Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 90

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 90)

!) Лейетввтельва, имеем ае52„ ае = аеайС2„ ае = айаеС2„ ае = а„С,„ = 82„ 2й+! 2й+! И+! — И вЂ” ! — И вЂ” 3 !гл хи 432 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ На рис. 36 изображено расположение этих осей в кубе и в тетраэдре (по одной оси каждого типа). Три оси второго порядка эквивалентны между собой. Оси' третьего порядка тоже эквивалентны, так как переводятся друг в друга поворотамн С„но онн не являются двусторонними осями. Отсюда следует, что 12 элементов в группе Т распределяются по четырем классам: Е, три поворота С,„четыре поворота С и четыре поворота С,'.

1Х. Группа Та Эта группа содержит все преобразования симметрии тетраэдраСистему ее осей и плоскостей можно получить, добавляя к осям группы Т плоскости симметрии, каждая из которых проходит через одну ось второго и две оси третьего порядков. Прн этом с оси второго порядка становятся / зеркально-поворотными осями / / четвертого порядка (подобно то- Е— й /! / — -! / / му как это имеет место в группе Р„,). Эту систему удобно представить, рисуя три зеркально- поворотные оси проходящими через центры противоположных ф~ Т ! ! Т / / е-- 8~ Ряс. 36 Рис.

37 граней куба, четыре осн третьего порядка, как его пространственные диагонали, шесть плоскостей симметрии проходящими через каждую пару противоположных ребер (на рис. 37 изображено по одному из каждого рода осей н плоскостей). Поскольку плоскости симметрии вертикальны по отношению к осям третьего порядка, то последние являются двусторонними осями. Все оси и плоскости каждого рода эквивалентны. Поэтому 24 элемента группы распределяются по следующим 5 классам: Е, восемь поворотов С, и С'„шесть отражений в плоскостях, шесть зеркально-поворотных преобразований 54 и Я, трн поворота С, = 5,', 4 иа! точечные ГРуппы Х.

ГруппаТ„ Эта группа получается из Т добавлением центра симметрию Т» — — Т х Сч, В результате появляются три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, проходящие через каждые две оси второго порядка, а оси третьего порядка становятся зеркально- поворотными осями шестого порядка (на рис. 38 изображено по одной из этих осей и плоскостей). Группа содержит 24 элемента, распределенных по 8 классам, непосредственно получающимся из классов группы Т. Х1. Г р у п п а О (г р у п п а о к т а э д р а) Системой осей этой группы является система осей симметрии куба: три оси четвертого порядка проходят через пеитры противоположных граней, четыре оси третьего порядка — через противоположные вершины и шесть осей второго порядка — через середины противоположных ребер (рис. 39).

Легко видеть, что все оси одинакового порядка эквивалентны и каждая из них — двусторонняя. Поэтому 24 элемента распределяются по следующим б классам: Е, восемь поворотов Сч и С'„ шесть поворотов С, и Са, три поворота С4' и шесть поворотов Са. ХП. ГруппаО„ Это есть группа всех преобразований симметрии куба '), Оиа получается добавлением к группе О центра симметрии: Ои = = О х С!. Оси третьего порядка группы О превращаются при /4 / ! ! ф ! ! ! ! / / и /! /' ! ! ! ! ! / / / ~ — -$ !/ еуа Рис.

38 Рис. 40 Рис. 39 е! Группы Т, Тч, Та, О, Оа иааывит кубическими. этом в зеркально-поворотные оси шестого порядка (пространственные диагонали куба); кроме того, появляются еще шесть плоскостей симметрии, проходящих через каждую пару противоположных ребер, и три плоскости, параллельные граням куба (рис. 40). Группа содержит 48 элементов, распределенных по <гл.' хп теоРия симметРии 1О классам, которые могут быть непосредственно нолучеиы из классов группы О.

Именно, 5 совпадают с классамн группы О, а остальными являются: 1; восемь зеркально-поворотных преобразований 5» и 5», шесть зеркально-поворотных преобразований С,о,, С»о» вокруг осей четвертого порядка; три отражения и» в плоскостях, горизонтальных по отношению к осям четвертего порядка; шесть отражений о, в плоскостях, вертикальных по отношению к этим осям. Х П1, Х 17.

Г р у и п ы»", Г» (г р у п п ы икосаэдра) Эти группы осуществляются в природе в качестве групп симметрии молекул лишь в исключительных случаях. Поэтому мы ограничямся здесь указанием, что Г есть группа 60 поворотов вокруг осей симметрии икосаэдра (правильного 20-травинка с треугольными гранямн) или пентагонального додекаэдра (правильного 12-граниика с пятиугольными гранями), причем имеется б осей пятого порядка, 10 — третьего и 15 — второго.

