Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Плотность вероятности перехода ил((г, х,; 1, х) для цепи Маркона удовлетворяет следующему илтегральпому уравпепию Смолуховского *): ю(г„хг;1+т,х) = ) ю((„хг;1х)кл(г,х;1+т,х)г)г, (543) где иптегрировапие распрострапепо па всю область изменения величины х (пли, в случае многих параметров, всех величин яо .хг...., х.). В самом деле, вероятность перехода за промежуток времени Пи 1+ т) из состояния х, в состояние (х, х+г(х) равна сумме произведений вероятностей перехода за промежуток времени (1„1) из х, в любое состояние (г, в+ г(з) и ив него за промежуток времени (1, 1+ т) в состояние (х, х+ г(х).
«) Сю сборкнк: Эймюггйлл А., Смохухоггкий М. Броуаовское дввженяе: Пер. с нем.— Мх ОНТИ, 1936. Математическая теория относящихся сюда вопросов развита в работе: глигмогорог А. гг. Аналитические методы теор~ел вероятности.— УМН, 1938, вып. 5, с. 5. 366 ГЛ О. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ Кроме того, очевидно, ) и (10~ Х01 11 Х) дх (54.4) В тех случаях, когда вероятность переходов аавнсит только от разности ( — 1„ т. е. и((„Х0; 1, х) = и(х„т — 1„х), случайный процесс можно называть однородным по времени. В задачах о флуктуациях в системе при стационарных внешних условиях, в частности прн тепловом равновесии, это имеет место всегда. Если при г- 0 вероятность перехода стремится к некоторому пределу: 1ппи(х,1,х) = и(х), 1-~О не аависящему от начального состояния системы, то мы говорим„ что существует предельная или стационарная вероятность, Предельная вероятность удовлетворяет следующему уравнению, получающемуся из (54.3) при переходе в нем к пределу г -~- ис и (х) = ~ и (г) и (г, т, х) дг.
(54.5) Можно также найти вероятность какого-лнбо состояния в момент если в момент г, еадано не начальное состояние, а вероятность его и'. (Х0) Нхо т. е. вероятность определенных значений х,. 11скомая вероятность равна, очевидно, и (г, х) = ~ и, (х ) и (10, х,; г, х) НХ0 (54.6) (54.7) причем при 1=0 и(0, х) и„(х), (54.8) а при 1- 00 и(1, х) стремится к стационарной вероятности и(х) (если она существует). Если распределение и0(Х0) в начальный люмент стационарное: и,(0, х,) = и(Х0), оно в силу (54.4) будет таким же для любого следующего момента времени. Если сделать ряд предположепий о вероятностях перехода, то решение интегрального уравнения Смолуховского (54.3) может быть сведено к решению уравнения в частных пронаводных, так называемого уравнения Эйнштейна — Фоккера.
Мы рассмотриы н, как легко убедиться, умножив (54.3) па и,(х„) дх, н интегрируя, удовлетворяет уравнению и (1+ т, х) = ~ и (т, г) и (г, г; г + т, х) дг, 1 ы. цепи млгковл. Углвнпник эннштвянл-эоккврл ббу одномерный случай, когда состояние системы определено одним параметром х, и сделаем следующие допущения«). Мы предположим, во-первых, что процесс происходит так, что существуют конечные пределы: 1(ш — = 1пп- Г(г — х) ю(1, х; С+т, г) Иг А(С, х), (54,О) е 1пп (— ' = 1(ш — 1 (г — х)з сг(1, х; 1+ т, г) дг 2В (1, х).
(54ЛО) Величина А(1, х) дает среднюю скорость систематического изменения х, величина В(1, х) — меру интенсивности толчков *«). Они являются характеристиками данного процесса. Мы предположили, таким обравом (подобно тому как это имело место в рассмотренных выше случаях), что (г — х)'=Ах* пропорционально т для малых т. Второе предположение должно выражать то, что для малых т вероятности сколько-пябудь значительных изменений величины х очень малых и достаточно быстро стремятся к пулю.
