Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Легко видеть, что порядок подгруппы есть делитель порядка всей группы. Для этого рассмотрим подгруппу Н группы 6, и пусть 6, есть некоторый элемент группы 6, не принадлежащий Н. Умножая все элементы Н иа бт (например, справа), мы получим совокупность (или, как говорят, комплекс) элементов, обозначаемый как Нб,. Все элементы этого комплекса принадлежат, очевидно, группе 6. Однако ии один из них не принадлежит Н; действительно, если бы дня каких-либо двух элементов Н„НА, принадлежащих Н, было Н,б„= Н„то отсюда следовало бы 6, = Н,гН„т.
е. 6, тоже принадлежало бы подгруппе Н в про- ') А1ы будем символически обозначать группы курсивными жирными буквами. теоРия симметРии ~гл хп тиворечни с предположением. Аналогично можно показать, что если 6, есть элемент группы 6, не принадлежащий ни Н, ни Н6„ то все элементы комплекса Нб., не будут принадлежать ни Н, ни НО,. Продолжая этот процесс, мы в конце концов исчерпаем весь запас элементов конечной группы 6.
Таким образом все элементы окажутся разбитыми по множествам (называемым смежными классами Н в 6) Н, Нбм Нбм ..., Н6, каждое нз которых содержит по Н элементов, где й — порядок подгруппы Н. Отсюда следует, что порядок группы 6 равен д = = Ьт, чем и доказывается сделанное утверждение. Целое число т = й/й называют индексом подгруппы Н в группе 6. Если порядок группы есть простое число, то из доказанного непосредственно следует, что такая группа вообще не обладает никакими подгруппами (за исключением Е и самой себя).
Справедливо и обратное утверждение: всякая группа, не имеющая подгрупп, непременно простого порядка и к тому же должна быть циклической (в противном случае она содержала бы элементы, период которых составлял бы подгруппу). Введем важное понятие о сопряженных элементах, Два элемента А и В называются сопряженными друг с другом, если А=СВС', где С есть тоже элемент группы (умножив написанное равенство справа на С и слева на С ', получим обратное равенство В = = С 'АС).
Существенным свойством сопряженности является то, что если А сопряжено с В, а В с С, то и А сопряжено с С; действительно, из В = Р 'АР, С = Я 'ВЯ (где Р, Я вЂ” элементы группы) следует, что С = (РЯ) ' А (РЯ) По этой причине можно 1оворить о совокупности элементов группы, еспряжепиых друг с другом. Такие совокупности называются классами сопряженных элементов пли просто классами группы. Каждый класс вполне определяется одним каким-либо своим элементом А; действительно, задав А, мы получим весь класс, составляя произведения 6А6 ', где 6 пробегает все элементы группы (при этом, конечно, каждый элемент класса может получиться и по нескольку раз).
Таким образом, мы можем разбить всю группу на классы; каждый элемент группы может входить, очевидно, только в один из классов. Единичный элемент группы сам по себе составляет класс, так как для всякого элемента группы 6Е6 ' = Е. Если группа абелева, то то же самое имеет место для каждого ее элемента; поскольку все элементы такой группы, по определению, коммутативны, то каждый элемент сопряжен только самому себе и потому сам по себе составляет класс.
Подчеркнем, что класс группы (не совпадающий с Е) отнюдь не является ее подгруппой; это видно уже из того, что он не содержит единичного элемента. ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ 9 93) Все элементы одного и того же класса имеют одинаковый порядок. Действительно, если и есть порядок элемента А (так что А" = Е), то и для сопряженного с ним элемента В = САС ' имеет место (САС ')" = СА"С ' = Е.
Пусть Н есть подгруппа 6, а О, — элемент 6, не принадлежащий Н. Легко убедиться в том, что совокупность элементов О,НО,' удовлетворяет всем требуемым для группы свойствам, т. е. тоже есть подгруппа группы 6. Подгруппы Н и О~НОТ' называются сопряженными; каждый элемент одной из них сопряжен одному из элементов другой. Давая О, различные значения, мы получим ряд сопряженных подгрупп, которые могут оказаться частично совпадающими друг с другом. Может случиться, что все сопряженные с Н подгруппы совпадают с Н. В таком случае Н называют нормальным делителел9 (или инвариантной подгруппой) группы 6.
Так, например, всякая подгруппа абелевой группы является, очевидно, ее нормальным делителем. Рассмотрим группу А с и элементами А, А', А', ... и группу В с т элементами В, В', В", ..., и пусть все элементы А (кроме единичного Е) отличны от элементов В и коммутативны с ними. Если перемножить каждый элемент группы А с каждым элементом группы В, то мы получим совокупность пт элементов, которые тоже составляют группу. Действительно, для всяких двух элементов этой совокупности имеем АВ А'В' = АА' ВВ'= = А "В", т.
