Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Поэтому матрица преобразования функций т(>>м будет диагональна с характером е> (~+>> е — е >~е 1((з> (,р) ~~,~ Егмз е>е — 1 м= г или ') ! з!и (У + 1/2) гр 'Х > ('Р) = (ф>2) По отношению же к инверсии 1 все функции >)>тм с различными М ведут себя одинаковым образом — умножаются на +1 или на — 1, смотря по тому, четно или нечетно состояние атома, Поэтому характер (98,3) Е 2С (>р) еоа, (98,5) 1 1 1 1 1 — 1 2 2созЬр 0 >) Во избежание недоразумений подчеркнем, что зта формула отвечает параметрнзаппн элементов группы, отлнчной от параметрнзвпнн углами Эйлера: преобразованне валяется нвправленнем осн врашення н углом ф поворота вокруг нее. Ишкпо показать, что прн такой параметрязапнн ннтегрнрованне, например, в формуле (за,2) должйо пронэводнгься по 2 (1 — ом ф) цр ео, где По елемепт телесного угла лля паправленнн осн врашення.
)(!'> (1) = ~ (2> + 1). (98,4) Наконец, характеры, соответствующие отражению в плоскости и и зеркальному повороту иа угол ф, вычисляются путем представления этих преобразований симметрии в виде и = (С„З (ф) = г'С (и + гр). Остановимся еще на неприводимых представлениях группы аксиальиой симметрии С,, Этот вопрос был по существу уже решен, когда мы выясняли классификацию электронных термов двухатомной молекулы, обладающей как раз симметрией С, (если оба атома различны). Термам 0' и 0 (термы с ь1 = 0) соответствуют два одномерных представления: единичное представление А, и представление А„в котором функция базиса инвари. антна по отношению ко всем поворотам и меняет знак при огра.
жениях в плоскостях а,, Двукратно вырожденным же термам с ь1 = 1, 2,, соответствуют двумерные представления, которые обозначают как Ед, Е„... Функции их базиса умножаются на ек>пе при повороте вокруг оси на угол >р, а при втраженпи в плоско. стях ое — переходят друг в друга. Характеры всех этих пред. ставлеиий> з вв) дввзндчньга првдстдвлвния точнчных грвпп Неприводимые представления группы .0 а = С, х С, полу.. чаются непосредственно из представлений группы С „(и соот. ветствуют классификации термов двухатомной молекулы с оди. паковыми ядрами). Если взять для ь1 полуцелые значения, то функции евган осуществят двузначные неприводимые представления группы С „ соответствующие термам молекулы с полуцелым спинам '). 9 99.
Двузначные представления конечных точечных групп Состояниям системы с полуцелым спинам (а потому и полу. целым полным моментом) соответствуют двузначные представления точечной группы симметрии этой системы. Это является общим свойством спиноров и потому справедливо как для непрерывных, так и для конечных точечных групп. В связи с этим возникает необходимость в отыскании деузначггых неприводимых представлений конечных точечных групп. Как уже отмечалось, двузначные представления по существу вообще не являются истинными представлениями группы. К ним не относятся, в частности, соотношения, о которых щла речь в 9 94, и когда в этих соотношениях (например, в соотношении (94,17) для суммы квадратов размерностей неприводимых представлений) щла речь о всех неприводимых представлениях, то в их числе подразумевались только истинные, однозначные представления.
Для отыскания двузначных представлений удобно применять следующий искусственный прием (11. А. Ве(йе, 1929). Введем чисто формальным образом понятие о новом элементе группы (обозначим его посредством Я) — повороте на угол 2ч вокруг произвольной оси — как об элементе, отличном от единичного, но совпадающем с Е прп своем двукратном применении: Яв = Е. В соответствии с этим повороты С вокруг осей симметрии п-го порядка будут давать тождественные преобразования лишь после 2п-кратного (а не и-кратного) своего применения: С„"=Я, С„"=Е. (99,1) Инверсия 1 как элемент, коммутативный со всяким поворотом, должна при двукратном применении по-прежнему давать Е. Но г) В атлнчне от трехмерной группы вращеннй, здесь можно было бы состветствугощнм выбором дробных значений Я получать не только одно- н двузнач.
