Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Таких величин по отношению к импульсу известно только пять: величина, не зависяшлл ог импульса, три компоненты импульса р (как следствие закона сохранения р+ р, = р'+ р',) и квадрат импульса рз (закон сохранения энергии р'+ р', = р' + р',). Составляя линейную комбинацию этих частных решений с произвольными коэффициентами а(г), !3(г) и у(г), получаем, что 1п дг = а +,9р+ ур является решением интересующего нас уравнения.
Вместо достаточно безликих величин а, /3, т введем другие пять п(г), ро(г) и д(г), так чтобы полученное решение приобрело бы вид локального распределения Максвелла: «+лв«т, (2кй)э )!' (р — ро((г))э ~- (2о тр(г))э!э ( 2тд(г) где вновь введенные величины и, ро и д не только несложным образс!м,выражаются через а, /3 и у, но и имеют совершенно четкий физический смысл: 324 Глава 5. Кинетиче(лие уравнения е статистической механике Таким образом, мы показали, что локальное' распределение Максвелла обращает в нуль интеграл столкновений Бальцмана и определяет предельное значение Згт Если мы рассмотрим пространственно однородную систему У(г) = О, й(г) = й, п(г) = ! /и„ре — — О (или систему, состоящую из ряда пространственно однородных покоящихся друг относительно друга макроскопических подсистем), то функция У' — это просто максвелловское распределение и величина (г) и(2нгпй) )аз (2 Д)) + 2 ) 5о' где Яе — энтропия идеального классического газа, рассчитанная с помощью метода П(ббса (см.
т. 2, гл. 1, э б-ж)). В случае «кусочно» пространственно однородной системы здесь автоматически появится сумма термодинамических энтропий для каждой из пространственно однородных подсистем, которую можно записать как интеграл от плотности энтропии е(г) = п(г)в(г), где в(г) — энтропия в расчете на частицу системы в локальной области вблизи точки г, по пространству координат, где определяемая с помощью локального распределения Максвелла плотность эн- тропии (или удельная локальная энтропия в(г)) равна п(г)е(г) = йр Зг (г, р) )п Вг (г, р). По поводу полученных результатов сделаем несколько замечаний.
Во-первых, полученное значение Яе — это всего лищь энтропия идеального газа. Ничего лучшего от уравнения Больцмана нельзя было и ожидать, так как для определения термодинамических характеристик неидеальной системы необходимо располагать парной корреляционной функцией Уы а в уравнении Больцмана она в термодинамическом смысле утеряна: мы взяли от двухчастичной функции Рз информацию о столкновении частиц друг с другом, которой оказалось достаточно для определения кинетики системы на уровне уравнения Больцмана, но не хватило для определения поправок на неидеальность системы в предельном случае, когда эволюция системы уже завершилась. Поэтому иногда уравнение Больцмана н называют кинетическим уравнением идеального газа.
Во-вторых, привязка предельной функции )ге к термодинамической энтропии системы обычно служит основанием для объявления функции Рг'(г) минус энтропией неравновесной системы (так сказать, «аналитическое» продолжение из области Г = +со в область конечных значений Г). В том случае, когда эволюция системы уже привела к образованию локального максвелловского распределения (т.е. уже сформировались такие локальные характеристики гидродинамического типа, как п(г, Г), ре(г, Г) и й(г, Г), то особых возражений это обобщение понятия энтропии не вызывает. Если же, например, температура д(г) еше не сформировалась (а значит, и никакие другие термодинамические характеристики, включая энтропию, в этой области еще не возникли), то такое обобщение понятия энтропии приобретает достаточно условный характер.
325 5 б. Квяеяшчесхое ураянеиое Болы1иана В-третьих, мы выяснили, что по мере приближения неравновесной функции распределения Р~ к локальному максвелловскому распределению роль интеграяа столкновений ослабевает (при Р, = Р„„интеграл столкновений вообще обращается в нуль). Образование Р„„знаменует собой некоторый этап в эволюции системы, который связан не только с уменьшением роли интеграла столкновений (хотя сами столкновения в системе не прекрашаются), но и с образованием локальных термодинамических характеристик (не только п(1, г), ре(1, г) и в(1, г), но и локальных значений внутренней энергии, энтропии, химического потенциала и т.д.).
Если первый, механический этап эволюции, завершившийся переходом к кинетической стадии, был связан с временным масштабом йг г„, то временной масштаб второго этапа г' из самых обших соображений должен быть порядка времени свободного пробега, так как для образования локального термодинамического состояния необходимо время, за которое частицы успевают достаточное число раз повзаимодействовать друг с другом. Мы остановимся на оценке г' в следуюшем пункте. г) Линеаризованное уравнение Больцмана Полашя, что за время Ж порядка времени свободного пробега крупномасштабная неоднородность (см. п.
