Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 85
Текст из файла (страница 85)
е. с другими «частицами»), подобное своеобразному трению, делает их статистическими. Это взаимодействие, как и в $ 3 гл. 5, будет аппроксимироваться релаксационным членом. Физическая значимость предлагаемых задач неоспорима: зто ядерный магнитный резонанс (для простоты — в варианте классической теории), открытый и описанный Феликсом Блохом и независимо Парселлом (Р.
В!осЬ, Е. РцгсеП, 1946) и другими, и двухуровневая система (для нас — единственный пример исследования уравнения для матрицы плотности), рассмотрение которой на аналитическом уровне (в математическом отношении зто самый простой пример — две строки и два столбца) удается провести лишь в немногих частных случаях. В отличие от б 3 предлагаемый материал обязательным не является. Задача 21.
Оценить ширину линии поглощения, связанную с ядерным магнитным резонансом (ЯМР), считая магнитные моиенты ядер классическими. Решенае. Поясним вкратце физический смысл ЯМР. Пусть ядра молекул имеют нескомпенсироваиный магнитный момент /э, связанный с механическим моментом количества движения р соотно- Н» шепнем /э = 7р, где г — гиромагнитное отношение д, умноженное не ядерный мап~етон Бора ед/(2т с) = 5,05.
1О и эрг/Э. Если такой момент поместить в пестояйное магнитное поле Н«, то « классическое уравнение движения его лод действием момента сил /«х Н«будет иметь еид д ар др др / — щ — + ы х р = /э х Н«или — = /г х 1 Н«+ — 1, дг дг ' 81 г откуда следует, что в стационарном случае вектор /э прецессирует 1 вокруг Не (рис. 232) с угловой скоростью У ы« = 7Н«. , юе Пусть теперь перпендикулярно к полю Н«включено слабое магх нитное поле Н,, !Н,( ч. )Н«(, вращающееся в том же направлении С регулируемой угловой скоростью ы'. Тогда прн и' ы«будет Рис.
232. Прецесскя матки«него момента /« ее- наблюдаться резонанс, ширина и амплитуда которого позволят круг ее«гера Н« к схема оценить на эксперименте параметры, характеризующие релаксавключения поля Н~ ционные процессы в системах, состоящих иэ молекул рассматриваемого типа. На эксперименте поле Н, не вращается, включается просто гармоническое поле Н« = 2Н1 соэ(ыг) ш Н«+Н ж Н~е ы~+Н,еы', которое можно представить как сумму двух вращающихся в противоположных направчениях полей, причем е «резонансе» булат участвовать та часть, которая вращается в направлении вращения прецессии ы, Н« = Н~ с<м (ыг) — ЗН~ э1п (ыг), Н, = Н~ соэ (ыг), Н„= -Н, яп (ыг).
Рассматривая систему таких молекул, будем считать ее плотность и = йГ/У постоянной и исследовать эволюцию не вектора,и, а намагничення М = и/«(т.е. магнмтного момента 1 смэ системы). Релаксацнонные механизмы (их иэ общих физических соображений по крайней мере лва: спин-решеточное юаимолействие н спин-спиноеое взаимодействие) зву О 4. Релаксоционный член в уравнении Блоха будем характеризовать с помошью конструкций типа релаксационного члена в уравнении $ 3 с двумя параметрами т, = р)! и т, = т„, характеризуюшими скорость релаксации среднего намагничения системы М, к равновесному значению Мд = УНд н скорость релаксации перпендикулярных составлшощнх намагничення к нулю: Как показывают эксперименты по наблюдению ЯМР, время т, имеет порядок от долей секунды (1О д) до нескольких часов, а тз 10 4 — 10 д с.
Ввиду того что величины т лля разных компонент М предполагаются различнымн, запишем уравнение движения для магнитного момента по компонентам. Внешнее поле Н = Нд + Н, положим равным Нд (О, О, Нд), Ну — Щ соз (ы!) )Н1 а!и (ыС) = (Н~ соз (ы!), -Н~ $1п (и!), 0). Тогда система уравнений (уравнения Блоха) для (М„Мр, М,) примет вид дуМ, М, М, — * = у(М х П), — — * = у(МрНд — М,Н, яп (ые)) — — *, дй тд — = у(М х Н)р — — = у(М,Н, сод(ы!) — М,Нд) — —, Мр Мр й! 2 оМ, Мд -Мд М, — Мд — = У(М х Н), — ' = -У(М Н, а!п(ыз)+МрН! сод(ы!))— й! т! Вместо М, и Мр введем величины Мд = М, ж дМр, тогда — = у(-рМ,Нд+дМ,Н,е-' ) —— дй (уравнениедля М =М; комплексносопряженоэтомууравнению).
