Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 87
Текст из файла (страница 87)
О теле, симметричном относительно этого преобразования, говорят, что (гл. хи теоРия симметРии оно обладает центром симметрии. Операцию инверсии мы будем обозначать символом П имеем 7 = За = Сапа. (91,5) Очевидно также, что 1па = С,, 1Са = па. 'другими словами, ось второго порядка, перпендикулярная к ней плоскость симметрии и центр симметрии в точке их пересечения взаимно зависимы— наличие любых двух из этих элементов автоматически приводит к наличию также и третьего. Укажем здесь ряд чисто геометрических свойств, присущих поворотам и отражениям, которые полезно иметь в виду при изучении симметрии тел.
Произведение двух поворотов вокруг осей, пересекающихся в некоторой точке, есть поворот вокруг некоторой третьей оси, проходящей через ту же точку, Произведение двух отражений в пересекающихся друг с другом плоскостях эквивалентно повороту; ось этого поворота, очевидно, совпадает с линией пересечения плоскостей, а угол поворота равен, как легко убедиться простым геометрическим построением, удвоенному углу между обеими плоскостями. Если обозначить прворот вокруг оси на угол гр посредством С (и»), а отражения в двух плоскостях, проходящих через ось, символами а, и и,' '), то высказанное утверждение можно записать в виде о„о„' = С(2«р), (91,6) где ср — угол между обеими плоскостями. Необходимо отметить, что порядок, в котором производятся оба отражения, не безразличен: преобразование о,п„' дает поворот в направлении от плоскости а,' к о„а при перестановке множителей мы получим ' поворот в обратном направлении.
Умножая равенство (91,6) слева на ою получим о,' = сг,С (2<у); (91,7) другими словами, произведение поворота и отражения в плоскости, проходящей через ось, эквивалентно отражению в другая плоскости, пересекающейся с первой под углом, равным половине угла поворота. В частности, отсюда следует, что ось симметрии второго порядка и две проходящие через нее взаимно перпендикулярные плоскости симметрии взаимно зависимы: наличие двух из них требует также наличия третьей. Покажем, что произведение поворотов на угол и вокруг двух пересекающихся под углом гр осей (Оа и 0(» на рис. 33) есть пово- ') Индексом и обычно отличают отражение н плоскости, проходящеа через данную ось («нертнкальная» плоскость), а индексом д — н плоскости, пеупенди.
кулярноа к оси («горизонтальная» плоскость). ГГЭППЫ ПРВОВРХЗОВХНИН 42! $9м рот нз угол 2у вокруг осн, перпендикулярной к первым двум (РР' иа рис. ЗЗ). Действительно, заранее ясно, что результирующее преобразование есть тоже поворот; после первого поворота (вокруг Оа) точка Р переходит в Р', а после второго (вокруг 06) она возвращается в исходное положение. Это значит, что линия РР' остается неподвижной и, следовательно, является осью поворота. Для определения угла поворота достаточно заметить, что при р первом повороте ось Оа остается на месте, а после второго переходит в положение Оа', образующее с Оа угол 2~Р. 'Таким же способом можно а' убедиться в том, что при перемене а-,,ь порядка обоих преобразований мы а получим поворот в противоположном направлении.
Хотя результат двух последовательных преобразований зависит, р/ в~юбще говоря, от порядка, в ко- Ряс. 33 тором они производятся, но в ряде случаев порядок операций несуществен — преобразования коммутативны. Это имеет место для следующих преобразований: 1) два поворота вокруг одной и той же оси; 2) два отражения во взаимно перпендикулярных плоскостях (оии эквивалентны повороту на угол и вокруг линии пересечения плоскостей); 3) два поворота на угол и вокруг взаимно перпендикулярных осей (они эквивалентны повороту на тот же угол вокруг третьей перпендикулярной оси); 4) поворот и отражение в плоскости, перпендикулярной к оси поворота; 5) любой поворот (или отражение) и инверсия в точке, лежащей яа оси вращения (или в плоскости отражения); это следует из 1 и 4.
й 92. Группы преобразований Совокупность всех преобразований симметрии данного тела называют его группой преобразований симметрии, или просто группой симметрии. Выше мы говорили об этих преобразованиях, как о геометрических перемещениях тела. В квантовомехаиических применениях удобнее, однако, рассматривать преобразования симметрии как преобразования координат, оставляющие инварнантиым гамильтониан данной системы. Очевидно, что если система совмещается сама с собой при некотором повороте или отражении, то соответствующее преобразование координат не (гл хн 422 теоРия симметРчн изменит ее уравнения Шредингера.
