Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 74
Текст из файла (страница 74)
связан в низкотемпературной области не с непосредственным рассеянием электронов на ионах решетки, а с рассеянием на нарушениях ее периодической структуры (посторонние примеси, дефекты решетки — дислокации и, наконец, тепловые колебания самой решетки). Мы остановимся на этих интересных вопросах, считая газ вырожденным (температура вырождения электронного газа по сравнению с комнатной очень высока, а2 да ° ег = „—,',(Зя'У/У)ьп ° 10'-10 К), оставляя классический вариант в разделе дополнительных вопросов и задач.
Естественно, что изложенный выше аппарат при переходе к квантовому случаю требует определенной модификации, которую мы выполним, по возможности не перегружал изложение квантовомеханическнми расчетами (в связи с этим ограничиваясь иногда только качественными пояснениями). Прежде всего надо начать с оправдания той лоренцевской кинетической модели, которую мы изложили в п. а) и 6). 1. Электронный газ в металлах — это система с достаточно сильным взаимодействием частиц друг с другом. При харагтерных для металлов его плотностях (когорым соответствует ер 10' К) средняя энергия кулоновского взаимодействия электронов оказывается порядка его средней кинетической энергии ег ет 3 йг / дг туг з — — — ~Зт а з/у/Я 5 2гп 1 У/ Однако для электронов с импульсами, близкими к границе Ферми, вследствие действия принципа Паули затухание оказывается исчезающе малым, и вырожденный электронный газ оказывается практически идеальным во всей области температурного размытия Ферми.
Несложная оценка этого своеобразного квантового эффекта приведена в. задаче 56. Далее, кулоновское взаимодействие электрона с ионами короткодействуюшим, конечно, считаться не может, но при реальных его плотностях радиус томас- фермиевской экранировки оказывается (см. оценку в задаче 57) порядка ангстремов, т.е. размеров самих ионов, и мы можем сохранить разработанную ранее схему (слабоидеальный газ с короткодействнем), модифицировав в ией распределение электронов по скоростям: как зто рекомендовалось в э 3, вместо максвелловского распределения ги(ч) будем писать распределение Ферми: 2гпз 1 Р(г, ч) = Вги(ч) = — п(е), п(е) = (2тд)«ео Ла+ 1 339 В 7. /)оренцееа гродно ннглвграла ололнновенаВ где е = »по'/2, а условие Р(г, т) дт = и / является уравнением, определяющим локальное значение химического потенциала р = р(В, и).
Заметим сразу, что так как фон тяжелых частиц (ионная решетка) простран- ственно однороден, а электростатические силы достаточно велики, чтобы обеспечить электрическую нейтральность каждого из участков системы (на уровне рассмотре- ния стационарных явлений колебания плотности типа плазменных уже зшухли), то плотность электронного газа совпадает с плотностью ионов, и = кч = сопзг, и зависимость функции Р от г входит только через температуру В(г) и химический потенциал р(г) = 1»(В(г), и).
2. Ввиду того что принцип Паули действует как принцип запрета только по от- ношению к ферми-частицам одного сорта, то, полагая электронный газ вблизи границы Ферми по отношению к самому себе идеальным газом и учитывая взаимо- действие электронов только с другими частицами (тяжелыми ионами), мы сохраняем «классическую» структуру кинетического уравнения, рассмотренного'в п. а) и б).
Заметим, однако, что при подсчете эффективного сечения Е (точнее, стоящей под интегралом величины сг) принцип Паули сыграет свою роль, так как в определение каантовомеханической вероятности рассеяния дважды входят состояния электрона: состояния «до» и «после» столкновения.
Получим теперь решение стационарного кинетического уравнения для фи- зически интересного случая, когда система помещена в электростатическое поле Е = (О, О, Е). Левая часть стационарного уравнения, рассмотренного в п. б)„изме« нится за счет восстановления члена (-д«7/дг) . (ВГ/др). Полагая заряд электрона о, = -е, имеем, учитывая структуру функции Р, ВР ВЕ ВР /ВГ ВГ~ о,— — о,— — еЕ =исозВ~ — — еŠ— /г = дл Вл В(гло») 1, Ва Ве ) / др е — р дВ '1 дР = осозВ~- — — — — — еЕ) —, дя В дл )де' и мы сразу приходим, по существу, к воспроизведению решения, полученного в задаче 19 /Вд е-р ВВ '1 ВЕ Г = У + Л ~ — + — ° — + еЕ) — ° соз В. ~дл В дх ) де 3.
Явления переноса в электронном газе теперьрассчитываются автоматически (как в задаче 19). Учитывая, что соя В = о,/о, что при интегрировании по т под знаком интеграла можно заменить оз на е /3, переходя от переменной в к е = гпв /2, 2 г з получим 16япг Г /др е — гв ВВ '1 Вп(е) у„= о,Рот= — ) Л(е)~ — + — — +еЕ)е — Ва, — — З(2яЛ)з ) [,В. В В.
