Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Исходный момент — снова первое уравнение цепочки Боголюбова, ЭК,(1,г,р) р 0Г, ж ОК 0 + О бг 0 которое иа этот раз необходимо замкиуть относительно функции Р~ иа основе учета процессов столкновения частиц друг с другом. Представим наше рассмотрение в виде отдельных этапов, иа которых принимаемые допущения (а следовательно, и ограничения иа область применимости последующих результатов) будут выявлены наиболее отчетливо. 1. Так как наше рассмотрение в целом ограничено рамками аналитических методов, то учет столкновений частиц мы можем произвести на уровне парных столкиовеиий — задача двух тел в механике имеет точное решение (задача трех тел в общем случае в квадратурах уже ие решается).
Пренебрежение тройными соудареииями с физической точки зрения имеет достаточно широкую область при- меиимости — это системы типа разреженных газов. Итак, рассмотрим классическую систему частиц со взаимодействием Ф((г~ — г1) типа отталкивания (исключается возможность появления связанных состояний), имеющим конечный радиус действия Ве, величина которого намного меньше среднего расстояния между частицами, з(1Г 1те < а = зуг — или — «1. Чл 6 Принятие этой величины в качестве малого параметра по отношению ко временным масштабам будет означать, что время взаимодействия частиц (время «столкновеиияа) т„зиачительно меньше среднего времени их свободного пробега т,„„р (см.
задачу 7), Ло 1 Ле е т тсс ' — (( тса а ст — са. ар Вероятность же тройных соударений по отношению к парным оказывается величииой, пропорциональной тому же малому параметру: оцеиивая ее, исходя, например, из распределения Пуассона (или Бернулли, см. задачи к гл. 1) и полагая р Я'/р', имеем тз (Лр)' 2! 1 1 Яо' = — Фр = — — ~. тз 31 (1ч'р)з 3 3 е Таким образом, в системе с короткодействием (гсч < а) частицы основное время двигаются как свободные, а эволюция системы (в нашем случае — эволюция функции Г~) будет определяться (помимо потоковых члснов) в основном парными соудареииями частиц друг с другом, Так как средняя плотность газа при нормальных условиях 1чч/1хе 3 10'Р частиц/см' (что соответствует величине а 3 10 ' см), то время свободного пробега (см.
задачу 7) оказывается порядка 1О 'Р с, а число парных соударений в 1 ем' за 1 с достигает величины 10~э. Эта цифра, конечно, впечатляет, ио ии о чем не говорит. Переведя ее иа уровень молекуляриых масштабов (точиее, межмолекуляриых), получим, что число соударений, происходящих за время т„а, в объеме с линейными размерами порядка длины свободного пробега Л 1О ~ см, будет равно 10~, а за время т 10 ы с в этой же области произойдет 1Ос столкновений.
Таким образом, процесс парных соударений с точки зрения молекулярных единиц времени и длины представляется процессом ие единичным, а достаточно массовым. З 6. Конешичесное уравнение Больцнана 313 Наконец, апеллируя к точно решаемой задаче двух тел, мы вынуждены (на первых порах) отказаться от рассмотрения пространственно неоднородных систем, так как включение поля СГ(г) превращает задачу о столкновении двух частиц в нерешаемую задачу трех тел.
Таким образом, если мы и будем писать Р~ — — Р,(С, г, р) вместо Р, = Р~(С, р), то будем это делать скорее в силу психологической инерции, считая г некоторым параметром, характеризующим, например, плотность числа частиц в данной макроскопической области системы. 2. Мы уже знаем, что уравнение Лиувилля, а следовательно, и уравнение цепочки Боголюбова удовлетворяются функциями распределения, постоянными вдоль траекторий механического движения частиц системы. Но мы желаем построить кинетическое уравнение не лля функций, описывающих такое движение (они строятся на основе решения задачи механики и описывают чистое механическое состояние системы, см.
задачи 1 и 31), а для статистических функций распределения (т.е. функций, характеризующих смешанное состояние всей системы), в частности, для такой функции Ры которая в комбинации пР,(С, г, р) . Юга определяет статистическое число частиц в объеме гСг гСр в момент С и которая является характеристикой не отдельной частицы, а всей статистической системы в целом. Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. На временных интервалах порядка Ы т, естественно, задача о движении системы должна решаться на уровне механики. Нас эта механическая задача сама по себе мало интересует. Однако за это время характеристики сталкивающихся частиц, входящие в качестве аргументов в функцию Рм меняются сильно (в частности, импульсы частиц до и после их столкновения). Между тем, как видно из структуры уравнения для Ры межмолекулярное взаимодействие непосредственно на функцию Р~ не влияет: это влияние осуществляется через функцию Ры которая вместе с потенциалом взаимодействия Ф()г — г')) находятся в правой части уравнения под знаком интеграла, в связи с чем влияние резкого изменения функции Рм происходящего в связи со столкновением частиц, на функцию Р, будет сглаживаться, и сама функция Р, за промежуток времени С.'ьС ° т изменится мало.
