Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Наглядность блоковской задачи с ее прецессиями вектора М и т.д. позволяет сразу выяснить обший характер эволюции элементов матрицы р. Рассмотрим сначала случай Г = О. Тогда модуль вектора М не меняется во времени: М = ыМ яп а = сопя, где РиС, 234. Траектория конца вектора — 2 т М(!) в пространстве (и, е, ш) в случае ы = |ш~ = 3/По+7, Япа = —, ы Г = 0 (двнженне по окружности с угловой скоростью ы) н в случае Г ть 0 а сам вектор М(!) описывает конус (рис.234), ось (двнженне по скручнвающейся к точке которого ы лежит в плоскости (ш,и), а образующая М(оо) спирали) касается оси ш. Если начальное условие задано, ш(0) ~ О, е(0) = и(0) = О, то ралиус окружности, прочерчиваемой концом вектора М(1), равен Я ш ш(0) яп а = — ш(0).
7 ы С помошью геометрических построений, выполненных на рис. 234, сразу получаем и(!) = В(1 — соз (ш1)) ° соз а = ш(0) — (! — соз (ы!)), 7Йо е(!) = -Лип(ыт) = -ш(0) — о!п(ыг), 7 ш ш(!) = ш(0) — В(1 — сов(ы|)) в|па = ш(0) ~1 — — (1- соа(ы!))).
7 ы' Иы не будем выписывать элементы рп, рп = ! — Рп и ря — — р'„матрицы р, предоставив .ято читателю, но заметим, что мы, по сушеству, получили решение известной квантовомехайнческой задачи: под действием уу, (7 ть 0) периодически меняются квантовомехаиические 391 у4. Релаясацианный член а уравнении Блоха Задача 23. Найти предельное прн С ао решение уравнения Блоха длл вектора М = (и, а, в) в приближении двух аренен релаксации. Решение.
Считая, что релаксацконные процессы завершились, т.е. С >1/Г, и С Ъ 1/Гт, по- ложим и = е = в = О. Тогда, обозначив компоненты предельного вектора М(оо) = (Ст, К Я'), имеем О = -ЙОУ вЂ” ГОСГ, О = -7»у+ йотт — Гтт, О в ТУ вЂ” Г2(йт — во) Решение этой системы алгебраических уравнений элементарно, 7Й, 7Г, Йт+ Г,' 2 2 2 ' О 1 2 2 2 ' О 2 2 2 ' О Йо+ ГО+7 Гт/Г2 Йо+Гт+7 Гт/Г2 Йо+ ГО+7 Гт/Г2 В случае 7 = О (т.е. при отсутствии возмущения Н, = О) зто решение соатветствуег выписанному в заааче 22 выражению для равновесной матрицы Ро.
При у ть О полученные выражения для С/, т', В' соответствуют равновесному состоянию двухуровневой системы, характеризуемой полнмм тамильтонианом Но+ Н, (точное решение равновесной задачи). В случае Г, = Гт — — Г решения несколько упрост2пся: йо+ Г' Вт = — «оо. вт+ Гт 7Й, 7Г С/ = во, у= — — во, ,2+Г2 ' 0 2+Г2 ' О Заметим еще, по в случае à — О предельный вектор М(оо) располагается вдоль вектора в: У~ — — =О1пц. г-о 1 )„ , О, Задача 24.
Решить релаксацнонное уравнение Блоха в частнои случае ГС = Гт = Г, считая начальные значения конпонант вектора М(0) заданныни. Решение. Введем величину М = М вЂ” М(оо), характеризующую отклонение вектора М(С) от своего предельного значения. Так как в рассматриваемом частном случае релаксационный процесс характеризуется одним параметром Г для всех компонент этого вектора, то, положив М(С) в е пт(С), получаем для компонент вектора т согласно уравнению Блоха (см.
жтдачу 22) х=-йоу, у=-7л+йох, з=7у. Эти уравнения совпадают с уравнениями незатухающей прецессии вектора М(С) (Г, = Гт — — О), которые мы рассматривали в зздаче 22 с определенными начальными условиями. вероятности ОР22/Ч = Р~~ и 2222Р2 = 1 — р,~ обнаружить систему в состояниях 1 и 2, причем частота, амплитуда и другие характеристики этих колебаний получены не в результате решения соответствующего уравнения Шредингера, а с помощью геометрического рассмотренна.
