Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 78
Текст из файла (страница 78)
В заключение покажем, что уравнение Паули содержит в себе в качестве частного случая кинетическое уравнение Больцмана (и ега квантовые обобщения). Пусть наша система — почти классический и почти идеальный газ. В бН отнесем взаимодействие частиц друг с другом бН = Н! = ~~!, Ф((г! — г,~). ! Косу ьн Символ и в уравнении Паули — зто Н-частичное состояние системы без взаимодействия, т.
е. состояние идеального газа, которое можно зафиксировать с помощью набора (р»..., Рн), а само состояние 1б„— с помощью соответствующего произведения плоских волн. Введем одночастичную функцию (средние числа заполнения), нормированную на полное число частиц Н: Я'(Рд ва п(Р!) = Н «и«(Р» ° > Рн) "Рз ° "Рн. 358 1Ъава 5. Кинетические уравнения е статистичесной механике Для случая квантовых газов рассмотрение будет несколько усложнено за счет проведения операции снмметрнзации (в бозе-.случае) илн антисимметризации (в ферми- случае) функций состояний, с помощью которых рассчитываются матричные элементы (п~бН~п'). Если использовать представление вторичного квантования, где эта операция произведена заблаговременно; то соответствуюшнй интеграл столкновений получился бы автоматически при расчете средних от произведения операторов рождения и уничтожения.
Однако только ради этого вряд ли целесообразно вводить это представление, поэтому мы ограничимся только замечаниями качественного характера. Для системы электронов принцип. Паули накладывает достаточно жесткие не- динамические ограничения на начааьные и конечные значения импульсов. Расчет квадрата матричного элемента ((р~рз~Ф~з!р',р',)~ для процесса (ро рз) - (ро р',) дает множитель п(р~)п(рз) для начальных состояний (они заняты этими взаимодействующими частицами) и (1 — п(р',))(1- п(р',)) для конечных (переход на незанятые места) и наоборот при обратных переходах (рп рз) - (рп рз). Поэтому интеграл столкновений в уравнении Больцмана для ферми-газа приобретает несколько более сложную структуру: дГ(р, 1) Г, ' — = ~ ' гг рсва НП (Г Г, (1 — Г)(1 — Г~) — ГГ~ (1 — Г )(1 — ГД), которая в квазиклассическом предельном случае, когда п(р) < 1, переходит в обыч- ное уравнение Больцмана.
$9. Обсуждение Пятая глава получилась самой большой и самой сложной по излагаемому материалу„и, конечно, она не осветила всех аспектов (не говоря уже о конкретных приложениях) кинетической теории. Так как затронутые в главе вопросы были достаточно разнообразны, то обсуждение изложенного материала проводилось в каждом параграфе, и подводить итоги итогов вряд ли здесь стоит.
Сделаем традиционный обзор материала, вынесенного в раздел задач и дополнительных вопросов к гл. 5, В первом параграфе отметим обсуждение проблем, связанных с теоремой возврата Пуанкаре и общими вопросами эволюции системы, включая вопросы релаксации к равновесному состоянию. Два следующих параграфа посвящены оценкам характерных длин и времен свободного пробега, чисел столкновений, а также коэффициентов переноса с помощью достаточно элементарной теории. Эти оценки используются и в основном тексте, н в других задачах и определяют те масштабные величины,:достижение которых знаменует переход от механического типа эволюции системы к кинетическому и затем к гидродинамическому ее этапам. Основой объем 9 4 занимает исследование двухуровневой системы как простейшего примера использования аппарата матрицы плотности.
Сама система ядерных моментов представляет несомненный интерес и с точки зрения лазерной техники, и с точки зрения понимания существующих в этой системе различных механизмов релаксации, позволяющих создать в системе квазиравновесное двухтемпературное состояние. Конец этого параграфа посвящен подробному рассмотрению динамики реализации явления . спнновое эхо» и сопоставлению этого эффекта с так называемым парадоксом Лошмидта.
Наиболее вщным материалом й 5 является формулировка метода построения на основе цепочки Боголюбова замкнули систем уравнеиий, гарантирующих получение решений для функции распределения с точностью до второго порядка по Яе/и 99. Обсуждение 359 для систем типа газа и первого порядка по е/г$ ййй систем с кулоновским взаимодействием частиц. Решениям линеаризоаанного уравнения Власова посвящен 56: продольные н поперечные малые колебания, плазменный звук в двухкомцонентной системе н т.д. Несколько задач посвящены критическому обсуждению возможности использования приближения самосогласованного поля в системе гравитируюших частиц.
В 9 7 приведен вывод кинетического уравнения Ландау, но основной обьем параграфа уделен линеаризованному уравнению Больцмана и проблеме вариационной оценки максимального времени релаксации к локальному максвелловскому распределению, а также вопросу о связи характера релаксации со структурой спектра собственных значений линеаризованного интеграла столкновений. В 98 с помощью кинетического уравнения Больцмана введены уравнения гилродинамнки н. в частности, в качестве первого приближения уравнения НавьеСтокса, Получены кинетические коэффициенты (теплопроводности и внутреннего трения), а также проведен расчет затухания акустических колебаний в нейтральной системе, возникашшего в результате диссипативных потерь при прохождении в ней волны плотности. В 99 включены несколько задач, посвященных системам тица легкой компоненты, а также необходимые для обшей постановки электронной теории оценки «идеальности» вырожденного электронного газа в реальных металлах вблизи поверхности Ферми и способности электронного газа экранировать ионные заряды.