Группа У'» получается добавлением центра симметрии: Г» = К х С;, н представляет собой полную группу преобразований симметрии указанных многограннииов. Этим исчерпываются все возможные типы точечных групп, содержащих конечное число элементов. В дополнение к ним надо рассмотреть так называемые непрерывные точечные группы, содержащие бесконечное число элементов. Это будет сделано в 5 93. й 94. Представления груни Рассмотрим какую-либо группу симметрии, и пусть А)1, есть некоторая однозначная функция координат (в конфигурационном пространстве данкой физической системы), При преобразовании системы координат, соответствующем элементу б группы, эта функция перейдет в некоторую другу»о функцию. Производя поочередно все д преобразований группы (я — порядок группы), мы получим из АР, в общем случае д различных функций.

При определенных выборах АР, некоторые из этих функций могут, однако, оказаться линейно-зависимымн. В результате мы получим некотоРое число Г" Д ( Я) линейно-независимых фУнкций АГИ $„..., АРИ которые при преобразованиях симметрии, входящих в рассматриваемую группу, преобразуются линейно друг через друга.

тругими словами, в результате преобразования б каждая из функций т'; (( = 1, 2, ..., Д) переходит в линейную комбянацию вида 2~ О»1ф»~ »=1 ПРидствалкния ГРупп где 6ы — постоянные, зависящие от преобразования 6. О совокупности этих постоянных говорят, как о жаглриие преобразования '). В этой связи удобно рассматривать элементы 6 группы как операторы, воздействующие на функции фо так что можно будет написать 6'з)~ = Е 6вМв (94,1) Функции зР~ всегда можно выбрать таким образом, чтобы они были взаимно ортогоиальны и нормированы.

Тогда понятие о матрице преобразования совпадает с понятием о матрице операеора в том виде, как оно было определено в 5 111 6гн = ) ф)6фи г)Ч (94,2) Произведению двух элементов 6 и Н группы соответствует матрица, определяющаяся по матрицам 6 и Н с помощью обычного правила перемножения матриц (11„12) (6Н)„= Е 6ин,„. с (94,3) (94,4) з ) Поскольку функции $Г предполвгаотся однознвчяыми, то квнгдому элементу группы соответствует одна определеннвя матрица. ') В этом рассуждении существенно, что ннтегрвлы либо равны нулю (прн г Ф л), либо заведомо отличны от нуля (прн ) = а) ввиду положительности интегрируемого вырвження ) 4ч )в. О совокупности матриц всех элементов группы говорят, как о представлении группы, Функции же эр„..., зри с помощью которых определены эти матрицы, называют базисом представления.

Число у этих функций определяет раэиерность представления. Рассмотрим интегралы ) з)ефвг)4. Поскольку интегрирование производится по всему пространству, то очевидно, что при любом повороте или отражении системы координат значения интегралов не изменятся. Другими словами, преобразования симметрии не нарушают ортонормированности функций базиса, а это значит (см„з 12), что операторы 6 унитарны '). Соответственно унитарны и матрицы, представляющие элементы группы в представлении с ортонормированным базисом. Произведя иад функциями з)м ..., эРг линейное унитарное пре- образование 1гл.

хп ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ мы получим новую систему функций тр1, „., ф), которые тоже будут ортонормированы (см. Э 12) '). Взяв в качестве базиса представления функции тр~, мы будем иметь новое представление той же размерности. Такие представления, которые получаются друг из друга путем линейного преобразования функций из базиса, называются эквивалентными; они, очевидно, не являются существенно различными.

Матрицы эквивалентных представлений связаны друг с дру. гом простым соотношением: согласно (12,7) матрица оператора б в новом представлении равна матрице оператора (94,5) б'=5 'С5 в старом представлении. Сумма диагональных элементов (т. е. след) матрицы, представляющей элемент б группы, называется ее хпрактпером; мы будем обозначать характеры посредством т (С). Очень существенно, что характеры матриц эквивалентных представлений совпадают (см. (12,11)), Это обстоятельство придает особую важность описанию представлекия группы с помощью задания его характеров; оно позволяет сразу отличать существенно различные представления от представлений эквивалентных.

Ниже мы будем говорить как о различных лишь о неэквивалентных представлениях, Если понимать под 9 в (94,5) элемент группы, связыватощий сопряженные элементы б и б', то мы придем к результату, что в.каждом данном представлении группы характеры матриц, представляющих элементы одного класса, одинаковы. Единичному элементу группы Е соответствует тождественное преобразование. Поэтому представляющая его матрица во всяком представлении диагональна, причем диагональные элементы равны единице.

Характер т, (Е) равен, следовательно, просто размерности представления Х(Е) =~. (94,6) Рассмотрим некоторое представление размерности 7. Может оказаться, что в результате соответствующего линейного преобразования (94,4) функции базиса разбиваются на наборы по 7„ 7з " функций (7д + тз + ... = Д таким образом, что при воздействии всех элементов группы функции каждого набора преобразуются только друг через друга, не затрагивая функций из дру- ") Напомннм (см. (12,12)), что, ввиду уннтарностн преобразований, сумма квадратов модулей функций базиса инвариантна.

Характеристики

Список файлов книги