Главная » Просмотр файлов » Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория)

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 94

Файл №1185132 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория).djvu) 94 страницаЛандау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132) страница 942020-08-21СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 94)

Таким образом, в этом случае произойдет полное расщепление уровня на три невырожденных. 9 97. Правила отбора для матричных элементов Теория групп позволяет не только произвести классификацию термов любой симметричной физической системы, но н дает простой метод нахождения правил отбора для матричных элементов различных величин, характеризующих систему. Этот метод основан на следующей общей теореме. Пусть тр) ~— одна из функций базиса неприводимого (неединичного) представления группы симметрии. Тогда ее интеграл по всему прострап.

ству ') тождественно обращается в нуль: ~ фг"' г(9 = О. (97,!) Доказательство основано на очевидном обстоятельстве, что взятый по всему пространству интеграл инвариантен по отношению к любому преобразованию системы координат, в том числе по отношению к любому преобразованию симметрии. Поэтому 1ф од= ~бф~ г!г)= ~ ~або фа Дд г) Подразумевается нонфнгураннонное пространство данной фнзннесной системы. б зы ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 45) Просуммируем это равенство по всем элементам группы.

Интеграл слева просто умножается на порядок группы я, и мы получаем (а) ( ~~,) ~ (а) яч Р(а) ( Но для всякого неединичного неприводимого представления имеем тождественно ~~ Оз( = 0 (это — частный случай соотношений (а) и ортогональности (94,7), когда одно из неприводимых представлений единичное). Тем самым теорема доказана.

Если ф — функция, относящаяся к базису некоторого приводимого представления группы, то интеграл ~фс(>7 будет отличен от нуля, лишь если это представление содержит в себе единичное, Эта теорема непосредственно следует из предыдущей. Матричные элементы физической величины 7' даются иитегра. лами <М~) ~ П =~ф~б'И~">бб, (97,9) где индексы сз, р) отличают различные уровни энергии системы, а индексы (, й нумеруют волновые функции, относящиеся к одному и тому же вырожденному уровню '). Обозначим символически неприводимые представления группы симметрии данной физической системы, осуществляемые функциями ф(а> и >рз(р), посредством Р(а> и Р(а>.

Символом же Р> обозначим представление той же группы, отвечающее симметрйи величины 7; оно зависит от тепзорного характера ). Так, если 7 — истинный скаляр, то ее оператор )' инвариантен по отношению ко всем преобразованиям симметрии, так что Р> — единичное представление. То же самое относится к псевдоскалярной величине, если группа содержит только оси симметрии; если же группа содержит также и отражения, то Р> — одномерное, но неединичное представление. Если ) — векторная величина, то Р> — представление, осу>цествляемое тремя преобразующимися друг через друга компонентами вектора; это представление, вооб>це говоря, различно для полярных и аксиальных векторов.

Произведения 4>з(и>7ф(а> осушествляют представление группы, ВЫражаЮщЕЕСя ПряМЫМ ПрОИЗВЕдЕНИЕМ Р(б> >( Р> Х Р(а>. Матричные элементы отличны от нуля, если это представление содержит в себе единичное, или, что то же, если прямое произведение Р(ш х Р(а> содержит в себе РР Практически удобнее разла- >) Поскольку после перехода к «физически неприводимыьа представлениям функции базиса могут быть выбраны веи(ествеаными, мы не делаем в (97,2) различия между волновыми функциямн и их комплекс>>о сопряженными.

ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ (гл. хи 452 гать на неприводимые части произведение О< > х О>, тем самым мы сразу узнаем все типы 0пм состояний, для переходов в которые (из состояния типа О>">) матричные элементы отличны от нуля. В простейшем случае скалярной величины, когда О, — единичное представление, отсюда сразу следует, что отличны от нуля матричные элементы лишь для переходов между состояниями одинакового типа (действительно, прямое произведение 0ил> х 0>а> двух различных неприводимых представлений не содержит единичное представление, но оно всегда содержится в пря. мом произведении неприводимого представления самого на себя).

Это есть наиболее общая формулировка теоремы, с частными случаями которой мы уже неоднократно встречались. Особого рассмотрения требуют диагональные по энергии ма. тричные элементы, т, е. элементы для переходов между состояниями, относящимися к одному и тому же терму (в отличие от переходов между состояниями, относящимися к двум различным термам одинакового типа), В этом случае мы имеем всего одну (а не две различные) систему функций )>>о>, >рсо>, ... Правила отбора находятся здесь различным образом в зависимости от поведения величины г' при обращении времени. Рассмотрим состояние, описывающееся волновой функцией вида ф = т', с >р('*>. Среднее значение величины ( в этом состоя> > нии дается суммой Г = ~„сас> (ай ~ > ~ а>).

>, е В состоянии же с комплексно сопряженной волновой функцией ф' = ~ с,'ф>"> имеем Г = ~~ с,с> (ай ( ( ~ а() = ~~ с,са (а> ! ( ~ сй). >.е г, э Если величина >' инвариантна по отношению к обращению времени, то оба состояния не только относятси к одному и тому же уровню энергии, но должны иметь также и одинаковое значение г. Ввиду произвольности коэффициентов с, это значит, что (ай ) >' ) а>) (а> ~ >' ~ ай). Легко показать, что тогда для нахождения правил отбора надо рассматривать не прямое произведенае 0ив> х 0>о>, а лишь его симметричную часть (0рв>т]; отличные от нуля матричные элементы существуют, если (0 >о>а) содержит в себе 0 ').