ные предсгавлення, но н представления трехзначные н выше. Однако фвзн мскн возможные собственные значения момента нмпульса, как оператора трехмерного бесконечна малого поворота, ооредеяякпся представленнямн нменчо трехмерной группы вращеннй.
Поэтому трехзначные (н выше) предсгаалення двумерной группы вращений (а также любой навечной группы снмметрнн), хотя н могут быть математнческн определены, но не имеют физического смысла. ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ 1гл. хп двукратное отражение в плоскости будет равно 1~, а не Е1 и'=Е и' = Д, (99,2) (это следует из того, что отражение может быть написано в виде а„= !Сз). В результате мы получим совокупность элементов, составляющих некоторую фиктивную точечную группу симметрии, порядок которой вдвое больше порядка исходной группы; об этих группах мы будем говорить как о двойных точечных группах.
Двузначные представления действительной точечной группы будут, очевидно, однозначными, т, е. истинными представлениями соответствующей двойной группы, так что для их отыскания можно применить обычные приемы. Число классов в двойной группе больше, чем в исходной группе (но, вообще говоря, не вдвое). Элемент 9 коммутативен со всеми другими элементами группы ') и потому всегда составляет сам по себе класс. Если ось симметрии двусторонняя, то в двойной группе это означает сопряженность элементов Са и Ст" а = )~С„"~.
В связи с этим при наличии осей второго порядка распределение элементов по классам зависит также и от того, являются ли эти оси двусторонними (в обычных точечных группах это несущественно, так как Сз совпадает с обратным по. воротом Сз'). Так, в группе Т оси второго порядка эквивалентны, и каждая из них двусторонняя, а оси третьего порядка эквивалентны, но не являются двусторонними. Поэтому 24 элемента двойной группы Т' ') распределяются по 7 классам: Е, 1~, класс из трех по.
воротов Сз и трех Сз(~, классы 4Сз, 4Сз, 4СзЯ 4СзД В число всех неприводимых представлений двойной точечной группы входят, во-первых, представления, совпадающие с однозначными представлениями простой группы (причем элементу 9, как и Е, соответствует единичная матрица), и, во.вторых, дву. значные представления простой группы, причем элементу соответствует отрицательная единичная матрица; нас интересуют сейчас именно эти последние представления. Двойные группы С„' (а = 1, 2, 3, 4, 6) и 3'„как и соответствую. щие им простые группы, являются циклическими группами '). Все их неприводимые представления одномерны и могут быть най.
дены без всякого труда, как это было объяснено в й 95. ') Для поворотов в инверсии зто очевидно; для отражения в плоскости ато следует из того, что отражение можно представить в виде произведения инвер. сии и поворота, т) Двойные группы мы будем отличать штрихом у символа обычной группы, ') Группы же зз м С), Яе и Сзп содержашие инверсию С являются абеле. выми группами, но не цинлическими. э 993 двгзнлчныв пгвдстхвляния точвчных гггпп 4а! Неприводимые представления групп хг,' (или изоморфных им С„',) можно найти тем же способом, как и для соответствующих простых групп. Эти представления осуществляются функ. циями вида е~'"ч, где ф — угол поворота вокруг оси и-го по- рядна, а для й берутся полуцелые значения (целые значения соответствуют обычным однозначным представлениям).
Повороты вокруг горизонтальных осей второго порядка переводят эти функции друг в друга, а поворот С„умножает на е~' ыл". Несколько труднее нахождение представлений двойных кубических групп. 24 элемента группы Т' распределяются по семи классам. Поэтому имеется всего семь неприводимых представлений, из которых четыре совпадают с представлениями простой группы Т. Сумма квадратов размерностей остальных трех представлений должна быть равна !2, откуда находим, что все они двумерны.
Поскольку элементы С, и СД находятся в одном классе, то Х (С,) = у, (СД) = — Х (С,), откуда заключаем, что во всех трех представлениях т (С,) = О. Далее, из трех представлений по крайней мере одно должно быть вещественным, так как комплексные представления могут встречаться лишь взаимно сопряжен. ными парами.
