Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Таким образом, в этом случае произойдет полное расщепление уровня на три невырожденных. 9 97. Правила отбора для матричных элементов Теория групп позволяет не только произвести классификацию термов любой симметричной физической системы, но н дает простой метод нахождения правил отбора для матричных элементов различных величин, характеризующих систему. Этот метод основан на следующей общей теореме. Пусть тр) ~— одна из функций базиса неприводимого (неединичного) представления группы симметрии. Тогда ее интеграл по всему прострап.
ству ') тождественно обращается в нуль: ~ фг"' г(9 = О. (97,!) Доказательство основано на очевидном обстоятельстве, что взятый по всему пространству интеграл инвариантен по отношению к любому преобразованию системы координат, в том числе по отношению к любому преобразованию симметрии. Поэтому 1ф од= ~бф~ г!г)= ~ ~або фа Дд г) Подразумевается нонфнгураннонное пространство данной фнзннесной системы. б зы ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 45) Просуммируем это равенство по всем элементам группы.
Интеграл слева просто умножается на порядок группы я, и мы получаем (а) ( ~~,) ~ (а) яч Р(а) ( Но для всякого неединичного неприводимого представления имеем тождественно ~~ Оз( = 0 (это — частный случай соотношений (а) и ортогональности (94,7), когда одно из неприводимых представлений единичное). Тем самым теорема доказана.
Если ф — функция, относящаяся к базису некоторого приводимого представления группы, то интеграл ~фс(>7 будет отличен от нуля, лишь если это представление содержит в себе единичное, Эта теорема непосредственно следует из предыдущей. Матричные элементы физической величины 7' даются иитегра. лами <М~) ~ П =~ф~б'И~">бб, (97,9) где индексы сз, р) отличают различные уровни энергии системы, а индексы (, й нумеруют волновые функции, относящиеся к одному и тому же вырожденному уровню '). Обозначим символически неприводимые представления группы симметрии данной физической системы, осуществляемые функциями ф(а> и >рз(р), посредством Р(а> и Р(а>.
Символом же Р> обозначим представление той же группы, отвечающее симметрйи величины 7; оно зависит от тепзорного характера ). Так, если 7 — истинный скаляр, то ее оператор )' инвариантен по отношению ко всем преобразованиям симметрии, так что Р> — единичное представление. То же самое относится к псевдоскалярной величине, если группа содержит только оси симметрии; если же группа содержит также и отражения, то Р> — одномерное, но неединичное представление. Если ) — векторная величина, то Р> — представление, осу>цествляемое тремя преобразующимися друг через друга компонентами вектора; это представление, вооб>це говоря, различно для полярных и аксиальных векторов.
Произведения 4>з(и>7ф(а> осушествляют представление группы, ВЫражаЮщЕЕСя ПряМЫМ ПрОИЗВЕдЕНИЕМ Р(б> >( Р> Х Р(а>. Матричные элементы отличны от нуля, если это представление содержит в себе единичное, или, что то же, если прямое произведение Р(ш х Р(а> содержит в себе РР Практически удобнее разла- >) Поскольку после перехода к «физически неприводимыьа представлениям функции базиса могут быть выбраны веи(ествеаными, мы не делаем в (97,2) различия между волновыми функциямн и их комплекс>>о сопряженными.
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ (гл. хи 452 гать на неприводимые части произведение О< > х О>, тем самым мы сразу узнаем все типы 0пм состояний, для переходов в которые (из состояния типа О>">) матричные элементы отличны от нуля. В простейшем случае скалярной величины, когда О, — единичное представление, отсюда сразу следует, что отличны от нуля матричные элементы лишь для переходов между состояниями одинакового типа (действительно, прямое произведение 0ил> х 0>а> двух различных неприводимых представлений не содержит единичное представление, но оно всегда содержится в пря. мом произведении неприводимого представления самого на себя).
Это есть наиболее общая формулировка теоремы, с частными случаями которой мы уже неоднократно встречались. Особого рассмотрения требуют диагональные по энергии ма. тричные элементы, т, е. элементы для переходов между состояниями, относящимися к одному и тому же терму (в отличие от переходов между состояниями, относящимися к двум различным термам одинакового типа), В этом случае мы имеем всего одну (а не две различные) систему функций )>>о>, >рсо>, ... Правила отбора находятся здесь различным образом в зависимости от поведения величины г' при обращении времени. Рассмотрим состояние, описывающееся волновой функцией вида ф = т', с >р('*>. Среднее значение величины ( в этом состоя> > нии дается суммой Г = ~„сас> (ай ~ > ~ а>).
>, е В состоянии же с комплексно сопряженной волновой функцией ф' = ~ с,'ф>"> имеем Г = ~~ с,с> (ай ( ( ~ а() = ~~ с,са (а> ! ( ~ сй). >.е г, э Если величина >' инвариантна по отношению к обращению времени, то оба состояния не только относятси к одному и тому же уровню энергии, но должны иметь также и одинаковое значение г. Ввиду произвольности коэффициентов с, это значит, что (ай ) >' ) а>) (а> ~ >' ~ ай). Легко показать, что тогда для нахождения правил отбора надо рассматривать не прямое произведенае 0ив> х 0>о>, а лишь его симметричную часть (0рв>т]; отличные от нуля матричные элементы существуют, если (0 >о>а) содержит в себе 0 ').
