Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Мы будем строить их, начиная от простейших и прибавляя к ним новые элементы симметрии. Точечные группы будем обозначать жирными латинскими буквами с соответствующими индексами. 1.Группы С„ Простейший тип симметрии содержит всего одну ось симметрии и-го порядка. Группа С„есть группа поворотов вокруг оси и-го порядка. Эта группа, очевидно.
циклическая. Каждый из ее и элементов составляет сам по себе класс. Группа С, содержим только тождественное преобразование Е и соответствует отсутствию какой бы то ни было симметрии. П. ГруппыЗз„ Это — ' группа поворотов вокруг аеркально-поворотной оси четного порядка 2п. Она содержит 2п элементов и является> очевидно, циклической. В частности, группа 8, содержит всего два элемента: Е и 1; ее обозначают также посредством С;.
Отметим также, что если порядок группы есть число вида 2а = 4р + 2, то среди ее элементов имеется инверсия; очевидно, что (я,р,~)зк+г = С,о„= 1. Такую группу можно написать в виде прямого произведения: 3,„„= С,„,г х С;: ее обозначают также н посредством С,„во П1. Группы Сь 3тн группы получаются присоединением к есн симметрии и-го порядка перпендикулярной к ней плоскости симметрия. Группа С„* содержит 2п элементов: и поворотов группы С„и а зеркально- поворотных преобразований С„о„(й = 1, 2, ..., а) (в том числе згл хи теория симметрии отражение С„"па = оа).
Все элементы группы коммутативпы, т. е. группа абелева; число классов равно числу элементов. Если и— четно (и = 2р), то группа содержит центр симметрии (так как Сза,п„= С,п„= 1). Простейшая группа С,„содержит всего два элемента: Е и и„; ее обозначают также посредством С,. 1Ч. ГруппыС„, Если присоединить к оси симметрии и-го порядка проходящую через нее плоскость симметрии, то это автоматически приведет к появлению еще (и — 1) плоскостей, пересекающихся друг с другом вдоль оси под углами и/и (это следует непосредственно из геометрической теоремы (91,7) '). Получающаяся при этом группа С„„содержит, следовательно, 2и элементов: и поворотов вокруг Рис, Зч оси и-го порядка и и отражений о, в вертикальных плоскостях. На рис.
34 изображены в качестве примера системы осей и плоскостей симметрии групп Сз, и С„. Для определения классов замечаем, что благодаря наличию проходящих через ось симметрии плоскостей симметрии эта ось двусторонняя. Фактическое распределение элементов по классам различно при четных и нечетных и. Если и нечетно (и = 2р + 1), то последовательные повороты С,р„совмещают каждую из плоскостей последовательно со всеми остальными 2р плоскостями, так что все плоскости симметрии >) В конечной группе не может быть двух плоскостей симметрии, пересекающихся пад углом, не равным рациональной части ат йп. Из факта наличия двух таких плоскостей следовало бы наличие бесконечного числа других плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль одной и тай же прямой и получи.
ющихся путем отражения неограниченное число раз одной плоскости в другой. Другими славами, наличие двух таких плосностей приводит сразу к полной аксиалыюй скмметрии. $93$ ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ эквивалентны и отражения в них входят в один класс. Среди поворотов вокруг оси имеется 2р операций, отличных от тождественной, которые попарно сопряжены друг с другом, образуя р классов по два элемента (С9~р,1 и С99„Н А = 1, 2„ ..., р); кроме того, Е составляет еще один отдельный класс. Таким образом, имеется всего р + 2 классов. Если же и четно (и = 2р), то последовательными поворотами С,р можно совместить лищь чередующиеся через одну плоскости; две соседние плоскости не могут быть совмещены друг с другом.
Таким образом, имеются два набора по р эквивалентных плоскостей и соответственно два класса по р элементов (отражений) в каждом. Что касается поворотов вокруг оси, то С9РР = Е и С9РР— — С, составляют каждый сам по себе класс, а остальные 2р — 2 поворотов попарно сопряжены и дают еще р — 1 классов по два элемента. Всего группа С,р,, имеет, следовательно, р+ 3 классов. 'у'. Г р у и и ы Х)„ Если к оси симметрии и-го порядка присоединить перпендикулярную ей ось второго порядка, то это приведет к появлению еще (п — 1) таких же осей, так что будет всего и горизонтальных осей второго порядка, пересекающихся под углами и/и.
Получающаяся группа Хр„содержит 2а элементов: и поворотов вокруг оси п-го порядка и и поворотов на угол а вокруг горизонтальных осей (условимся обозначать последние посредством У9, оставив обозначение С, для поворота на угол и вокруг вертикальной оси). На рис. 34 изображены в качестве примера системы осей групп Х99 и Хр,.
Соверщенно аналогично предыдущему случаю, убеждаемся, что ось л-го порядка является двусторонней, а горизонтальные оси второго порядка все эквивалентны, если и нечетно, или образуют два неэквивалентных набора, если и четно. Следовательно, группа Х99р имеет следующие р + 3 классов: Е, 2 класса по р поворотов У9 в каждом, поворот С, и (р — 1) классов по два поворота вокруг вертикальной оси.