>) Проиаведение (г>ил> т ) всегда содержит в себе единичное представление, так что диагнональные элементы (как и ие диагональные между состояниями одинакового типа) длн скалярной величины отличны от нуля, $ 97) ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 4бз Если же величина (' меняет знак при обращении времени, то замена ар -ь ари должна сопровождаться изменением знака Отсюда тем же способом находим, что (ай ) Р ! а() = — (а( ~ ) ~ ай), В этом случае правила отбора определяются разложением анти- симметричной части прямого произведения: (0(и) з). Задачи Н Найти правила отбора для матричных элементов электрического д н магнитного Р дипольных моментов при наличии симметрии О. Р е ш е н и е.

Группа О не содержит отражений; поэтому полярные (б) и аксиальные (ы) векторы преобразуются по одному и тому же неприводимому представлению — Ра. Разложения прямых произведений Р, с другими представлениями группы Оа РаХАа = Ра, РаХА, = Ра, РаХЕ = Ра+ Р„ ()) Р, Х Р, = А, + Е + Ра + Р, Ра Х Ра А, + Е + Ра + Р,. Поэтому отличны от нуля недиагональные (по энергии) матричные элементы для переходов Ра ° Аа, Е, Ра, Ра; Р, «Аа, Е, Ра, Р,, Симметричные и аитисимметрнчные произведения неприводимьах представ.

лений группы О равны [А1)=(АЛ= ~ (Е)=А,+ Е, (РД=~РД=Аг+Е+РЗ (Е)=А, (Р1)-(Рз)-Р. Симметричные произведения не содержат Рп поэтому двагональные(по энергии) матричные элементы вектора д (инвариантного по отношению к обращению времени) отсутствуют. Магнитный же момент (меняющнй знак при обращеаии времени] имеет диагональные матричные элементы для состояний Ра н Дм 2. То же при симметрии Оааь Р е ш е н и е. Законы преобразований векторов д и Р в группе Оал различны.

Зх Зз Еи. За '4аи рх, рз Еа, )аг .4аа (здесь и ниже в задачах знак означает слова «преобразуется по предстазлеииюа), Имеем Ец Х Ааа=Еи Х Ам= Рц, Еи Х Аш-— Ец ХА,и=Ел, (3) Еи Х Ец = '41а+ 4 а+Ег Еи Х Ея = Аац+ Ааи+ Еи. Поэтому отличны от нуля недиагональные матричные элементы от а(х, а(з для переходов Еи«-«Ааа, Ааа, Еа, Еа А„„Ааи, Еи. Таким же образом найдем правила отбора для а(а: Аал Ааи~ Ааа~ Ааи' Ез Еи' для Рх Рз: Ез Ам.

Ааа Еа| Еи+ «Ааи Ааи Еи для ра: А,з ~Ааа', Аац «Ааи,' Ея Еа', Еи Еи. (гл хи ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ Симметричяые н антисимметричпые произведения нгприводимых представлений группы Взе равны Рт ) = Рт ) = Рт ) = (А~„) = А,, [Е~) = (Е;,) = Е + А>, (4) (Е') = (Е') = А Отсюда видно, что диагональные (по энергии) матричные элементы отсутствуют у всех компонент б; для вектора )г диагональные матричные элементы имеютси у р, для переходов между состояниями, относящимися к вырожденному уровню типа Ех илн Е„. 3. Найти правила отбора для матричных элементов тензора электрического квад упольного момента ();а при симметрии О. е ш е н н е.

Компоненты теизора Сьь (симметричный тензор с равной нулю суммой 9и) по отношению к группе О преобразуются по законам: Е.„, ().*. ),.-Е* Ц + емца -)- ет()„, Я„„+ езЯ „+ еЯИ - Е (а = ет"ИЗ). Разлагая прямые произведения Ет н Е со всеми представлениями группы, найдем правила отбора для недиагональных матричных элементов: дли ч„а, чиы 9а;. Г, Аз, Е, Ег, ЕМ Ет А,, Е, Г„ре; для 9 „, ()гю 9„: Е Аг, А„Е; Г, Еы Ет; Г, Гь Диагональные матричные элементы имеются (как видно из (2)) в следующим состояниях: ° ()., й,. Е,ы Ео Еы ДлЯ 9„ю Цц, С)ы: Е, Еи Ез. 4. То же при симметрии Рзе, Р е ш е н и е. Законы преобразования компонент 9га по отношению к гРУппе Оэб 4)„- А„; С)„„— Е„я, ().„- Егн а... ()„- Е,, (ч„ведет себя как скаляр. Разлагая прямые произведения Ек со всеми представлениями группы, найдем правила отбора для неднагональиьж матрич- ных элементов остальных компонент Ге~а.' Еа-Агв, Аех, Ех, 'Еч-Аги 4ти Еи.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6565
Авторов
на СтудИзбе
298
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее