Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Одно из них осуществляется )' () + 1)/2 функциями ф[[рк + $,<р;; а другое ) () — 1)/2 функциями [(><ч)А — фк«)< (< ~ й) (очевидно, что функции каждого из этих наборов преобразуются только друг через друга). Первое называется симметричным произведением представления само на себя (его характеры обозначаются символом (х'1(6)), а второе — интисимметричным произведением (его характеры обозначаются символом 1Х') (6)).
Для определения характеров симметричного произведения пишем 6([Р<Ч>А+ ФА<) = ~ аиа А ([())<ры+ [Р [р)) = <, и~ ! ~Г = — ~~ (апа„+а;6,„) (ф<ч> +[(> [р<). 1гл. хп ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ Отсюда имеем для характера чт (х') (О) = —, ~, (Оз О-+ О.О г). г,л Но Е Оп =х(О), Е о; о = х(О'); с г,л таким образом, окончательно получим формулу (х) (о) = —,((х(о))*+х(о)), (94,22) г) Полезно заметить, чго длн представлений с размерностью 2 характеры (х ) (б) совпадаот с определигелямн линейных преобразований с, в чем легко убеднп ся прямым вычислением, позволяющую определить характеры симметричного произведения представления самого на себя по характерам исходного представления, Совершенно аналогичным образом найдем для характеров антисимметричного произведения формулу л) 2 (94,23) Если функции чр; и грз совпадают, то с их помощью можно, очевидно, определить лишь симметричное произведение, осуществляемое квадратами чР'; и произведениями фрйл(1 Ф А).
В применениях приходится встречаться и с симметричными произведениями более высоких степеней; их характеры можно получить аналогичным образом. Отметим важное для дальнейшего свойство прямых произведений. Разложение прямого произведения двух различных неприводимых представлений на неприводимые части содержит единичное представление(причем один только раз),лишь если перемножаемые представления являются комплексно сопряженными. В случае вещественных представлений единичное представление содержится лишь в прямом произведении иеприводимого представления самого на себя (причем, очевидно, в его симметричной части). Действительно, чтобы узнать, содержится ли в представлении (94,21) единичное представление, надо (согласно (94,16)) просто просуммировать его характеры по О (и разделить результат на порядок группы йг). Сделанное утверждение следует тогда прямо из соотношений ортогональности (94,10).
Наконец, сделаем несколько замечаний о неприводимых представлениях группы, являющейся прямым произведением двух других групп (не смешивать с прямым произведением двух представлений одной и той же группы!). Если функции чр) ) осуществляют неприводимое представление группы А, а функции чрлр'— й вк! нвприводнмыв ппвдставлвния точнчных гпмнп 44З то же для группы В, то произведения тРеш~тр) ~ будут базисами»- мерного представления группы А ус В, причем представлейия неприводимого.
Характеры этого представления получаются перемножением соответствующих характеров исходных представлений (ср. вывод формулы (94,21)); элементу С = АВ группы А к В соответствует характер Х(С) =1(«(А) Хса~(В). (94,24) Перемножив, таким образом, друг с другом все неприводимые представления групп А и В, мы получим все неприводнмые пред. ставлення группы А ус В. 9 95. Непрнводнмые представления точечных групп Перейдем теперь к конкретному определению неприводимых представлений точечных групп. Огромное большинство молекул обладает лишь осями симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Поэтому мы не будем рассматривать группы икосаэдРа г', )та; гРУппы С„, Снм С„„Р„, Р„а бУдем РассматРивать лишь со значениями и = 1, 2, 3, 4, 6, а группы Ьт„, Р„н— оп=1,2,3.
Характеры представлений этих групп даны в табл. 7. Изоморфные группы имеют одинаковые представления и приводятся вместе в одной таблице. Числа перед символами элементов группы в первых строках указывают числа элементов в соответствующих классах (см. 9 93). В первых столбцах указаны принятые условные обозначения представлений. Одномерные представления обозначаются буквами А,, В, двумерные — буквой Е, а трехмерные — Е (обозначение Е для двумерного неприводимого представления не смешивать с обозначением Е для единичного элемента группы!) ').
Функции базисов представлений А симметричны, а функции  — антисимметричны по отношению к поворотам вокруг главной оси и-го порядка. Функции различной симметрии по отношению к отражению а„отличаются количеством штрихов (один или два), а индексы тт и и указывают на симметрию по отношению к инверсии. Вместе с обозначениями представлений указано буквами х, у, г, по какому представлению преобразуются сами координаты; ось г везде выбрана вдоль главной оси симметрии. Буквы е и ы обозначают1 в = нтпсчз от етппа от4 У в+за = — 1, озт — от = — 1.
9 Причина, по которой два компленсио сопряженных одномерных представления обозпачыотся как одно двумерное, выяснится в $96. 1гл. хп теория симметрии Таблипа 7 Характеры неприноаниых преаетанленнй точечных групп Е Сг аа ! Е С а, а,' Е Сг С$ Ст Вг Ат; г Вг; у Ат ВИ х 1 1 1 1 1 — 1 — 1 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 1 — 1 Е 2Сг За о Е 2С» 3Ут Е С, С, Сг Е Е, С, 4 Во 1 1 1 1 1 — 1 2 — 1 О А;г А В' Втг Е; х~(у Е", к~!у Е Со С, С, Сг СУ 1 1 1 1 1 — 1 1 — 1 1 ни — от 1 1 — ы ото 1 1 ы ток — 1 1 — отг — от — 1 А;г Е С, 2С4 2ао 2а„' Е С, 2С, уиг 2й; Е С, 2В, 2и, 2, 1 1 1 1 1 1 1 1 — 1 ! 1 — ! 1 — 1 1 1 — 1 — 1 1 2 — 2 О О О Ат; г Аг Е;х,у Ак; г Аг В! в, Е;х,у В,г А А„; г Вн; к; у А! А,;г Е;х,у Е, Е„; к~!у А1 й,; г в Вг Е;х,у А, Аг Вт В„г Е;к,у А х Ви г В;, у 1 1 1 1 1 — 1 1 — 1 1 ! — 1 1 — ! — 1 1 — 1 — 0) ыл — ото М 4 ав) непРНВОдимые пРедстазления тОчечных ГРупп 44$ Г а б л н ц а 7 !продолксенне) А; А" А,;а Е';к,у Е ЗС ЗС, ОС 6С Та Е 8Сэ ЗСэ бок 65э Е ЗС 4С 4С~ ! ! 1 ! ! ! 1 — 1 — 1 2 — ! 2 0 0 3 0 — 1 1 — 1 3 0 — ! — 1 ! Ад Аэ Е Еэ; к, у, а Е,' Аг А, Е Еэ Еэ1 к, у, г 1 ! 1 1 1 в в! 1 1 вэ е 3 — 1 0 0 Наиболее просто определение неприводимых представлений для циклических групп (группы С„, Ю„).
Циклическая группа, как и всякая абелева группа, имеет лишь одномерные представления. Пусть 6 — производящий элемент группы (т. е. элемент, возведение которого в последовательные степени дает все элементы группы). Поскольку ба = Е (Š— порядок группы), то ясно, что при воздействии оператора О на функцию базяса ф последняя может умножиться только на у' 1, т.
е. ') бту=е'"'"~аф, й = 1, 2,..., сг. Группа Сэа (и изоморфные с ней С„и Р,) абелева, так что все ее неприводимые представления тоже одномерны, причем характеры могут быть равны только ~1 (так как квадрат каждого элемента есть Е). Далее, рассмотрим группу С„. По сравнению с группой С, здесь прибавляются отражения о, в вертикальных плоскостях (относящиеся все к одному классу). Функция, инвариантная по отношению к повороту вокруг оси (функция базиса представления А группыС,), может быть симметричной или антисимметрич- э) Длн точечной группы Сп в качестве функций ф можно, например, выбрать функции ф = еэао (й = 1, 2, ..., и), где ~р — угол поворота вокруг оси, отсчитываемый от некоторого определенного направлении.
Ат А,;к Вт Вэ Еэ Е;,к,у А„а А, Вэ От Еэ ЕП к, у Е С 2С 2С 317 ЗГ)' Е С, 2Сэ 2Сэ Зо Зо„'- Е оа 2Сэ 25э ЗГгэ Зоэ 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 1 — 1 — 1 ! — 1 ! †! . 1 †! 1 — 1 1 — 1 — 1 1 2 2 — 1 — 1 0 0 2 — 2 †! 1 0 0 !гл хп теОРия симметРии ной по отношению к отражениям о,. Функции же, умножаюшпеся при повороте С, на е и а' (функции базисов комплексно сопряженных представлений Е), при отражении переходят друг в друга '), Из этих рассуждений следует, что группа Са, (и изоморфная с ней Р,) имеет два одномерных и одно двумерное непрнводимое представление с характерами, указанными в таблице.
В том, что мы действительно нашли все неприводимые представления, можно убедиться, из того, что сумма 1'+ 1'+ 2' = 6, т. е. равна порядку группы. Аналогичными рассуждениями находятся характеры представлений других групп такого типа (С„, С„). Группа Т получается из группы Р, ш *ел добавлениемповоротов вокруг четырех наклонных осей третьего порядка.
Функция, инвариантная по отношению к преобразованиям группы 1г (базис представления А), может умножаться при повороте С, на 1, а или е'. Функции' же базиса трех одномерных представлений В„ В„В, группы Р' при поворотах вокруг осей третьего порядка переходят друг в друга (что видно, если взять, например, в качестве этих функций сами координаты х, у, г).
Таким образом, получаем три одномерных и одно трехмерное неприводимое представление (1'+ 1'+ 1'+ 3' = 12). Наконец, рассмотрим изоморфные группы О и Та. Группа Т„ получается из группы Т добавлением отражений о, в плоскостях, каждая из которых проходит через две оси третьего порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