В случае 7 = О этого колебательного процесса вообще не будет (вектор ы лежит на оси в), при йо — — О (двукратно вырожденный уровень) угол ц = я/2, вектор М описывает окружность в плоскости (е, в), и система целиком переходит из состояния 1 в 2 и обратно. Если включить Г, то характер движения существенно изменяется, приобретая релаксационный характер: траектория конца вектора М(С) (см. Рис. 234) будет представлять собой спираль, скручнваюшуюся вдоль экспоненциальной »воронки» к предельной точке М(ао). Координаты этой точки, соответствующей стационарному состоянию, мы рассчитаем в следующей задаче. к сожачению, уравнение движения для вектора м(с) в случае Г2 Оа Гт, представляющем физический интерес, аналитически не решаются точно.
Мы рассмотрим частный случай такого решения в задаче 24. Задачи а дололншпельные вопросы л главе 5 392 Несложно получить н общее их решение и(С) в -А — в2п(иС)+ — сов(иС)+ -С, Йо, Йо и и и у(С) =Асов(ит)+Вв!п(иС), л(С) = А — впг(иС) —  — сов(иС) + — С, 7, 7 Йо где и = х/йот + 12, а константм А, В, С определяются с помощью начального условия М(0) = г(0) + М(ао) = (и(0), е(О), в(0)), которое дает В = -(и(0) — У) — -(в(0) — СР), С = -(и(0) — (Г) + — (в(0) — СУ). и 7 7 Й Й и и и Полученное решение определяет ту скручиваюпплося спираль, изображенную нв рис, 234, по которой двигается конец вектора М(С).
Чтобы сделать полученное решение более наглядным, пОлОжим 7 ч Йо, и Йо Иг Щ во, Сг Ш О, У Щ О, а начальные условия выберем, как в задаче 22, и(0) = е(0) в О, в(0) ов О. Тогда и = е — (1 — сов (иС))(в(0) — СУ) + СГ, г2 Йо7 и2 А = е(0) — У, о = е ( - — ап(иС)) (в(0) — Иг) + У, и Рис. 233. Релаксация разности засе- ленностей в(С) е задаче с иачальимн условием 2 в = е ~(1 — — (1 — сов(иС)))(в(0) — СУ)+ ур. и2 На рнс. 235 изображен график величины в(С) = Рп — Рп, харекшризуюшей разность щселенностей уровней (графики для и(С) и е(С) аналогичны) с характерными всплесками, прн резком изменении в момент С и 0 приготовленного при С ( 0 стационарного состояния М(0) на предельное М(со), Возможность приготовить состояние М(0) будет обсужлена в задаче 26. С> Задача 25. Рассмотреть релаксациоинмй процесс, происходящий в системе, в которой состояния.! и 2 аырождены по энергии (случай Йо = 0), Г2+Г2 12 12 и /Г,— Гз и е(С) = ехр ~ — — С)2 ~~ — С вЂ” -В) в!П(иС) + ( —  — -С~ сов(иг)~ + СГ, 2 27 7 27 7 Г2+Г2 ! в(С) вехр( — — 13(Всов(ис)+Св!П(иг))+Иг, 2 Решение.
В случае Йо = 0 система уравнений для компонент М(С) распадается на независимое уравнение лля и(С) и систему уравнений для «(С) и в(С): Е = -'12л — Гзе, и= -Гзи, в = 7е - Г2(в — во). Исключая е с помощью последнего уравнения, получаем для в(С) стандартное уравнение теории колебаний в+ (Г2 + Гз)в+ (72+ Г2Г2)в Г2Гзво О. Общее решение исходной системы уравнений имеет вид и(С) = Аехр(-Г21), 393 64. Релаясацоонный член в урааненои Блаха /Г2- Гг' Г27 и= тг — — Уме(со)=— 2 О 2 г' Г2Гг+ 7~ М(т Г,Г 'гр = м(ос) = — 2 ° мо, ГЗГ2+7 Накашивав начальное условие М(0) = (и(0), е(0), и(0)), получаем А = м(0), В = м(0) — гр, '=-г(' -'- — (.(')-"1 72 и( 27 На рнс.