) Ве о оию' 11бяпг Г /др е — р ВВ 'Ъ, Вп(е) у =) о,— РВт= — ) Л(е)~ — + — — + еЕ)е — Не. ! 2 3(2яд)' / 'т Вл В Ол ) де о 340 133ава 5. УУинетичвские ураененик е оватистическод механико При д/уо к 1 фермиевские интегралы подсчитаны. Заимствуя нх из равновесной теории (см. т. 2, гл. 2, $2-в)), напишем 00 е — — ие = 1о = уу о 00 г е — — Ие = 21у = уу 1+ - 3г — +... о 00 е' — — де = 313 = уу' 1+ а"' — +... о где уо =он 1 — — — +... Рассчитывая проводимость электронного газа о (или удельное сопротивление р = 1/и) при условии дд/дл = О, имеем сразу, опуская температурную поправку, 1 163гглезЛск 1 = -еу„= Еи, и = — = р 3(2яь)3 где Л = Л(ек) — значение эффективной длины свободного пробега на границе Ферми, Температурная поправка к этому результату подсчитана в задаче 58.
В случае же дд/дх;о О (а следовательно, и дуу/дл оо О) имеем, подставляя фермиевские интегралы в выражения для потоков, сразу же вынося Л(е) за знак интеграла в точке с = ек, 16япоЛ /др 1 3 д дд1 3'„й — — уз~ — + еЕ+ — я — — ), 3(23ГУ1)3 ~, дл 3 уу дк ) ' 163гпоЛ 3 у др 2 3 д дд'1 10 и — — . уоз ~ — + еЕ + — уг' — — ), 3(2яЬ)3 ~ дк 3 уо дл) Определяя коэффициент теплопроводности электронного газа прн условии отсутствия электрического тока, 3„= О, т.е. при значении дуг угз д дд — +еЕ=-— дл 3 уу дл' получаем дд угз 163гпоЛ .70 = ек д дк ' 3 3(23ГЪ) 3 откуда, сравнивая этот результат с формулой дня а, получаем известный закон Вндемана — Франца: е'и яз — = — = 3,29....
ид 3 Этот закон достаточно хорошо оправдывается на эксперименте (см. обсуждение в задаче 19) в случае, когда рассеяние электронов действительно происходит на тяжелых центрах: на атомах примеси, на дислокациях (в широком диапазоне температур) и на ионах кристаллической решетки при температурах выше дебаевской, 3 7. Поренцева форма анл(егрола са(олнновеннй 341 д > рд, когда в тепловое движение решетки вовлечены все ионы, и рассеяние электронов происходит практически на каждом из них независимо.
В области же низких температур (по сравнению с рп) ситуация меняется: электроны рассеиваются не на отдельных ионах, а на длинноволновых колебаниях криставлической решетки. Расчет этого явления в рамках совместного кинетического подхода к электронному газу и колебаниям решетки был выполнен Блохом в 1930 г., и за прошедшие голы этот весьма сложный расчет практически не был ни улучшен, ни модернизирован (если не считать учета других механизмов взаимодействия электронов с решеткой).
Мы рассмотрим это интересное явление на качественном уровне без привлечения строгих методов и сложных математических выкладок. 4. Ограничиваясь самым простым случаем, рассмотрим одноатомную кри- сталлическую решетку (один атом в каждом узле) и распространяющуюся в ней продольную волну отклонений узлов от их положений равновесия сь(г г) = Ае ' '+', где импульс фонона я = Иг, энергия Ьге = ей, скорость распространения с= ~/м7(пМ), н — константа упругости (сжатие-растяжение), и — плотность узлов, М вЂ” масса атома, находящегося в узле. Чтобы выделить в амплитудном множителе необходимую нам в дальнейшем зависимость его от величины а, подсчитаем энергию такой волны: г В Еа = — — аг+ — и — йг, (г) (у) Первое слагаемое в правой части представляет сумму кинетических энергий всех частиц, УчаствУюших в данной волне сь, втоРое — сУммУ потенциальных знеРгий деформированных упругих связей атомов (2ьсь = $,(э+ а) - сь(е) = а(ВЫЛ)) Подставляя сю подсчитывая несложный интеграл и приравнивая его энергии фонона йы получим сопя( Мпы~УА =йге.
Поэтому, выделяя интересуюший нас множитель, для волны отклонений можно написать сь = уз — (Ьь+е "е + к.с.). у УпМсй Так как волна отклонений связана с волной расстояний между узлами Ь~гь операцией градиента, то для продольной волны плотности узлов решетки имеем яе =т ( — (Ььее "'~' + к.с.). у УпМс Пусп время релаксации электронного газа по отношению к смешениям узлов решетки т, мало по сравнению с периодом ее колебаний Л 2я т, <У= — = —, с сй т.е. при возникновении движения ионов решетки практически не возникает связанных с этими смещениями объемных зарядов. Тогда а этом «адиабатическом» приближении, справедливом во всяком случае для длинноволновых фононов (а это в основном и требуется), волна плотности узлов решетки будет сопровожлаться волной плотности электронного газа.
Так как саму плотность числа электронов можНо З44 Глава 5. Кинетические уравнение в статистической меконике всех деталей и различных механизмов электрон-фононного взаимодействия, для которых Ф(о) может быть и иным. Для нас в дальнейшем будет важно поведение величины Фз(д) при малых о (в нашей модели Фз(д) ° о). Нельзя не отметить, наконец, что приведенная модель взаимодействия позволила Боголюбову в 1958 г. построить микроскопическую теорию сверхпроводимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