Последний 9 10 посвящен обсуждению проблем использования уравнений кинетического баланса (модельная система с равными вероятностями перехола, двухуровневая система и т. п.). Таким образом, материал гл. 5 и дополнений к ней охватывает достаточно широкий круг вопросов в основном классической кинетической теории. В заключение хотелось бы остановиться на взаимоотношении кинетической теории с другим большим разделом статистической физики — с равновесной статистической механикой. В своем изложении мы апеллировали к результатам равновесной теории Гиббса„используя их в качестве граничного условия при г -+ оо и отсчитымя от равновесных распределений слабонеравновесные состояния и т.д.
При этом, отводя гиббсовской статистике роль краеугольного камня, мы как бы забывали, что она сама нуждается в обосновании, причем именно со стороны микроскопической теории неравновесных состояний. В связи с этим хочется еще раз обратить внимание на общий результат, полученный в 9 8: нз кинетического уравнения Паули, полученного для изолированной системы исключительно на уровне нерелятивистской квантовой механики при переходе к шкале кинетического времени, в которой энергетический аргумент у функции распределения приобретает реальный смысл, следовало, что при достижении системой равновесного состояния распределение по микроскопическим реализациям этого состояния внутри энергетического сдоя Ь(К- Е«) становится равновероятным. В рамках только равновесной статистической теории утверждение такой структуры смешанного состояния равномоной нзояпрованной системы являлось исходной аксиомой.
Пгббс назвал зто распределение микроканоническим. Исходя нз этого распределения и общих формул традиционной квазистатической термодинамики можно построить и другие варианты статистической равновесной теории, основанные на использовании канонического и большого каноничесшго распределений Пгббса двя систем, имеющих заданную температуру, и т.д.
(этот материал входит в первую часть курса «Термодинамика и статистическая физика; равновесная теория«). Таким образом, общий круг идей статистической механики в целом замыкается именно на выводах из кинетической теории; построенной в свою очередь на идее использования динамического подхода: от механики к кинетической теории и далее к равновесной статистике, Задачи и дополнительные вопросы 51. Общие вопросы описания движения системы в фазовом пространстве Задача 1. Пусть уравнения механики для системы К частиц решены и известны все траектории г; = г;(б,хв), р; = р;(Ф,хе), з = 1,...,)т. Определить плотность вероятности ш(о,р,г), удовлетворяющую уравнению Лиувилля с начальным условием, фиксирующим в момент б = О расположение и иипульсы всех частиц, г <в) <о) (е) 1о) т хс — — (г,,...
„г,, р,,...,р, ). Решение. Так как траектория х = х(щ хе) движения точки, изображающей микроскопическое состояние системы в фазовом пространстве, с начальным условием х = хе прн С = О (см. с, 28В, рис. 1В9) задана, то соответствующая этому движению функция распределения с учетом условия нормировки вырвжается как ш(х, З) = б(х — х(С хе)) или в более подробной записи ш(гн..., гл. Рн " Рл З) = П б(гг — гг(Д хе)) ' б(Рг — Р (С хе)) г ! В обычном 3-мерном пространстве и пространстве импульсов эта функция прочерчивает траектории всех 1у частиц системы и соответствует механическому описанию ее эволюции. ш Задача 2. Получить общее решение уравнения Лиувилля для одноиернощ движения частицы в случаях: а) свободного ее движения; б) движения в поле упругой силы Е = — йх. Нарисовать траектории фазовых точек, изображающих состояния этих систем.
Решение. В первом случае ег = рз/(2т) и уравнение Лнувилля имеет вцд дш р дш — + — — = О. дг пз дх Соответствующие ему уравнения лля характеристик ды, да р р=- — =О, х= — =— дх др т решаются сразу р С, Р=Сн х= — г+Сз —— — е+Сз, т гп откуда С~ -— р, Сз -— х — —, рз пт и общее решение имеет внд произвольной функции от величин С~ и Сз.' рг~ ш(х,р,з) = м (р,х — — ) . гну 3б! б 1. Общие вопросы механического давления сисгпемы Во втором случае (гармонический осциллятор) з й з Н= — +— 2гп 2 и уравнение Лиувилля несколько усложнится: дв дв р дв — — йх — + — — = О.
дг др т дх Решить характеристические уравнения р=-вх, в=в Р гп особого труда не составляет: йх Р=Сг ип(ыФ)+Сзсоа(ы!), — =-Сгсоз(ы!)+Сз з1п(ы!), ы где ы = т/й7т, откуда йх йх С~ =р зш(ы!) — — соз(ы!), Сз —— — з1п(ы!)+рот(ы!), и решение уравнения Лиувнлля будет иметь внд дх дх в(х,р,!) = в (р згп(ы!) — — соз(ы!), — з!п(ы!)+рсоа(ы!)) . Траектория точки, изображающей в фазовом пространстве свободное движение, представляет собой прямую, параллельную оси х (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
