Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 82
Текст из файла (страница 82)
22$. Зависимость ог пороговых значений ее нлн е' среднего числа происходящих за секунду парных соударений частиц е 1 си разреженного газа 3одочи и дололнолыльньге вопросы н главе 5 Инзчгрмрул это вырюкение по е' по области в' < е' < со, получим вапгчину, подлакащую определению согласно п. 6), '-> 16 г> >и--г>е ( — +1) 1)юфикн относительных величин гь>н/г> н гг,>,. гн приведены на рнс. 225 с, величин — на рнс. 2256. Задача 10. Оценить зависимость от температуры эффективного сечения парных со- ударений о для классического разреженного газа твердых сфер (диаиетр молекул Н) со слабым притяжением (глубина потенциальной ямы Пв). »и»~~с »иа„= »исгà — + По = 2 2 получаем Усредняя по всем значениям относительной скорости ( — з) = (» ) / акн'ехР( — » ) —,бию», а — 1- зг 2Сге г о = яо', = яе' (1+ — ) . в~' Второе слагаемое в этой формуле называют поправкой Сазерленда (Бпбгег!апд, 1893).
Задача 11. Считая вероятности событий, происходящих в последовательные интервалы времени, в среднеи независимыми друг от друга, определить вероятнодть ю(1) частице газа пролететь без столкновения время 1 (в том же «среднемэ понимании) и вероятность гл (1) г11 частице, пролетев без столкновений время 1, исПытать столкновение в интервале (1, Й+ г(1).
1 Рис, 226. Траектория, при которой твердые сферы линь касаются друг друга получаем для эффективного сечения соударений Решение. Одну из частиц, как и в задаче 7, будем считать неподвижной (рис. 226). Если прицельное расстояние меныне диаметре молекул, о < д, тр столкновение сфер произойдет, даже если. не будет их притяжении. При о ) Ве (Вь — радиус взаимодействия) частицы,пррлетают мимо друг друга. при гг < о < Ве соударение сфер возможно, так как траектория налетающей частицы (на рис.
226 она изображена точкой А) искривляется в сторону точки О. При а = о происходит только касание сфер в точке С, Написцв двя положений А и С законы сохранения момента количества движения и энергии двух частиц, 3 2. Элеиенвпркые киневическпе предсвпелекпя и оценки 375 Радение. Поставленная ицшча нуждается в пояснении. Считается, что все события, обсуждаемые в задаче (свободные пролеты в течение последовательных интервалов времени, столкновение на заданном интсраале «ЬГ и т.д.) происходят независимо друг от друга. Подобные представления прн их возникновении в гл. 2 и 3 требовали достаточно длительного обсуждения (ввсдение достаточно грубой шкалы времени, представление о марковости случайного стационарного процесса н т.д.).
Они же используются и в элементарной теории а-распада (спонтанный распад не зависит от предыстории системы). Понятно, что мотивировка этих прслположений на уровне теории случайных процесоов в данном случае, когда рассматриваются динамические пронесем рассеяния, оказывается весьма приблизительной. Поэтому без их микроскопического обоснования предлагаемая задача носит явно полуфеноменологический характер (хотя те же идеи иногда используются для «вывода» интеграла столкновений в форме релаксационного члене). Рассмотрим сначала вероятность м(1) частице пролетсть без столкновения интервал К По смыслу принятмх предполо:кений м(1+ Ы) = м(1) ° м(Ы). Такое уравнение мы уже решали.
Имеем м(1) = м(0)с ~ = е (мы учли, что вероятность ы(0) пролететь без столкновений нулевой интервал времени равна единице), где и — некоторый параметр. Так как полная вероятность того, что время й частица пролетит свободно илн испытает столкновение, равна «липине, то вероятность частице испытать столкновение на интервале й выразится как 1 — м(й) =г»й. Отсюяа для вероятности м„(1) й имеем и (1) й = м(1)и й = ие "' й. Ло смыслу этой вероятности величина 1 Фм„(Ф) й ~ — = г » представляет собой среднее время свободного пробега Поэтому имеем окончательно м(Ф)»»е ы=е Я» и (1)й=с "'— т К задачам 12-14 на злементарную теорию явлений переноса Упрощенная теория явлений переноса, не использующая кинетического уравнения для функции распределения (т.е. докинстическая теория), позволяет производить оценки на основе максвелловского распределения.