а)) фактически остается неизменной, рассмотрим сразу пространственно олнородный случай, для которого интеграл столкновений Больцмана собственно и был получен (аргумент г, можно, как и раньше, сохранить в качестве общего параметра). Вводя, как в Э 2, 3, одночастичную функцию, номированную на число частиц, Р(1, г, р) = пЯ, г, р), где и = Лг/У, имеем ВР у' ВР'ь — = 1 — 1 = 1 (Р'Р,' — РГ1 )и йи йро И ~ В1)„.l На исходе времени $ ° г' функция Г приближается к локальному распределению Р(г, р), поэтому, полагая Г(1, г, р) = Р(г, р)(1+ Х($, г, р)), можно считать, что на исходе второго этапа эволюции Х($, г, р) ~ 1.
Подставляя эту конструкцию для Р в кинетическое уравнение и опуская квадратичные по Х члены, получим Р— „=~вЙ~др,(Р~-РР, +РР(Х+Х,)-РР(Х+Х,)). Так как ГГ1 = Г'Р,', то линеаризованное уравнение Больцмана приобретает вид вх Г ! / —— / вяы вр~ Р~(Х~ +Х вЂ” Х~ — Х). Если положим (как это часто делается в подобных случаях) Х($,г,р) = е "'Л(г,р), то получим безвременное линейное интегральное уравнение — ий = а йи Нр1 Е'~ (й'1 + й' — й| — й), в котором величина — и играет роль собственного значении интегрального оператора, стояшего справа (тривиальное решение й = О, означаюшее Р = Р, нас не интере- сует, а нетривиальное сушествует, как правило, не при всех значениях и).
Покажем 326 1лава 5. Кинетическое уравнения в алояшсяюческой иеханиие 1»»»»= — /»(ь,«» — ь ш)Г», »»»»»,= = — / (йгг+ йг — йг — й)~РРгигйиг1РИРг ) О, откуда вследствие й ~ 0 получаем для собственных значений тг ~) О. Ввнлу сходимости интегралов ло р и рг, которая обеспечивается максвелловскими экслонентами Р и Рм ясно также, что величина и не может принимать бесконечных значений„т. е.
и ( и . Собственные функции йо, соответствующие и = О, нам фактически уже известны: это лять адаитивных инвариантов задачи двух тел. Их линейная комбинация имеет вид йо = ао+ гзор+7ор 2 Это решение можно учесть, «леренормировав» с точностью до линейных ло йо членов локальное распределение Р: Р = Р(1+йо) гд Ре = ехр)а+ао+()з+Зро)р+ (7+7о)Р т)= ехр 1а +1з Р+7 Р ) где а', )у~ и 7' лереосмысливаются, как и раньше, в теРминах л(г), Ро(г) и д(г) и тем самым исюлочить йо из дальнейшего рассмотрения.
Все же остальные решения имеют ярко выраженный релаксационный характер: Х„(1, р) = е» й(р), и > О, причем величины ы образуют ограниченный сверху спектр обратных времен релаксации, из которых максимальное, составляющее для нас основной интерес, есть 1 1 = —. тг,к,» Мы не останавливаемся здесь на доказательстве сушествованля дискретного спектра величин и. Это специальный вопрос. Математики нашли частные случаи взаимодействия, когда проблема собственных значений линеаризованного оператора столкновений решается точно, и там спектр и действительно оказывается дискретным, как это показано на рис.
201, но доказать это в общем случае или хотя бы для случая твердых сфер в полной мере не удается. Общее решение уравнения для к(1, р) представляется как суперпозиция Рис. 301. Спектр собственных значений (обратных.кронин рвпвксвкии) лнновризоввнного интеграла стопкно- ввнив Х(1, р) = ~~г С„е "' й„(р) прежде всего, что все собственные значения ы неотрицательны (т.е. величина Х релаксирует к нулю). По существу это будет лередоказательством Зс-теоремы, но ло отношению к линеаризованному уравнению (см. задачу 45). Умножим обе части уравнения на — йР и ттроинтегрируем ло р. Тогда, учитывая, что в интеграле столкновений согласно лемме Больцмана можно заменить функцию й на комбинацию -,'(й+ й, — й' — й',), льлучим 3 б.
Кинесличвгноеуравнение больцмана 527 (коэффициенты Сп определяются через начальное значение функции распределения), поэтому, каково бы ни было распределение в момент $ = О, по прошествии времени Г т' распределение по импульсам станет локальным максвелловским. Если в этой сумме мы сохраним только одно наиболее долгоживущее слагаемое (приближение одного времени релаксации), то для промежутков 1, таких, что Цс1 < 1 т', кинетическое уравнение приобретает вид феноменологического уравнения с релаксационным членом (см. 8 3) И' д цг У,, Р'-Р— Ы вЂ” (Р+ ввчге ) = — —,усе дс дг т' т' Обобщая рассмотрение на слабо пространственно неоднородную систему (см.
п. а) этого параграфа), когда неоднородность по г значительно превосходит 7с,„„р, получим дл(1, г, р) р дР дУ дРР— л' дг гл дг дг др т' Относительный успех этого уравнения связан с тем, что его используют в стационарной области, т.е. в случае 1 Ъ т', когда локальное распределение Р уже образовалось и детали этого процесса отошли на задний план. В области же Г < т' оно весьма грубо описывает предпцгродинамическую кинетику системы. Определение спектра и„(или хотя бы минимального собственного значения и1 = Цт') — зто достаточно сложная и, как правило, точно не решаемая задача математической физики (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
