Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 91
Текст из файла (страница 91)
првдстлвлвния ГРупп 437 (94,7) где а ~ р отличают два неприводимых представления, а суммирование производится по всем элементам группы. Для каждого же неприводимого представления имеют место соотношения 6, 6>„— — 7 биб >а> >а>' й >а о (94,8) т. е, отличны от нуля лишь суммы квадратов модулей матричных элементов „'~! 6)."' Г =+. о >) Доказвтельсгво этих свойств можно нвйтн в любом специальном курсе теории групп.
гих наборов. В таком случае говорят, что данное представление приводимо. Если же число преобразующихся друг через друга функций базиса не может быть уменьшено никаким их линейным преобразованием, то осуществляемое ими представление называется непривидимым. Всякое приводимое представление может быть, как говорят, разложено на неприводимые представления. Это значит, что соответствующим линейным преобразованием функции базиса разбиваются на ряд наборов, из которых каждый преобразуется при воздействии элементов группы по какому-либо неприводимому представлению.
При этом может оказаться, что несколько различных наборов преобразуется по одному и тому же неприводимому представлению; в таком случае говорят, что это неприводимое представление содержится в приводимом соответствующее число раз. Неприводимые представления являются существенной характеристикой группы и играют основную роль во всех квантовомеханических применениях теории групп. Укажем главные свойства неприводимых представлений '). Можно показать, что число различных неприводимых представлений группы равно числу г классов в группе.
Мы будем отличать характеры различных неприводимых представлений верх. ними индексами; характеры матриц элемента 6 в различных представлениях будут Х<» (6), Х(е> (6), ..., Хи> (6). Матричные элементы неприводимых представлений удовлетворяют ряду соотношений ортогональности. Прежде всего для двух различных неприводимых представлений имеют место соотноше- ния теоРия с>>л>метРии 1гл хп Соотношения (94,7) — (94,8) можно записать вместе в виде Х "' '-"* =+ - '- (94,9) 1а В частности, отсюда можно получить важное соотношение ортогональности для характеров представлений; суммируя обе стороны равенства (94,9) по парам индексов 5, >5 н 1, л>, получим Х л>"> (С) Х>" > (О)' = кб з.
(94,10) При >х = (1 имеем Е! Х>а>(С) Г = а о — сумма квадратов модулей характеров пеприводнмого представ- ления равна порядку группы. Заметим, что этим соотношением можно пользоваться как критерием неприводимости представле- ния — для приводимого представления эта сумма во всяком слу- чае больше и (так она равна пд, если представление содержит в себе л неприводимых частей, которые все различны между со- бой). Из (94,10) следует также, что равенство характеров двух неприводимых представлений является не только необходимым, но и достаточным условием их эквивалентности.
Поскольку характеры, относящиеся к элементам одного класса, одинаковы, то в сумме (94,10) в действительности имеется всего г независимых членов, и ее можно переписать в виде ~ асу>а> (С) Х5" > (С)' = аб.„, (94,11) с где суммирование производится по г классам группы (обозначае- мым условно буквами С), а дс — число элементов в классе С. Поскольку число неприводимых представлений сов>>адана С ЧИСЛОМ КЛаССОВ, тО ВЕЛИЧИНЫ гао — — у'у,/дт,>а> (С) Обраэуша квадратную матрицу г' величин, Из имеющих местосоотношенийортогональности по первому ин- дексу >с ~> ~„сЦс — — б„з) автоматически следуют тогда соотноше-' ~ с ния ортогональности по второму индексу: Е 7' е%' = бес" а Поэтому наряду с (94,11) имеют место формулы ~» >(5~> (С) )(5~> (С')' = ~ бсс .
(94, 12) ас Среда неприводимых представлений всякой грунны всегда имеет>ся одно тривиальное, осуществляющееся одной функцией базиса, инвариантной по отношению ко всем преобразованиям ПРедстквл ения ГРупп группы. Это одномерное представление называется единия»ым; все характеры в нем равны единице. Если в соотношении ортогональности (94,10) или (94,11) одно из представлений — единичное, то для другого получим ~ х>.>(6) = ~ д,)( (с) = 0, с с (94,13) (94,14) (7» — размерности неприводимых представлений).
Тогда характеры т, (6) можно написать в виде )1(6) = ~; и!в>)(!в> (6) в=! (94,15) Умножая это равенство на >(! > (6)а и суммируя по всем 6, получим в силу (94,10) п> > = — ' '~ Х (6) Х' > (6)'. — а .й., (94,!6) Рассмотрим представление размерности 1 = д, осуществляемое д функциями 6>р, где ф есть некоторая функция координат общего вида (так что все получающиеся из нее д функций бф линейно независимы); такое представление называется регд»ярныз>.