Полапш Мд(!)=ряд е ьк получаем алгебраическое линейное уравнение длв амплитуды шд, решив которое, получаем „„, УМ,Н, -в!ы-т! е — 'ь,-й'+гчду где сдвиг фазы стационарного колебания величин М, и Мр удовлетворяет соотношению ! гав = тр(ыд — ы) С помощью полученного выражения можно получить М, = ВеМ,, Мр =1шМт и рассчитать величину Мд а!и (ы1) + Мр соа (ыФ) = (ыд — ы)з+ (1/т )Р тр стояшую в правой части уравнения для М,. После указанной подстановки уравнение лля М, становится замкнутым линейным уравнением явно редаксационного типа. На характере этой релаксации мы остановимся в следующей задаче, сейчас же, интересуясь стационарным решением, положим ОМ,/й! = О, топш измеряемая в стационарном режиме величина магнитного момента М, (т.е.
намагничения системы) будет равна (ыд — ы)'тр + 1 (ы — ы)рр 2+ 1 +'УРНРт1 тр Остается только технически «доработать» полученный результат. Заметим, что в этой формуле ы и Н, — лве регулируемые на эксперименте величины, а параметры т, и тр — это то, что хотелось бы определить. 388 Задачи и доаолнишельные еоаросы я слове 5 Введем в соответствие с $3 гл. 4 динамическую восприимчивость Х(ы): М+(ю) = Х(ы)Н+(ы) = 7М е ° Нь гт (ыо- г) +(1/тг и вьшелим в ней действительнув и мнимую части, Х = Хг + оХ", 7Мо(юо - ю)т» о 7Мотг Х = (ыо - ы)гтг + 1+ У'Н,'т|т,' (ыо — и)'т,'+ 1+ 7гН)т1тг' Х Напомним, как часть Х" (и) связана с диссипативными потерямн в системе.
Напишем первое начало термодинамики лля !ем' системы в форме Ю!) = дОУл-МдН. Интегрируя обе части равенства по времени, получим для средней за период Т = 2я/ю скорости аылелення тепла в 1 ем системы гю/гг го/о 1 Г и ы Г Ф'(ы) га — )Ь Й) = — ( (М дНо + М ЮН ) — — / йе (М' дНь). Т,/ 2я,/ ' ' " " 2я,/ учитывая, что дНо = -!ыН+ гй, М,'. га (Х' — гХо)Н,', Н+Н+ = Нг, 4( )=«Н,'Х". получим Полагая Мо = ХОНг, ыо = 7НО и Мо = — г Хомо 7 получаем окончательно для мощности тепловых потерь ытг Т тг' ч ' (и — ыо)гтгг+ 1+ угНгт,т!' Резонансная частота (рис.
233) оказывается относительно ыо несколько сдвинутой: 1+ 7'Н,'г,т! ынг ого + г т, 1 1 а ширина резонансного максимума имеет порядок 1 ш ! г гт1 1 !Ьы Ш вЂ” + угН, —. тг В сл)чае слабого возбуждающего поля Ны такого, что 7гН, тЛ < 1, ширина !!ю непосредственно вмражается через время релаксации ег: 1 Ью й! —. Порядок этой вслкчины оказывается равным !!ы 10г с"' (т, 10 з с), резонансная же частота имеет по- рядок ыо 7Н 10 и ° 1О'/10 ~ = 10' с ', амплитудный множитель в -4~(ы) тгыо ° 1О' 3г 1, т.е. максимум поглощения Ф''(ы) очень узкий и высокий. В случае более сильных полей, таких, что 10о л 7гН,'т,тг Ъ 1, максимУм о'(ог) значительно расширяется в зависимости от величины тм /т, Гам 7Н, г/ —,и —.
