Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Из этой формулы видно, что оба уровня раздвигаются, смещаясь в противоположные стороны (больший уровень увеличивается, а меньший — уменьшается). Величина раздвижения тем больше„чем меньше разность ) Е, — Е, (. МатРичный элемент Увв,А вычислиетсЯ в точности так, как это было сделано выше при определении вероятности столкновения второго рода. Разница заключается лишь в том, что волновые функции у„дв и т„лв относятся к дискретному спектру и потому должны быть нормированы на единицу.
Согласно (48,3) имеем г ° l Звэв 1 Г я У,= Р— соз1 — ) Рвй.—— 4 / и аналогично для д„х,.' Сравнение с формулами (90„3) — ',90,5) показывает, что рассматриваемый теперь матричный элемент Увв „ связан с вероятностью ир перехода при двукратном прохождении через точку пересечения соотношением Авэв Аврв )р . )'=ш — —. зя зл пппдиссоцилимя 415 $ эа! 1. Определить полное сечение столкновеннй второго рода нак фупкппю от кинетической энергии Е сталкивающихся атомов длв переходов, связанных со взаимодействием спин †орби [Л.
Я. Ландау, 1932). Р е ш е н и е. Ввиду квазикласспчлостн движения ядер можво ввести понятие о прицельном расстоянии р (расстояние, на нотором ядра прошли бы друг мимо друга при отсутствии взаимодействия между ними) н определить сечение г(о как произведение прицельной площади 2пр бр на вероятность перехода ш (р) при одном столкновении (ср. 1, 4 18).
Полное сечение а получается интегрированием по р. Для взаимодействия спин †орби матричный элемент У (г) не зависит от момента импульса М сталкивающихся атомов. Пишем скорость о в точке г = гз пересечения кривых в виде = )/ 2 (Š— (7 — М!. ) = ~/ 2 (Š— (7 — Р,Е ) . Здесь (7 — общее значение УГ н ()э в точке пересечения, р — приведенная масса атомов, а момент М = рръ (ос — относительная скорость атомов иа бесконечности). Начало отсчета энергии выбираем тах, чтобы энергия взаимодействия атомов в исходном состоянии была равна пулю на бесконечности; тогда Е = ро~/2. Подставляя в (90,7), находим 8пэ)гэ р г(р Интегрирование по !йо надо производить а пределах от нуля до значения, прн мотором скорость и обращается в нуль. В результате получнм 4~/'2Р тутгэ УŠ— и Д)рт — г,) Е 2.
То же для переходов, сввзанных со взаимодействием вращения молекулы с орбитальным моментом (Л. Д. Ландау, 1932). Р е ш е н и е. Матричный элемент )г имеет вид У (г) = ЛЮ/ргэ, где (7 (г)— матричный элемент электронного орбитального момента. Тем же способом, что н в задаче 1, получим 18 ~/.2 яз()э (Е (Г)з/2 и 3ДР! ' ) г, — Р,) 3. Опредеднть вероятность перехода для энергий Е, близких к значению (гг потенпнальной энергии в точке оересечения. Р е ш е н и е.
При малых значениях Š— Уг формула (90,7) неприменима, так как скорость ядер з нельзя считать постоянной вблизи точки пересечения я поэтому нельзя выносить ее из-под знака интеграла, иаи это было сделано прн выводе (90,7). Вблизи точки пересечения заменяем кривые Узы Угэ прямыми иы-((,-Е„2, им=и,-р„й, Волновые функпии йавт и у„д, в втой области совпадают с волновыми функ циямн одномерного движения в однородном поле (б 24), Вычисления удобно про- двухдтомндя молекула (гл хг 416 изводить с помощью волновых функций в импульсном представлении.
Волновая функция, нормированная на 6-функцию от энергии, имеет вид (см. задачу к 4 24) и, = ехр ~ — ~ (Š— Ух) р — — ~ ~, а функция, нормированная на равную единице плотность потока н падающей н отраженной нолнах, получается умножением на Уйцб: 1 Г с Г рз 1 а, ехр~ — ~(Š— Ус) р — — ) ~ У.) ~рс,) бр) . При интегрировании возмущающусо энергию (матричный элемент) У можно снова вынестп из-под знака интеграла, заменив ее аначенкем в точке ссересе.
ченияс 2п В результате получим 4пУ (29)зс~ Л'Сз (р„рт,) УЗ (рЗ, — рщ)-'М где Ф (й) — функция Эйри (см. 5 Ь матемапсческих дополнений). При большив Š— Ус эта формула переходит н (90.7). 4. Определить нероятиость перезарядки при далеком медленном (относи. тельная скорость о < 1) столкновении атома водорода с ионом водородз— протоном (О. Е. Фирпм, 1951) "). Р еш е н и е.
Будем рассматривать систему Н + Н+ как молекулярный ион водорода (см. задачу к 4 81). Перезарядка состоит в переходе электрона из состояния ф,, локализованного иа парном ядре. н состояние фз вблизи второго ядра. Эти состояния не являются стационарными даже при неподвижиыи вдрах: стацианарны состояния 1 2 УГ Их энергии как функции расстояния Е между цдрамн: Уа, и (Е).