е. опять элемент той же совокупности. Получившуюся группу порядка пт обозначают посредством А х В и называют прямым произведением групп А и В. Наконец, введем понятие изоморфизма групп. Две группы А и В одинакового порядка называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если элементу А соответствует элемент В, а элементу А' — элемент В', то элементу А" = АА' соответствует элемент В" = .ВВ'.
Такие две группы, рассматриваемые абстрактно, обладают, очевидно, тождественными свойствами, хотя конкретный смысл их элементов различен. 9 93. Точечные группы Преобразования, входящие в состав группы симметрии тела конечных размеров (в частности, молекулы), должны быть такими, чтобы по крайней мере одна точка тела оставалась неподвижной при применении любого из этих преобразований. Другими словами, все оси и плоскости симметрии молекулы должны иметь по крайней мере одну общую точку пересечения. Действительно, последовательный поворот тела вокруг двух непересекающихся осей или отражение в непересекающихся плоскостях и р иводит к поступательному перемещению тела, которое, очевидно, твогня симматгин 1гл хп ие может совместить его с самим собой. Группы симметрии, обладающие указанным свойством, называются лючечными групиаип.
Перед тем как перейти к построению возможных типов точечных групп, изложим простой геометрический способ, позволяющий легко произвести распределение элементов группы по классам. Пусть Оа есть некоторая ось, а элемент группы А есть поворот вокруг этой оси на определенный угол. Пусть, далее, 6 есть преобразование из той же группы (поворот вли отражение), которое, будучи применено к самой оси Оа, переводит ее в положение ОЬ. Покажем, что элемент В = ОА6 ' отвечает тогда повороту вокруг оси ОЬ на тот же угол, на который элемент А поворачивает вокруг Оа. Действительно, рассмотрим воздействие преобразования ОА6 ' на саму ось ОЬ.
Преобразование 6 ', обратное 6, переводит ось ОЬ в положение Оа, так что последующий поворот А оставляет ее в этом положении; наконец, 6 переведет ее обратно в исходное положение. Таким образом, ось ОЬ остается в результате иа месте, так что В есть повороэ вокруг этой осн. Поскольку А и В относятся к одному классу, то порядок этях элементов одинаков; это значит, что они производят поворот на одинаковый угол.
Таким образом, мы приходим к результату, что два поворота на одинаковый угол относятся к одному классу, если в числе элементов группы имеется преобразование, с помощью которого можно совместить одну ось поворота с другой. Точно таким же образом можно показать, что и два отражения в различных плоскостях относятся к одному классу, если какое-либо преобразование группы переводит одну плоскость в другую.
0 самих осях или плоскостях симметрии, направления которых могут быть совмещены друг с другом, говорят как об экаивалентньж. Некоторые дополнительные замечания требуются для случая, когда оба поворота производятся вокруг одной и той же оси. Элементом, обратным повороту С„' (й = 1, 2, ..., и — 1) вокруг оси симметрии и-го порядка, является элемент С„" = С"-", т.
е, поворот на угол (и — Й) (2п/п) в том же направлении, или, что то же, поворот на угол 2/»и/и в обратном направлении. Если в числе преобразований группы имеется поворот на угол и вокруг перпендикулярной оси (такой поворот меняет направление рассматриваемой оси на противоположное), то, согласно доказанному общему правилу, повороты С» и С,» будут относиться к одному классу. Отражение п„в плоскости, перпендикулярной к оси, тоже меняет ее направление на обратное; однако надо иметь в виду, что отражение меняет также н направление вращения. Поэтому наличие п„не сделает элементы С» и С„» сопряженными. Отражение же а, в плоскости, проходящей через ось, не меняет направления оси, но меняет направление вращения, и потому $93) точячиыя питы С, = о,С~о„так что при наличии такой плоскости симметрии С$ и С„» относятся к одному классу. Если повороты вокруг оси на одинаковый угол в противоположных направлениях сопряжены, то мы будем называть ось двухсторонней.
Определение классов точечной группы часто облегчается следующим правилом. Пусть 6 есть некоторая группа, не'содержащая инверсии 1, а С, — группа из двух элементов: 1 и Е. Тогда прямое произведение 6 х С, есть группа, содержащая вдвое больше элементов, чем 6; половина из них совпадает с элементами группы 6, а остальные получаются умножением последних на 1. Поскольку 1 коммутирует с любым другим преобразованием точечной группы, то ясно, что группа 6 х С, содержит вдвое больше классов, чем 6; каждому классу А группы 6 соответствуют в группе 6 х С, два класса: А и А1. В частности, инверсия 1 всегда составляет сама по себе класс. Перейдем теперь к перечислению всех возможных точечных групп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