Группа же Хр9 „имеет р + 2 классов: Е, 2р + 1 поворотов 09 и р классов по два поворота вокруг вертикальной оси. Важным частным случаем является группа Х9,. Ее система осей складывается из трех взаимно перпендикулярных осей второго порядка. Эту группу обозначают также посредством 1г. 'у'1. Группы ХУ„» Если добавить к системе осей группы Х9ч горизонтальную плоскость симметрии, проходящую через и осей второго порядка, то при этом автоматически появится л вертикальных плоскостей, каждая из которых проходит через вертикальную ось н одну из [гл, хн теория симметРии горизонтальных осей, Получающаяся при этом группа Р„„ содержит 4и элементов; кроме 2п элементов группы .Р„ в иее входят еще п отражений а, и и зеркально-поворотных преобразований С«а„. На рис.
35 изображена система осей и плоскостей группы Р«». Отражение о„коммутативно со всеми остальными элементами группы; поэтому можно написать Р„„в виде прямого произведения Р„„= Р„Х С„где С, есть группа нз двух элементов Е и о„, л», Рис. Зз При четном а в числе элементов группы имеется инверсия, и можно написать также Р«р, „= Р,р Х Сь Отсюда следует, что число классов в группе Р„„равно удвоенному числу классов в группе Р„.
Половина из них совпадает с классами группы Р„(повороты вокруг осей), а остальные получаются из них умножением на о„. Отражения и, в вертикальных плоскостях относятся все к одному классу (если п нечетно) или образуют два класса (при четном и). Зеркально-поворотные преобразования а„С„' и о„С„" попарно сопряжены друг с другом. Ъ'11. Г р у п п ы Р„« Присоединить плоскости симметрии к системе осей группы Р„ можно еще одним способом. Именно, можно провести их вертикально через ось и-го порядка посредине между каждыми двумя соседними горизонтальными осями второго порядка. Опять присоединение одной такой плоскости влечет за собой появление еще (и — 1) плоскостей. Получающаяся система осей и плоскостей симметрии определяет группу Р„«(на рис.
35 изображены оси и плоскости групп Р««и Ры) Группа Р„«содержит 4л элементов. К 2п элементам группы Р„присоединяется и отражений в вертикальных плоскостях (обозначаемых посредством о« вЂ” «диагональные» плоскости) 431 2 221 точнчныв ггэппы и п преобразований вида б = Уйаю Для того чтобы выяснить характер последних, замечаем, по поворот Уй можно, согласно (91,6), написать в виде Уе = айа„, где а, — отражение в вертикальной плоскости, проходящей через данную ось второго порядка; тогда б = а„а,а„(преобразований а„а„самих по себе в числе элементов группы, разумеется, нет). Поскольку плоскости отражений а, и ае пересекаются друг с другом вдоль оси и-го порядка, образуя угол (и/2п) (2й + 1), где й = 1, ..., (и — 1) (поскольку здесь угол между соседними плоскостями равен и!2п), то, согласно (91,6), имеем а„ае = С,„.
Таким образом, находим, 2й+ ! что 0 = а„С2, = 52„, т. е. эти элементы представляют собой 2й+! 22+1 зеркально-поворотные преобразования вокруг вертикальной оси, оказывающейся, следовательно, не простой осью симметрии и-го порядка, а зеркально-поворотной осью 2п-го порядка. Диагональные плоскости отражают две соседние горизонталь-. ные оси второго порядка друг в друга; поэтому в рассматриваемых группах все оси второго порядка эквивалентны (как при четных, так и при нечетных и). Аналогично, эквивалентны все диагональные плоскости. Зеркально-поворотиые преобразования 52„ 22+! и 5,„~ ' попарно сопряжены друг с другом ').
Применяя эти соображения к группе Рер,„, находим, что она содержит следующие 2р + 3 классов: Е, поворот С, вокруг оси л-го порядка', (р — 1) классов по два сопряженных поворота вокруг той же оси, класс 2р поворотов У„класс 2р отражений а„ и р классов по два зеркально-поворотных преобразования.
При нечетном п (и = 2р + 1) в числе элементов группы имеется инверсия (это видно из того, что одна из горизонтальных осей в этом случае перпендикулярна к вертикальной плоскости). ПазтОМу МОЖНО НаПИСатЬ Рйрей, Š— — Рер„Х С„тан Чтп ГруППа Ре„,й, е содержит 2р + 4 классов, получающихся непосредственно из р + 2 классов группы Рй„„. ЪП1. Группа Т (группа тетраэдра)' Система осей этой группы есть система осей симметрии тетраэдра.
Она может быть получена добавлением к системе осей группы в четырех наклонных осей третьего порядка, повороты вокруг которых переводят три оси второго порядка друг в друга. Эту систему осей удобно представить, изображая три оси второго порядка как проходящие через центры противоположных граней куба, а оси третьего порядка — как пространственные диагонали этого куба.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