Таким образом, мы будем говорить о группе преобразований, но отношению к которым инвариантно данное уравнение Шредингера '). Изучение групп симметрин удобно производить с помощью общего математического аппарата так называемой пмбрии групп, основы которого излагаются ниже.
Мы будем рассматривать сначала группы, каждая из которых содержит конечное число различных преобразований (так называемые конечные группы). 0 каждом из преобразований, входящих в состав группы, говорят, как об элементе группы. Группы симметрии обладают следующими очевидными свойствамп. В состав всякой группы входит тождественное преобразование Е (о нем говорят, как о единичном элементе группы). Элементы группы можно перемножать друг с другом; под произведением двух (или нескольких) преобразований подразумевается результат их последовательного применения. Очевидно, что ироизведение всяких двух элементов группы есть элемент той же группы. Для умножения элементов имеет место закон ассоциативности (АВ) С = А (ВС), где А, В, С вЂ” элеыенты группы.
Запои коммутативности, однако, не имеет, вообще говоря, места: в общем случае АВ-4= ВА. Для каждого элемента группы А имеется в той же группе обратный элемент А ' (обратное преобразование) такой, что АА ' Е. В некоторых случаях элемент может совпадать со своим обратным. в частности, Е ' = Е. Очевидно, что взаимно обратные элементы А и А ' коммутативны. Элемент, обратный произведению АВ двух элементов, равен (АВ) ' = В 'А ' и аналогично для произведения большего числа элементов; в этом т) Такая точка зрепнн позвцзяет включить в рассмотрение не только группы поворотов и отраженна, о которых идет здесь речь, но н другив типы преобра. зеваний, оставляющих неизменным уравнение Шредингера.
К ним относятси перестановки координат тождественных частиц, входящих в состав данной си. стемы (молекулы или ятома). О совокупности всех возможных в данной системе перестановок тождественных частиц говорят, как о ее группе перестановок (мы имели уже с ними дело в з 63). Излагаемые ниже общие свойства групп относяггя н и группам церес~знозок; более подробным изучением этого вида групп мы не станем занима1ься. По аоводу применяемых в втой главе обозначений пало сделать следующее замечание. Преобразования симметрии прелставляют собой по существу такие же операторы, какие мы рассматриваем на протяжении всей книги, н их следовало бы обозначать буквамн со щляпкамн.
Мы не делаем этого, имея в виду общепринятые обозначении, а также учитывая, что зто не может привести в настоящей главе к нелоразумениям. По той же причине мы пользуемся для обозначения тождесгвеяного преобразования общепряннтым символом Е, а не 1, как зто соответствовало бы обозначениям в остальных главах. Наконец, оператор инверсии обозначается в втой главе символом ! вместо яспользованного в $ ЗО символа Р, привитого в современной литературе по квантовой механике.
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ легко убедиться, производя перемножение и используя закон ассоциативности. Если все элементы группы коммутативны, то такая группа называется абеленой. Частным случаем абелевых являются так называемые циклические гррплвь Под циклической пони маюв группу, все элементы которой могут быть получены путем возведения одного из иих в последовательные степени, т. е.
группу, состоящую из элементов А Аз Аз ... Аа=Е, где и есть некоторое целое число. Пусть 6 есть некоторая группа '). Если нз нее можно выделить некоторую совокупность элементов Н такую, что она сама коже будет составлять группу, то группу Н называют подгруппой группы 6. Один и тот же элемент группы может входить в различные ее подгруппы. Взяв любой элемент А группы и возводя его в последовательные степени, мы получим в конце концов единичный элемент (поскольку полное число элементов в группе конечно).
Если л есть наименыпее число, при котором А" = Е, то и называется порядком влежеита А, а совокупность элементов А, А', ..., А" = Е— периодом А. Период обозначают посредством (А ); он составляет сам по себе группу, т. е. является подгруппой исходной группы, причем подгруппой циклической. Для того чтобы проверить, является ли данная совокупность элементов группы ее подгруппой, достаточно убедиться в том, что при умножении всяких двух ее элементов получается элемент, содержащийся в той же совокупности. Действительно, тогда вместе со всяким элементом А будут иметься и все его степени, в том числе А" — ' (л — порядок элемента), играющий роль обратного (так как А"-'А = А" = Е); будет иметься, очевидно, и единичный элемент. Полное число элементов группы называют ее порядком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
