна меняться при перестановках сложных частиц — она должна быть симметричной относительно координаг втих сложных частиц.
Во втором случае перестановка сложных частиц состоит в перестановке нечетного числа элементарных частиц и потому должна менять знак волновой функции. Другими словами, волновая функция должна быть антисимметричной функцией координат сложных частиц.
Являются ли частицы влелсентарныын илн совокупностью определенного числа элементарных — имеет существенное значение для «статистики» этих частиц (т. е. выбора симметричных или антисимметричных состояний). Если в состав системы входят частицы первого и второго рода, то волновая функция системы должна быть симметричной по отношению к перестановке координат частиц первого рода и аптиснмметрнчной по отношению к перестановке координаг частиц второго рода. Допущение только симметричных нли только антисимметричных волновых функций может быть истолковано как огнаэ ог индивидуализации частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