Зто требование можно выразить в виде э 11ш ' = 1йп — ) (г — х(«и~((,х;1+т,г)с)г=О. (54И) г е Условие зто легко понять, если принять во внимание, что длп малых г — х величина ~г — х~' очень ьсала, для больших же г — х, сл(1, х; С+ т, г) должна так быстро стремиться к нулю, что еоответствующие члены стремятся к нулю вместе с т (но все же так, что величина В(1, х) не равна нулю) ««*). Задаче, поставленной таким образом, молсно привести в соответствие символическое уравнение движения: х А(1, х) + беспорядочные толчки. *) Вывод (в упрощенном виде) заимствован из работы: г(аемееерее А. В. Аналитические. методы.— УМН, 1936, вып. 5, е. 5, Я 13 и 14. Л, Н, Колмогоров пеиазывает, что наше первее предположение (54ЛО) являетгя, вообще говоря, следствием второго (54Л1).
) О рааделения па систематическое и беспорядочнее изменение см. мелкий шрифт $56. ° е«) Это требование характеризует задачу в тем смысле, что позволяет рассматривать х паи непрерывно иамевяющуюся величину. Выводы, получевиые с помощью этого условия, неприменимы поэтому для случая броуновского деижевия (папример в гааз) для очень малых промежутков времеви, есин под з подразумевать сворость частицы и (и считать, что в мсмевт сеударепия опа мгновенно меняется), Действительно, согласно формулам теории газов вероятность того, что за время т (малее по сравнению с временем свободного пробега О) проиаойдет соударение, равна 1 — е-меже/Ф. Нрв сеудареиви скорость изменяется в среднем ва конечную величину ~б, так что )ав)е баг/В и условие (бв(з/т -ч-О (прв т-е.
0), очевидно, невыполнимо. зщ Гл. е. пикотоуые Вопзосы стлтистнчвскоп кш|втикп Для вывода уравнения Эйнштейна — Фоккера помножим (54.3) на произвольную функцию д(х), обращающуюся в нуль вместе сосвоей производной па границах области изменения, н проинтегрируем по всей етой области, например от х= — оо до +со. Тогда ~о(х) а)(г„х,;1+т, х))(х = = ~ и) (ге, .те; 1, г) )]г ~ ш (1, г; 1+ т, х) )) (х) с(х.
Разложив в правой части )1(х) в ряд яо степеням х — г, переносн первый член в левую часть и разделив па т, получим е' о| и (|, « ; 1 + т, «) — ю (|, «; |, «) о о: т ( — 1' )ч *.'~.*)[а')*)'='-)-)')*)', ' |.а" )))". *' ]е. причем значение Ь лежит между г и х. Заметим, что если ] у ' (ь)] ( М, то член с третьей производной в правой части меньше М]х — г)'/бт и стремится к нулю при т — О в силу (54.И).
Переходя к пределу т- О, принимая во внимание (54.9) и (54.10), имеем ( .) д~(|о'*е)1' ) 1 ) к)(1е,хе;|,г)(д'(г)А(1, г)+ д" (г)В(1,г)]Юг. (54.12) Выполняя справа ш|тегрировакие по частям, принимая во внимание, что па границах д = д' = О, н изменяя обозначение переменной интегрирования г на х, получим д (х) [ — + — — ' ~ Ых .= О.
(де) д (Ам) дт (Ве))1 [ д| д,с д«т Так как зто уравнение должно иметь место при произвольном й(х), то*) для плотности вероятности перехода и(1и х; 1, х) отсюда вытекает уравнение Эйнштейна — Фоккера: дюа д]А(|, «1 е)] д (В(с,.т))ы] (54.19) д«е Это дифференциальное уравнение — типа уравнения теплопроводности (параболического типа).
Нужно найти его решение, е) См. так называемую основную лемму еараецаоааото нсчаслекан, неврнмер, а нннте: Курант Р., Ги«обер« Д. Методы математической физика: Пер. с нем.— 3-е нзд.— М.: Гостехаедет, 1951, т. 1, тз. 11), $3, и. 1.
Е»«. ЦЕПИ МАРКОВА. УРАВНЕНИЕ ЭйНШТЕйНА — ФОККЕРА 369 удовлетворяющее условию нормирования (54.4), обращающееса при г'=О в нуль всюду, кроме х=х„решение того же типа, что и решение задачи распространения тепла из точки. Вероятность ш(г', х) состояния х в момент г' прн ааданпом начальном распределении ш»(х»), как легко убедиться, подставляя (54.7) в (54.13), также удовлетворяет уравнению Эйнштейна — Фоккера. Е!ачальпые условия для нее даются выражением (54.8) е).