389 Б 4. Релаягацианный член в уравнении Блока Задача 22. Записать уравнение для матрицы плотности двухуровневой систеиы с релак- сациониыи членои, включающим только два параиетра, характеризующих релаксацию диагональных и недиагональных элеиентов иатрицы р, в форне уравнения Блоха и исследовать общий характер эволюции систеиы. Решение. Если два уровня связаны со спиновыми состояниями ядер, то эта задача в физическом отношении эквивалентна предыдущей (только та была классической). Олнако мы не будем на этот раз конкретизировать систему, тем самым придавая мдаче более общий характер (хотя и только «двухуровневый»).
Пусть гамильтониан изолированной системы Н, имеет собственные функции»Р! и «Рг и собственные значения Е, и Ег. Взаимодействие этой системы с другими, приводящее к переходам 1 2 с уровня на уровень, булем характеризовать недиагональным оператором Н!. В матричном представлении (гр! и «Рг используются как базисные функции) имеем Ни = (ГЗ! Н«Р!) = («Р!, Ноф!) = Е, Нгг = (грг.
Н«рг) = (!Рг Но«рг) = Ег = Е! +ДП» ! Нп = (гр!, Н»рг) = (!Р! Нггдг) = («Рг, Н!!Ь!) = -Д7. 2 Уравнение с релаксационным членом для матрицы р (см. замечание к $3) имеет вид Р= -(Н Р)- — Г(Р— Ро), брр=ричргг=1, Ь где равновесная матрица плотности в случае Ни —— 0 !о> 1 !о> !о> Ри = ! оо >о Ри = Ри 1+ ~гь>о* а релаксационный член согласно условию включает тол око два параметра Г! = 1(г, и Гг — — 1/тг. /Г!( Г(р- ро) «» ри - ри) Г,рп го> Ггрп Гг(рп Рп ) I !о> Перемножая двухрялные матрицы Н и р при вычислении их коммугетора, получаем уРавнение движения для каждой иэ компонент матрицы р: !о> Ри = 7'»(Рг! Рп) 1!(Ри Ри) 2 1 1 Ри = 7 ' г(рп Ри) — («По + Гг)ри, Рг! = 7 ' о(ри Рп) (-оП» + Гг)рг! 2 2 Введем новые неизвестные функции и = Ри+Ри, е = «(ри — Рг!) и = Рц — Ри Так как время ти связанное с релаксацией среднего намапоичення М, к значеюпо Мо.
является характеристикой взаимодействия «газа» ядерных моментов с термостатом (с тепловым движением, например, кристаллической решетки), то значительное отличие т, от тг (т, превышает т, на несколько порядков) указывает на возможность установления в короткий цо сравнению с т, срок равновесия в системе ядерных спинов отдельно (т. е. без установления их равновесия с решеткой). Получаются как бы две пространственно совмещенные, но «изолированные» в термодинамическом смысле друг от друга квазиравноаесные системы, характеризуемые разными температурами, и т.л. На возможность введения спинозой температуры, отличной от температуры решетки, указал в 1948 г. Упомянутый нами выше Э.
Парселл, он:ке в !951 г. методом накачки энергии в спиновую систему достиг состояний с отрицательной спииоеой температурой. 390 Зпдачи и дополииглельные вопросы я глава 5 нли обратно 1 р~з = -(и — ое), 2 1, ! 1 Рп = (и+те) Ря= (!+ш). Рп =1 Рп= (! ш). 2 2 ' 2 Тогда система из трех уравнений й Йое Гти, е 7ш + Йои Гте, ш = 7и Г! (ш шо), если ввести для фигурируюШих здесь величин векторные обозначения М = (и, е, ш); Мо = (О, О, тво); ш = (7, О, Йо), запишетса в виде УРавнениЯ Мшы хМ вЂ” Г(М вЂ” Мо), где Г(М Мо) = (Гти, Гзв, Г|(ш — шо)) которое по форме полностью совпадает с тем уравнением Блоха, которое мы рассматривали в предыдушей задаче. Появление совершенно «клвссической» формы в чисто квантовой задаче воспринимается квк счастливая случайность, которой, естественно, надо воспользоваться (основа этой «случайности» была заложена в матрице р, имеюшей только три независимых элемента, из которых в конечном счете и был скомпонован вектор М; для 3-уровневой системы этого бы уже не получилось).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