236 представлено решение, когда компоненты е и и вектора М(г) осциллируют (компонента» всегда релаксирует по экспоненте). В зависимости от величии Гг и Гг возможна и целиком апериодическая релаксация, когда 7 ( )(Г2 — Гг)/2! Рис. 236. Релаксациамний процесс е системе с емрождеммым уровнем змергмв Задача 26. Записать уравнение двмженми для матрицы плотности двухуровневой смсте- мы, рассмотренной а задаче 22, с учетом накачки со стороны внешнего периодического поля и исследовать характер релвксациоииых процессов а системе, В», = Ве оса (ПГ - йп) = Ве сгж (ПГ), Его взаимодействие с дипольным моментом молекулы добавляет в гамильтониан системы член Й, = -гиЕ, недиагональный матричный элемент которого мы обозначим как Ве 7 — Вгг = -Ров д Как правило, интенсивность внешнего воздействия настолько велика, что Я Ъ |7), и в присутствии внешнего поля члены, пропорциональные 7, оказываются поправочными.
Уравнения, полученные в залаче 22, в связи с появлением Й2 получают добавку (мм выпишем только два основных уравнения) Рц =2~ +7сгм(ПГ)/(Ргг Ра) Г2(Рн Рц) <е> Ра = 2-(Ра Рп) + 27(Ра — Рц) сги (Пг) (гйз+ ГдР22 2 Решеное, При рассмотрении системы двухуровневых молекул, взаимодействующих с внешним периодическим полем (в частности, с лвмрным излучением) возникает ряд дополнительных проблем: падающее излучение (длина волны порядка 20222ь) возбуждает молекулы не одновременно, эффектм запазцываиия достаточно ошуппеы; излучение щвимодействует с молекулами, двигающимися с определенными скоростямн, по котормм нужно произвести усреднение (с помощью, например, максвелловского распределения) н определить допплеровское расширение линий, и т.д.
Зти эффекты на эксперименте прослеживаются достаточно четко, техника нх учета разработана, но для нас они все же будут являться побочнмми (тем более, что асс зто требует развития соответствующих приближенных методов), и мы, как и в предыдущих задачах, будет рассматривать как бы одну непцавнжную мовекулу системы.
Представим падающее на двухуровневую молекулу электромагнитное излучение как 394 Зодочо и дополношелькые вопросы к гдове 5 Они, конечно, точно не решаются. Чтобы как-то упроспаь их, постараемся избавиться от членов с сов (Й1). Для этого преобразуем элемент ра -2й2 ° ' -2й» -гта Ра = Рае Ра = Рае — 1ЙРае Тогда Ра =22(рп' — Рае ' )+22(рп — Ра+Рне' — Рае ' ) — ГАРΠ— Рй) Р22 1 (Р22 — Р2!)е +» (Р22 — 2еа)(1+ е ) (1(Й«Й) + Г2)Р22' 2 2 Если в этом уравнении пренебречь «бмстрыми осцилляцнями» (т.
е. опустить члены е+2"'), иными словами, перейти к более грубой шкале времени, усреднив по периоду внешнего поля, то получим (ценой полной потери изначальной 7) Р~~ = «(Рп Ра) Г(Ра Ра ) 2 .7 Р!2 = 2 (Р22 Р!2) (!Й+ Г2)Р|2 2 где Й = Й« — Й. Эти уравнения с точностью до обозначений Й и 7 полностью совпадают с уравнениями, которые мы записывали в форме уравнения Блоха н рассматривали в частных случаях в задачах 22-25. Повторять зти исследования нет необходимости. Отметим, что включение внешнего поля изменяет предельные значения для компонент вектора М, дхя получения котормх в формулах, полученных в захаче 23, надо сделать замену Й -» Й, 7 — 7, так что с помощью накачки можно «приготовить» состояние М(оо), которое будет исходным М(0) лля свободной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