Уравнепие Эйнштейна — Фоккера (54.13) допускает следующее наглядное истолкование, которым часто пользуются для еге вывода. Пусть мы имеем большое число броуновских частиц, выходящих в момент»» иа х, н движущихся независимо друг от друга. Концентрация их в точке х в момент 1 пропорциональна ш(»„ х„ г, х). Поток частиц Я складывается из «гидродинамического» потока Аш, где А — скорость систематического их движения, и потока диффузии — д(Вш)/дх, так что Я=Аж — д(ВШ)/дх.
Уравнение (54.13) представляет собой уравнение непрерывпости: дю ду — + — = О. дт дх Допустим, что А и В не зависят от 1. Стаппонарное решение должно удовлетворять (54.13) прп дш/дг = О, откуда — ~Ап» вЂ” — (Вш)~ = О, д ( д т.
е. — — Аш = сонет. д(В дх Если область изменения х простирается от — до +, то в бесконечности ш = дш/дх = О *е) и, следовательно, — — Аж=О. (54 14р *) Заметим еще, что плотность вероятности перехода и»(»ь х», 'д х) удовлетворяет, мак функция «квчалькых» переменных»», хь уравнению, сопряжеакому с уравпеаием Эйнштейна — Фоккера: дю дю д'ю . в= (гш~е)дх + (го'хе) о хо Смл Нова«воров А. В., цит. па с. 367.
Применение ааалогичяого уравнения в связи с кекоторыми другими задачвмп теории броуповского двшкеапк см. ниже, 1 58. **) Можно показать, что это имеет место прп сведующих условиях: в) С" ) В ) С', где С" к С' — двв некоторых положптельпых числа; б) прп х- вв А — отрицательное, прп х-ь — во А — положительвое,вричемпвтом, н в другом случае ко абсолютной велкчпае больше кекотовоа постояяяой (смл Понтрявин В. С., Андронов А. А., Витт А. А.— ЖЭГФ, $933, т. 3, с. 472. Если втп условия ие выполнены, то стациоавркое решение может и пе существовать; ср.
врямеры, прпведепвые в 1 55. 24 м, А. леонтович 37О ГЛ. 6. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ КИКРТИКИ Отсюда находим (х ю (х) = — ехр ~ ) — . С ( А (5) д51 =в ).) ва) ~ « Постоянную С нужно определить из условия нормирования (54.4). В теории процессов в системе, находящейся при постоянных внешних условиях, например в теории флуктуаций в изолированной или изотермической системе, кроме допущения о том, что состояние системы представляет собой цепь Маркова, делается еще второе основное допущение: допускается, что вероятности переходов таковы, что существует предельная (стационарная) вероятность состояния.
Эта стационарная вероятность и является той «вероятностью состояний» безотносительноккакомунибудь начальному состоянию, которая рассматривается в термодинамической статистике. Для изотермнческой системы соответствующее ей распределение является каноническим, для изолированной системы — микроканоническнм распределением. 3 55. Некоторые применения уравнении Эйнштейна — Фоккера Рассмотрим ряд простейших применений изложенной общей 'теории, прежде всего свободное броуновское движение в одном измерении.
Мы будем рассматривать явление, схематизируя его так же, как в $53, и будем определять состояние частицы только заданием ее положения, не рассматривая ее скорости. В согласии со сказанным в з 54 мы полагаем в уравнении Эйнштейна — Фоккера А(х) =О. Величину же 1 . (х — х) 1 . »" В =- —,1пп = — 1(ш-, е «2 т' пе аависящую в силу однородности процесса во времени и в пространстве ни от 1, ни от х, обозначим через О. Уравнение Эйнштейна — Фоккера обращается в уравнение диффузии: дм дм — =В— д8 дх« ' Решение его, удовлетворяющее сформулированному выше начальному условию и условию нормирования, имеет вид 1 ( (" — "«)«) ю(х 1,х) =-=ехр~ — — « (55.2) Распределение — гауссовское; оно все время расплывается,так что стационарного решения не существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