Когда ядра совершают заданное медленное движение (которое рассматриваем как классиче скос), зтн энергии являются мсхленно меняющимися функциями времеви, а временная зависимость волновых функций дается сквазиклассическими по времеви» миожнтелямн ехр ( — С )( Уа. и(С)'1() (ср. й 53). Суперпознцсся обоих состояний. санпадающая при с — са с фг, есть с с 1 » — = », „( ( ) гь»)+ст Г(-~ ( и„»)] ~/'2 ~ -Ф Ф с) В этой задаче пользуемся атомными единицами. пи ндиссошгаы ия При 1-ь еч зта функция представляет собой линейную комбинацию вида с,ф + + сзфз, а вероятность перезарядки ш = ) с, )е.
Простое вычисление дает ! ю=з!петь т)= — (У вЂ” У,)й. Прн столкновениях с большими прицельными расстояниями р (существеянымн при достаточно малой скорости е) движение ядер можно считать прямолинейным, т. е. положить )г= )'р'+ охте. Разность же ӄ— Уз прн )т 2 ! дается формулой (4) нз задачи к 4 8!. Тогда 4 г )с~е т! = — ~ й!. рг )зя Прн р Ф 1 в интеграле сушественна область значений )с вблизи нижнего предела; положив )с = р (! + х), получим ~)ян — ре о~ лх= р~е о.
2г'2 з г е о" 2)'2п ,) ).— о ГЛДВД ХП ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ 9 91. Преобразования симметрии Классификация термов многоатомной молекулы существенно связана, как и у двухатомиой молекулы, с ее симметрией. Поэтому мы начинаем с изучения тинов симметрии, которыми может обладать молекула. Симметрия тела определяется совокупностью тех перемещений, которые совмещают тело с самим собой; об этих перемещениях говорят, как о преобразованиях симметрии. Каждое из возможных преобразований симметрии можно представить в виде комбинации одного нли нескольких из трех основных типов преобразований. Этими тремя существенно различными типами являются: поворот тела на определенный угол вокруг некоторой оси, зеркальное отражение в некоторой плоскости и параллельный перенос тела иа некоторое расстояние, Из них последним типом может обладать, очевидно, только неограниченная среда (кристаллическая решетка).
Тело же конечных размеров (в частности, молекула) может быть симметрично только по отношению к поворотам и отражениям. Если тело совмещается само с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол 2п/и, то такая ось называется осью сим. метрии п.го порядка. Число и может иметь любое целое значение: и = 2, 3, ...; значение и = 1 соответствует повороту на угол 2п или, что то же, на О, т.
е. соответствует тождественному преобразованию. Операцию поворота вокруг данной оси на угол 2н/и мы будем обозначать символически посредством С„. Повторяя эту операцию два, три, ... раза, мы получим повороты на углы 2 (2п/и), 3 (2п/и), ..., которые тоже совмещают тело с самим собой; эти повороты можно обозначать как С„', С'„... Очевидно, что если п кратно р, то (91,1) В частности, произведя поворот и раз, мы вернемся в исходное положение, т, е. произведем тождественное преобразование; последнее принято обозначать посредством Е, т. е.
можно написать С„"= Е. (91,2) % эц ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИММЕТРИИ Если тело совмещается с самим собой при зеркальном огра" женин в некоторой плоскости, то такая плоскость называется плоскостью симметрии. Операцию отражения в плоскости мы будем обозначать символом щ Очевидно, что двукратное отражение в одной плоскости есть тождественное преобразование аз= Е. (91,3) Одновременное применение обоих преобразований — поворота и отражения — приводит к так называемым зеркально-поворотным асям.
Тело обладает зеркально-поворотной осью л-го порядка, если оно совмещается с самим собой при поворо- " ~п' те вокруг этой оси на угол 2п/л и последующем отражении в плоскости, пер- ! пендикулярной к оси (рис. 32). Легко сообразить, что это есть некоторый новый вид симметрии только в том случае, если п — четное число. Действи- 1 тельно, если п — нечетное число, то 1 и-кратное повторение зеркально-пово- 1 ротного преобразования будет равно- р/ сильно простому отражению в плос- Рис. 32 кости, перпендикулярной к оси (поскольку угол поворота будет равен 2П, а нечетное число огра.
жений в одной и той же плоскости есть простое отражение). Повторяя это преобразование еще п раз, найдем в результате, что зеркально-поворотная ось сводится к одновременному наличию независимых оси симметрии и-го порядка и перпендикулярной к ней плоскости симметрии. Если же и — четное число, то п-кратное повторение зеркально-поворотного преобразования возвращаев 'тело в исходное положение. Зеркально-поворотное преобразование обозначаем символом Я„.
Обозначая отражение в плоскости, перпендикулярной к данной оси, посредством о„, можем написать, по определению Я„= С„ОА = НАС„ (91,4) (порядок, в котором производятся операции С„и ОА, очевидно, не влияет на результат). Важным частным случаем является зеркально-поворотная ось второго порядка. Легко сообразить, что поворот на угол и с после. дующим отражением в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, представляет собой преобразование инверсии, при котором точка Р тела переводится в другую точку Р', лежащую на продолжении прямой, соединяющей Р с точкой О пересечения оси с плоскостью, так что расстояния ОР и ОР' одинаковы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
