Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 95

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 95)

Диагональные элементы отличны от нуля (как видно из (4)) только для состоя. пвй Еа и Еи. 8 98. Непрерывные группы Помимо конечных точечных групп, перечисленных в 5 93, суШествуют непрерыоноге точечные группы с бесконечным чнслом элементов. Это — группы аксиалоной и сферической симметрий. Простейшей из групп акснальной симметрии является группаС, содержашая повороты С (гр) на произвольный угол ~р вокруг огн симметрии (ее называют деужерной группой вращении). Эту группу можно рассматривать как предельный случай групп С„прн и — оо. Аналогично, в качестве предельных случаев групп С„ю С„е, д„, д„„получаются непрерывные группы С и, С, д, д а.

нвпгввывныа гггппы 455 Молекула обладает аксиальной симметрией только в том случае, если она состоит из атомов, расположенных по одной прямой. Если она при этом несимметрична относительно своей середины, то ее точечной группой будег группа С „содержащая, помимо поворотов вокруг оси, также и отражения о, в любой плоскости, проходящей через ось. Если же молекула симметрична относительно своей середины, то ее точечной группой будет группа Р и = С,х Сь Что же касается групп С, С ю Р, то они вообще не могут осуществляться в качестве групп симметрии молекулы. Группа полной сферической симметрии содержит повороты на произвольный угол вокруг любой оси, проходящей через центр, и отражения в любой плоскости, проходящей через ту же точку; эта группа (которую обозначим посредством К„) является группой симметрии отдельного атома.

Она содержит в качестве подгруппы группу К всех пространственных поворотов (ее называют трехмерной группой вращений, или просто группой враи(ений). Группа К„ может быть получена из группы К добавлением центра симметрии (Ка = К х С;). Элементы непрерывной точечной группы можно различать одним или несколькими параметрами, пробегающими непрерыв. ный ряд значений. Так, в группе вращений параметрамн могут быть три угла Эйлера, определяющие поворот системы координат. Описанные в 5 92 общие свойства конечных групп и относящиеся к ним понятия (как.то: понятия подгруппы, сопряженных элементов, классов и т.

п.) непосредственно обобщаются на непрерывные группы. Теряют, разумеется, смысл те утверждения, которые непосредственно связаны с порядком группы (например, утверждение о том, что порядок подгруппы есть делитель по. рядка группы). В группе С, все плоскости симметрии эквивалентны, так что все отражения о, составляют один класс с непрерывным рядом элементов; ось симметрии двусторонняя, так что имеется непрерывный ряд классов, содержащих каждый по два элемента С (~ г).

Классы группы Р ь получаются непосредственно из классов группы С„,„так как Р ь = С, х Сь В группе вращений К все оси эквивалентны и двусторонни; поэтому классами этой группы являются повороты на заданный по абсолютной величине ) ф) угол вокруг любой оси. Классы группы К„получаются непосредственно из классов группы К. Понятие представлений — приводимых и неприводимых— тоже непосредственно обобщается на случай непрерывных групп.

Каждое неприводимое представление содержит непрерывный ряд матриц, но число преобразующихся друг через друга функций базиса (размерность представления) конечно. Эти функции могут быть всегда выбраны таким образом, чтобы представление было унитарным, Число различных неприводимых представлений не.

ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ 456 (гл. хп прерывной группы бесконечно, но они составляют дискретный ряд, т. е. могут быть перенумерованы последовательными номерами. Для матричных элементов и характеров этих представлений имеют место соотношения ортогональности, обобща~ощие аналогичные соотношения для конечных групп. Вместо (94,9) имеем теперь бга б, г(то = — б„абпба„~ г(то, (а) (р) ° 1 (98, 1) /а а вместо (94,10)— 11 )((а1 (б) )((Р> (б)' с(то = биа ~ с(то. (98,2) Интегрирование в этих формулах есть так называемое инвариантное интегрирование по группе; элемент интегрирования г(то выражается через параметры группы и их дифференциалы, причем таким образом, что при воздействии на него всех преобразований группы снова получается элемент интегрирования ').

Так, в группе вращений можно выбрать ((то — — з!и р г(сс г(() с(у, где а, р, у — углы Эйлера, определяющие поворот системы координат (9 58); при этом )' с(то = 8пз. Неприводимые представления трехмерной группы вращений мы по существу уже нашли (не пользуясь при этом терминоло. гней теории групп), когда определяли собственные значения и собственные функции полного момента.