Ясно, что все матрицы этого представления не будут содержать вовсе диагональных элементов, за исключением только матрицы, соответствующей единичному элементу; поэтому будет Х (6) = 0 при 6 чь Е и х (Е) = д. Разлагая это представление на неприводимые, получим, согласно (94,16), для чисел а' > значе. ния а!"> = — (1)п) д)! ' = 1! >, т.
е. каждое неприводимое представление содержится в рассматриваемом приводимом число раз, равное его размерности. Подставив это в (94,!4), найдем соотноше- ние (94,17) т. е. сумма характеров всех элементов группы для всякого не- единичного представления. равна нулю. Соотношение (94,10) позволяет очень просто произвести разложение всякого приводимого представления на неприводимые, если известны характеры тех и других.
Пусть у (6) — характеры некоторого приводимого представления размерности >, и пусть числа а!'>, а!'>, ..., а!'> показывают, сколько раз содержатся в нем соответствующие неприводимые представления, так что 4 Н1 1гл. хп теория симметРии сумма квадратов размерностей неприводимых представлений группы равна ее порядку '). Отсюда следует, в частности, что у абелевых групп (где и = д) все неприводимые представления одномерны (гт = )а = ... = 1„= 1). Укажем также, без доказательства, что размерности неприводимых представлений группы являются делителями ее порядка. Фактическое разложение регулярного представления на неприводимые части осуществляется формулой Легко проверить, что функции тР1'*1 (1 = 1, 2, ..., 7„), определяемые этой формулой при заданном значении и, преобразуются друг через друга согласно бф1 ' = Е 6Г1ф)"1 т. е.
являются базисом а-го неприводимого представления. Давая й различные значения, получим, таким образом, г, различных наборов базисных функций тР14 )для одного н того же неприводимого представления, в соответствии с тем, что каждое неприводимое представление входит в регулярное представление ) раз, Произвольную функцию тр можно представить в виде суммы функций, преобразующихся по неприводимым представлениям группы. Эта задача реп:ается формулами ф =',), ~~ь~4"1, ф,'"1 = ~~ 4ь~61;" 6ф. (94,19) а с Для доказательства подставим вторую формулу в первую и, произведя суммирование по 1, получим ф = —,,~~ ~-Х"' (6) 6ф (94,20) Заметив, что размерности Г„совпадают с характерами )(<"1 (Е) единичного элемента группы, и воспользовавшись соотношением ортогоиальиости (94,12), найдем, что сумма Х ~„Х1"' (6) отлична а от нуля (и равна 47), лишь если 6 — единичный элемент группы.
Поэтому правая сторона (94,20) тождественно совпадает с 4р. РаССМОтрИМ дВЕ раЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ фуНКцИй тр1"1, ..., ту""1 И , ф1Р1, осуществляющие два неприводимых представления 'в' т) Отметим, что дли точечаых групп уравнение (94,17) при данных г и и фактически может быть удовлетворено набором нелых чисел )т, ..., 7, лишь одним-единствениым образом.
пРедстквлания ГРупп группы. Составляя произведения [р«<")[рА<"), мы получим систему 1 га новых функций,. которые могут служить базисом нового представления размерности 1 )а. Это представление называется прямым (или кронекеровским) произведением первых двух; оно непРнводимо, лишь если по кРайней меРе одно из 1 или гв Равно единице.
Легко видеть, что характеры прямого произведения равны произведениям характеров обоих составляющих представлений. Действительно, если М") = Е 6<")ф<"), афва) - Е 6<а)ф<а), т то 6 <и) <В) ~ <а)6<ЕА> <а) Щ). ), иа отс)ода для характеров, которые обозначим как (Х<"> х Х<а>) (6), получим (Х'") х Х<а))(6) = Е 6Г'аж' = Е 6<Г) Е 6)<,а), С,А С А (Х<'"> х Х<ю) (6) = Х<"> (6) Х<а) (6). (94,21 ) Оба перемножаемые неприводимые представления могут, в частности, совпадать; в этом случае мы имеем два различных набора функций [Р), ..., [Р) и [р„..., [рь осуществляющих одно и то же представление, а прямое произведение представления само на себя осуществляется 1' функциями <Р)<р„и имеет характеры (х ~< х) (6) = (х (6) 1' Это приводимое представление можно сразу разбить на два представления меньшей размерности (но, вообще говоря, все еще приводимые).