Исходя из этих физических соображений Боголюбов предположил, что при переходе от механического (С < т, ) к кинетическому этапу эволюции системы (к кинетической шкале времени С, такой, что измеренные в ней временные интервалы СзС э т„), на котором функция Р1 является той величиной, которая управляет временной эволюцией системы, все функции Р,(С, хп, .., х,), х< = (гп р;), а > 2 начинаютт зависеть от времени не непосредственно, а через их зависимость от функции распределения Р~(С, х), в частности Рз = Рз(хп хз! Р1).
Это положение сразу приводит к выводу о существовании замкнутого относительно Р1 кинетического уравнения, так как в этом случае Ф(х ! Рз) = Ф(х (Рз(х,х (Р~)) = Ф(х ( Р~) (можно построить рассуждение и в обратном порядке: полагая, что по каким-то причинам кинетическое уравнение для Р~ существует и существует физически осмысленное его решение Р1 — — Р~ (С), мысленно выразить входящее в функцию Р~ (С) время С как С = С(... ! Р~) и подставить его в Ры что приведет к Рз(х, х' ! Р~)). Этот переход к описанию эволюции системы на кинетической ее стадии является важнейшим моментом динамического подхода Боголюбова к построению кинетических уравнений. Каким образом вскрывается эта функциональная зависимость Рз от Ры мы рассмотрим в п. б) этого параграфа.
Для нас же сейчас будет важно то 314 Глава 5, Конев!ические уравнения в сглаглнсягоческой механике обстоятельство, что в соответствии со сказанным выше на кинетической стадии учет парных столкновений (которые, как показали приведенные нами оценки, происходят в молекулярных масштабах 1 и г постоянно и в массовом количестве) можно производить как бы на уровне стационарного явления (наподобие тому, как рассчитаны характерные величины, связанные со столкновениями, в задачах 7-9), в котором величина Р(1, в) имеет смысл плотности числа частиц в пространстве я = (г, р). 3. Исходя из и, 1 и 2 уже можно получить конкретный вид интеграла столкновений Ф(Рг). Мы остановимся здесь на качественном выводе, откладывая микроскопическое рассмотрение до п. б).
Остановимся сначала на нескольких формальных моментах задачи двух тел. Первое, пусть р, ры — импульсы двух частиц до, а р', р', — импульсы тех же частиц после столкновения. В соответствии с решением задачи механики конечные значения Р', Р', являются функциями начальных р, ры прицельного расстояния а и угла ~р, фиксирующего плоскость, в которой происходит рассеяние, а также зависят от потенциала взаимодействия Ф(2с).
Понятия «до» и «после» в этой задаче довольно условны: можно обернуть процесс, считая р', Р', начальными значениями импульсов, тогда при тех же значениях а и ут в результате столкновения частицы приобретут импульсы р и рн рис. 196. Схема поворота вектора Второе, в силу законов сохранения имотносительной скорости нв угол рассеяния пульса и энергии (ради простоты мы полагаем, что частицы как бы абсолютно «гладкие», так что в результате столкновений они не подкручивают друг друга, поэтому в нашем рассмотрении и не участвует закон сохранения углового момента) ! 2 2 гт о Рг+Р=Р~+Р =Р Р!+Р =Рг +Р имеем (р. Р~) = (р' р',), поэтому относительные скорости Р~ — Р ! Р! Р в= —, в=— тп тп совпадают по модулю, 1в! = 1вг~ = и.
Угол «Р между векторами в и в' (рис. 198) называют углом рассеяния. Третье, используя векторы Р и тпв в качестве новых переменных, имеем ! Р гпв р = — — — =ЦР,в), 2 2 Р шв р = — — — =ЦР,в), 2 2 ! Р тпв Р, = — + — =Ц(Р,в); 2 2 Р тпв Р~ = — + — = Ц(Р,в); 2 2 где Ь и Ц вЂ” линейные формы относительно компонент Р и в с числовыми коэффициентами. Поэтому совпадают детерминанты д(Р, Р ) д(р', Р'г) Р(Р,в) = В(Р, ') 315 З б. Клнеашнеское уровненое Больцмана как состоящие из одних и тех же числовых элементов, поэтому якобиан перехода от штрихованных к нештрихованным импульсам можно записать как д(р', р',) д(р', р',) д(Р, в') д(Р, в) д(Р, в') д(в') д(р, р~) д(Р, а') д(Р, в) д(р, р,) д(Р, а) д(~) г, „к Для расчета оставшегося детерминанта (3 х 3) выберем систему координат, изобра- женную на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