Операторы компонент момента совпадают (с точностью до постоянного множителя) с операторами бесконечно малых поворотов '), и собственные значения момента характеризуют поведение волновых функций по отноше. нию к пространственным вращениям. Значению момента 1 соот. ветствует 21 + 1 различных собственных функций тр>, отличаю.

щихся значениями проекции т момента и относящихся к одному (2! + 1)-кратно вырожденному уровню энергии. При поворотах системы координат эти функции преобразуются друг через друга, осуществляя, таким образом, неприводимые представления группы вращения. Следовательно, с точки зрения теории групп числа 1 нумеруют пеприводимые представления группы вращений, при.

чем каждому ! соответствует одно (21 + 1)-мерное представление. Число 1 пробегает целые и полуцелые значения, так что размерность 21 + 1 представлений пробегает все целые значения 1, 2, 3, ... г) Высказанные утверждения о свойствах неприводимых представлений непрерывных групп справедливы лищь при условии сходимостн интегралов (98,1) — (98,2); в частности, должен быть конечен «объем гРУппы» ) г(то.

Лла непрерывных точечных групп зто условие выполняется (оно не выполняется, например, для так называемой лоренпевой группы, с которой мы встретимся в релятивистской теории). *) По математической терминологии зги операторы иазывщот генераторами группы вращений, ю ва) НЕПРЕРЫВИЫЕ ГРУППЫ Функции базиса этих представлений были уже по существу исследованы в 9 56, 57 (а матрицы представлений были найдены в $ 58). Базисом представления с данным ) являются 2) + 1 независимых компонент симметричного спинора ранга 2) (которым эквивалентна совокупность 2) + 1 функций ф) ). Неприводимые представления группы вращений, соответствую. щие полуцелым значениям 1, отличаются существенной особенностью.

Дело в том, что при повороте на угол 2п функции их базиса (компоненты спинора нечетного ранга) меняют знак. Но поскольку поворот на 2п совпадает с единичным элементом группы, то мы приходим к выводу, что представлении с полуцелыми ) являются, как говорят, двузначными: каждому элементу группы (повороту вокруг некоторой оси на угол ~р, О ~( ф ~( 2П) соответствует в таком представлении не одна, а две матрицы с противоположными по знаку характерами '). Изолированный атом обладает, как уже отмечалось, симме. трией К„ =- К х Сь Поэтому, с точки зрения теории групп, каждому терму атома соответствует некоторое неприводимое представление группы вращений К (им определяется значение полного момента у атома) и иеприводимое представление группы С) (чем определяется четность состояния) '). При помещении атома во внешнее электрическое поле его уровни энергии расщепляются.

Число возникающих при этом различных уровней и симметрия соответствующих состояний могут быть определены способом, описанным в 9 96. Для этого надо разложить приводимое (2) + 1)-мерное представление группы симметрии внешнего поля (осуществляемое функциями фзм) по неприводимым представлениям этой группы. В связи с этим возникает необходимость в знании характеров представления, осуществляемого функциями фзм. Поскольку характеры неприводимых представлений элементов одного класса одинаковы, достаточно рассмотреть повороты во. круг одной оси — оси г, При повороте на угол ф вокруг оси г ') Необходимо сказать, что двузначные представления группы не являются представлеаиями в исгиниом смысле слова, так как осуществляются неоднозначными функциями базиса; см.

также й 99. з) Кроме того, гамильтониап атома инвариантен по отношению к перестановкам электронов. В нерелятивистском приближении координатные и спиновые волновые функции разделяются, и мозсно говорить о представлениях группы перестановок, осуществляемых координатными функциями. Заданием неприводнмого представления группы перестановок определяется полный спин атома о (й Я), Нрн учете же релятивистских взаимодействий разделение волновых функ.

пий на координатную и спиновую части невозможно. Симметрия по отношению к перестановкам одновременно координат и спинов частиц не прииоднт к какой- либо характеристике герма, так как принципом Паули допускаются лишь антисимметрнчные по всем электронам полные волновые функции. Зто соответствует тому, что при учете релятивистских взаимодействий спин, строго говоря, ие сокраняется (сохраняется лишь полный момент у), !гл. хп теория симметрии волновые функции т)>>м умножаются, как мы знаем, иа егме, где М вЂ” проекция момента на данную ось.

Характеристики

Список файлов книги