Рассмотрим это представление и предположим, что матрица элемента С, приведена к диагональному виду (пусть а„ и, — ее диагональные элементы). Поскольку С', = (Г, то а', = = а = — 1. Для того чтобы у (Сз) = а, + а, было вещественным, надо взять а„= е"'~з, а, = е — "'~з. Отсюда находим, что т (С,) = 1, 11 (С,') = а"; + а,' = — 1. Таким образом, одно из исномых представлений найдено. Составляя его прямые произведения с двумя комплексно сопряженными одномерными представлениями группы Т, найдем два остальных представления.
Аналогичными рассуждениями, которые мы не станем приво. дить здесь, можно найти представления группы 0'. В сводной табл. 8 даны характеры представлений перечисленных двойных групп (приведены лишь представления, соответствующие двузначным представлениям обычных групп). Те же представления имеют изоморфные с ними двойные группы. Остальные точечные группы либо изоморфны с рассмотренными, либо получаются в результате прямого умножения последних на Группу Сь так что их представления не нуждаются в особсм вычислении. По тем же причинам, что и для обычных представлений, два комплексно сопряженных двузначных представления должны рас.
сматриваться как одно физически неприводимое представление с удвоенной размерностью. Одномерные же двузначные представления надо удваивать даже, если нх характеры вещественны. Дело в том (см. ~ 60), что у систем с полуцелым спином комплексно сопряженные волновые функции линейно независимы. Поэтому, если мы имеем двузначное одномерное представление с вещест- ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ Е С(з! 3 С("! з С(з)(з з С(з!О с<"!О С(з!(! с (З й зи, зид 3 Сзс ! — 1 — 1 1 ! — 3 1 — 1 — 1 1 — ( ( 2 — 2 1 — 1 0 0 Сз С, С4 Сз С1 З((з ЗЦ' сд сз(2 с а СЮ сд заид зим 2 — 2 Π— Уз — Уз о о 2 — 2 О 1 — 1 — УЗ УЗ О 0 2 — 2 0 — 2 2 О О 0 0 Двузначные преаетаваення течечныз групп С С С1 2С 2((' сд сд сд 2и,(1 2((д 2 — 2 О У2 — УТ 0 0 2 — 2 о — У2 У2 о о Е С( 4С 4С! 4С (2 4С$(2 ЗС ч 2 — 2 1 — 1 — 1 1 0 2 -2 е — е1 -е еу 0 2 — 2 е' -в -е1 в О С„Сз зЗСзз ЗС, ЗСзз ОСз 4Сз~с ес!(З ОСЛО ЗС2(З Зс~(2 ОС ф 2 — 2 1 — 1 0 У2 — У2 0 — 2 ! -! о Уу У2 о 4 — 4 — 1 1 0 0 О О !гл.
хи Табднца 3 $991 двуанАчные предстАвления тОчечных ГРупп 4ВЗ венными характерами ') (осуществляемое некоторой функцией ф), то хотя комплексно сопряженная функция тр* преобразуется по эквивалентному представлению, можно все же утгерждать, что ф и эра линейно независимы. Поскольку, с другой стороны, комплексно сопряженные волновые функции должны прннадле. жать к одному и тому же уровню энергии, то мы видим, что в физических применениях такое представление должно быть удвоено. Все сказанное в 3 97 о способе нахождения правил отбора для матричных элементов различных физических величин !" остается в силе и для состояний системы с полуцелым спином, с измене.
нием лишь для диагональных (по энергии) матричных элементов. Повторив изложенные в конце 3 97 рассуждения с учетом на этот раз формул (б0,2), (60,3), найдем, что если величина ) четиа Или нечетна по отношению к обращению времени, то для отыскания правил отбора надо рассматривать соответственно антисиь(ме. тричное (В' !'! или симметричное И( ! 91 произведение предсфзв. ления хгго> самого на себя — обратно по сравнению со сформули* рованным в 3 97 правилом, справедливым для систем с целым бпи. ном '). Задача Определить, каины образом расщепятся уровни атома (с даннымн зпаче.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