Она исходит из следующих полузвристическнх положений (воздержимся от их критики, тем более что частичное «обоснование» придет само, когда мы будем решать те же задачи в рамках кинетической теории), которые мы сформулируем для простейшего случая, когда пространственная неоднородность системы фиксируется с цомошью только одной координаты х: а) в каждом слое х = согжг имеется локальное равновесное состояние, характеризуемое локальными значениями температуры В(х), плотности н(х) и т.д.; б) пробежав путь Л в любом направлении, частицы включаются в равновесное тепловое движение, но уже в новом слое х; длина «свободного пробега» Л является подгоночным параметром; 376 Задачи и дололнилгельные вопросы н главе 5 в) переходя из слоя в слой, частицы переносят свои средние характеристики в новый слой (среднюю энергию, средний импульс и т.д.).
Расчеты проводятся по следующей схеме. Так как координата х' слоя (рис, 227), из которого в слой х приходит частица Лв, х'= х — Лсозд = х — — ', то значение плотности р некоторой средней характеристики, вносимой в слой х этой частицей, др(г) е, р(г') =- р(г) - Л вЂ”. дх 1 Поэтому полный поток этой величины т' через 1 ем' площадки уровня х (нли любого другого, так как перенос предполагается стационарным) равен l гр — — 18 18 18 дев див 81е, ° е, (р(х) — Л вЂ” ) и8(т). Я ( др(г) 118 ) Рис.227.
Геометрия процесса ии/ ь, дх е р переноса в элементарной теорем Учитывая симметрию максвелловского распределения относительно и„е„, е„имеем Вр(х) / ез др(г) 1 Г др Ле ур = — — Л Г 41т — 'п8(т) = — — ° Л ° — 1 гнл(т) д»= дг ,/ е дг 3 У дх 3 8=1~= '841( 1 н . ч 8 н пользования этой формулы, оценим также и соответствующие потоки в случаях, когда расстояния между источниками, поддерживающими стационарный процесс переноса, малы по сравнению с длиной свободного пробега Л.
Задача 12. В рамках элементарной теории явлений переноса оценить коэффициент диффузии Р примеси, полагая дпя упрощения, что массы всех частиц равны, из1 —— гнэ = нз м сечение рассеяния частиц друг ма друге также одинаковы, 8г, = аэ — — 8г, а также оценить скорость роста линейного размера облака примеси е системе. Решение. Рассматривая перенос числа частиц, полонны р(э) = м(х). соотве1ствуюшая плотносп потока Вм Л6 дм дх 3 Вх где коэффициент диффузии 1 Р = -Лб. 3 Величину Л можно позаимствовать мз зваачп 7. Рост капли примеси в диффузионном прмблмэгенин (1 г т = Л/6) можно оценить по формуле (см.
5 3 гл.2) гз ю бРГ. Имеем, полагая Л 1/(т8'2знг), Рмс. 226. Зввмсммость скорости роста размера капли примеси от времени. Пунктиром обозначен результат, соответствующей дмффузмоммому приближению ч 1/4 Р тгбРР1 П= 2 ) 1 Цз. нгпм а 377 8 2. Элеменгларные конепшческие предапаеленил и оценки Для малых Ф, таких, что т < Л/6, эта оценка непригодна (днффузионный процесс еше не оформился). В этом случае правомочны только кинетические представления; /8В г е«« етм График зависимости скорости роста размера капли примеси от времени приведен на рнс.
228, Ю Задача 13. Оценить в предположениях задачи 12 коэффициент теплопроводности, считая, что плотность числа частиц газа постоянна, а также величину потока энергии, переносимой частицами газа иэ одного термостате в другой (температуры В~ и Вз и расстоянмя между ними ( заданы). Решение. Чтобы оценить поток энергии, переносимый частицами газа вдоль осн л, вдоль которой нмеегса градиент температуры, подожнм в обшей схеме р(х) = ме(е), где е(з)— удельная внугренняя энергия е(х) = е(п, В(з)).
Тогда др де де — =и — =и — ° — =по,—, дл дя ВВ де Вх где с, — удельная теплоемкость газа, и дд плс,б 99 де 3 дз где коэффициент теплопроводностн пЛс,б н = —. 3 Если расстояние между термостатамн, поддерживающими постоянный градиент температуры, Г .и Л, то поток определяется написанной выше формулой: Вг — В, пЛс,е „' =-и — =- — «39; 2« ( 3Г прн 1 ~ Л в самом газе «равновесных слоев«уже нет. Частицы от пластин 9~ и Вт переносят навстречу друг другу энергию за секунду: /2 ц, нт/2 згз Г3, = у е„м — ы(т, В,) Вг = — В,, Д, = — В ,/ " 2 ' «/яш ' ~/мт «,>а откуда 3«=ГЗ,-С3,=- — (9, -9, ) ~- — ~9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