>) Проиаведение (г>ил> т ) всегда содержит в себе единичное представление, так что диагнональные элементы (как и ие диагональные между состояниями одинакового типа) длн скалярной величины отличны от нуля, $ 97) ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 4бз Если же величина (' меняет знак при обращении времени, то замена ар -ь ари должна сопровождаться изменением знака Отсюда тем же способом находим, что (ай ) Р ! а() = — (а( ~ ) ~ ай), В этом случае правила отбора определяются разложением анти- симметричной части прямого произведения: (0(и) з). Задачи Н Найти правила отбора для матричных элементов электрического д н магнитного Р дипольных моментов при наличии симметрии О. Р е ш е н и е.
Группа О не содержит отражений; поэтому полярные (б) и аксиальные (ы) векторы преобразуются по одному и тому же неприводимому представлению — Ра. Разложения прямых произведений Р, с другими представлениями группы Оа РаХАа = Ра, РаХА, = Ра, РаХЕ = Ра+ Р„ ()) Р, Х Р, = А, + Е + Ра + Р, Ра Х Ра А, + Е + Ра + Р,. Поэтому отличны от нуля недиагональные (по энергии) матричные элементы для переходов Ра ° Аа, Е, Ра, Ра; Р, «Аа, Е, Ра, Р,, Симметричные и аитисимметрнчные произведения неприводимьах представ.
лений группы О равны [А1)=(АЛ= ~ (Е)=А,+ Е, (РД=~РД=Аг+Е+РЗ (Е)=А, (Р1)-(Рз)-Р. Симметричные произведения не содержат Рп поэтому двагональные(по энергии) матричные элементы вектора д (инвариантного по отношению к обращению времени) отсутствуют. Магнитный же момент (меняющнй знак при обращеаии времени] имеет диагональные матричные элементы для состояний Ра н Дм 2. То же при симметрии Оааь Р е ш е н и е. Законы преобразований векторов д и Р в группе Оал различны.
Зх Зз Еи. За '4аи рх, рз Еа, )аг .4аа (здесь и ниже в задачах знак означает слова «преобразуется по предстазлеииюа), Имеем Ец Х Ааа=Еи Х Ам= Рц, Еи Х Аш-— Ец ХА,и=Ел, (3) Еи Х Ец = '41а+ 4 а+Ег Еи Х Ея = Аац+ Ааи+ Еи. Поэтому отличны от нуля недиагональные матричные элементы от а(х, а(з для переходов Еи«-«Ааа, Ааа, Еа, Еа А„„Ааи, Еи. Таким же образом найдем правила отбора для а(а: Аал Ааи~ Ааа~ Ааи' Ез Еи' для Рх Рз: Ез Ам.
Ааа Еа| Еи+ «Ааи Ааи Еи для ра: А,з ~Ааа', Аац «Ааи,' Ея Еа', Еи Еи. (гл хи ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ Симметричяые н антисимметричпые произведения нгприводимых представлений группы Взе равны Рт ) = Рт ) = Рт ) = (А~„) = А,, [Е~) = (Е;,) = Е + А>, (4) (Е') = (Е') = А Отсюда видно, что диагональные (по энергии) матричные элементы отсутствуют у всех компонент б; для вектора )г диагональные матричные элементы имеютси у р, для переходов между состояниями, относящимися к вырожденному уровню типа Ех илн Е„. 3. Найти правила отбора для матричных элементов тензора электрического квад упольного момента ();а при симметрии О. е ш е н н е.
Компоненты теизора Сьь (симметричный тензор с равной нулю суммой 9и) по отношению к группе О преобразуются по законам: Е.„, ().*. ),.-Е* Ц + емца -)- ет()„, Я„„+ езЯ „+ еЯИ - Е (а = ет"ИЗ). Разлагая прямые произведения Ет н Е со всеми представлениями группы, найдем правила отбора для недиагональных матричных элементов: дли ч„а, чиы 9а;. Г, Аз, Е, Ег, ЕМ Ет А,, Е, Г„ре; для 9 „, ()гю 9„: Е Аг, А„Е; Г, Еы Ет; Г, Гь Диагональные матричные элементы имеются (как видно из (2)) в следующим состояниях: ° ()., й,. Е,ы Ео Еы ДлЯ 9„ю Цц, С)ы: Е, Еи Ез. 4. То же при симметрии Рзе, Р е ш е н и е. Законы преобразования компонент 9га по отношению к гРУппе Оэб 4)„- А„; С)„„— Е„я, ().„- Егн а... ()„- Е,, (ч„ведет себя как скаляр. Разлагая прямые произведения Ек со всеми представлениями группы, найдем правила отбора для неднагональиьж матрич- ных элементов остальных компонент Ге~а.' Еа-Агв, Аех, Ех, 'Еч-Аги 4ти Еи.