Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 68
Текст из файла (страница 68)
198, такую, что в = (и„иг, и,), а' = (ию иг, -и,), тогда В(„~) Π— О ! О = — 1, ΠΠ— 1 д(р', К) о(Р Р~) и мы можем при переходе от переменных (р!, р',) к переменным (р, р,), связанным друг с другом решением задачи двух тел, полагать ~р'М =~р 1р. . Перейдем теперь к получению интеграла столкновений. Введем для функции Г, с различными импульсными аргументами стандартные обозначения Р~ Р! Р,(з,г,р) =/, Р,(з,г,р') =/', Р~(з,г,р,) =/и Г~(з„г,р',) =/,', и рассмотрим малую область 6-мерного про- =адайр странства импульса и координаты Ик = (к,х+ йт) = (г,г+ Иг; р,р+ <1р). В момент времени $ в этом объеме дк находится в среднем и/ Нг Ир частиц (в = 1/е = 1т/г'), из которых мы выберем одну, «остановим» ее, т. е. перейдем в систему отсчета, двигающуюся со скоростью р/пт, нарисуем вокруг нее сферу с радиусом гсе = 22ге (рис.
199) и выберем ось з вдоль вектора (Р~ — р)/гп = в = (О, О,и). Тогда, обозначив элемент сечения а да ду = йи, получим, что среднее число частиц с импульсами (рп р, + Ир,), падающих за секунлу на элемент йи, будет равно А~ ю.п/! урн а среднее число столкновений всех частиц из объема Ик с частицами, имеющими импульс (рп р~ + г1р~), запишется как (Йи ип/~ Ир~) ° и/ др дг. Так как в результате каждого такого столкновения рр, - р'р', из объема Их убывает частица, то написанное выше выражение представляет скорость убывания числа частиц из Их, происходящего вследствие таких соударений, Если же до столкновения 316 1лава 5, Квнеаическое урявневил в опоюоапячесной механике частицы имели импульсы р', р'„то при заданном йи = а да фр произойдет «обратный» процесс р'р', — рр,, который увеличит число частиц в вя на единицу, поэтому скорость увеличения числа частиц в Ыя за счет таких соударений выразится как (йв яп/~ Ф') п/' КР' йг.
Учитывая, что согласно доказанной выше лемме г1р' ф = г1 р Ыр,, интегрируя по всем значениям импульса налетаюшей частицы р~ и по параметрам столкновения йи и подводя баланс вхоляших в Ых и выходяших из него частиц за секунду, получаем — дранг= у и (//, — /у)яйидр, дранг, В(п/) / / д1 откупа и следует уравнение Больцмана для пространственно однородного случая д/ /д/~ 1 à — = ~ — ) = — / (/'7~ — П)вКыг1р д1 [,д1) е / где, напомним еше раз, я = (р, — р~/гп — относительная скорость сталкивающихся частиц, Ны = а Иад1г — параметры рассеяния, причем вместо прицельного расстояния а можно вести сечение ц(и, ф) и угол 'рассеяния ф, тогда Йи = гг(и, Ф) .
з1п 1Р г(Ф Ы1е; импульсы р' и р',, являюшиеся аргументами функций /' и Д, выражаются с помощью формул механики через р, р~ и параметры а и 1е (илн углы Ф и ~р). 4. Если система пространственно неоднородна, то такого относительно несложного и физически осмысленного выражения для интеграла столкновения (д//д1) мы уже написать не можем. Однако есть специальный и важный с точки зрения приложений случай, допускающий использование полученнбй выше формы лля (д//д1)„в пространственно неоднородной задаче, — это случай, когда пространственная неоднородность системы является крупномасштабной с точки зрения молекулярной единицы двины, т. е. когда все фигурирующие в уравнении лля Р~ величины являются плавными функциями г в масштабе средней длины свободного пробега Л, что позволяет ввести грубую шкалу г, такую, что измеряемые по ней изменения координат Ья» Л, где Ья может быть также дифференциалом Юя.
Тогда область размера Л, в которой происходит столкновение каких-либо двух частиц, представляет собой пространственно однородную подсистему, лля которой величина г — это параметр, определяющий локальные значения плотности п(г), поля П(г) и т.д. (если потенциал сг зависит от 1, то допускается «квазистатическое» изменение его величины, когда за время 1 ~ т«» „р 1/(г) практически не меняется). В этом случае интеграл столкновений (д//д1)„сохраняет свою форму, но входящий в него аргумент г фигурирует как общий параметр, входяший во все функции Р,(Г, г, р) с разными р, и мы получаем со сделанными оговорками относительно области применимости уравнение Больцмана для пространственно неоднородной системы ВУ(1* г р) р ВУ б(/ д/ + — — — — — — у (1'/,' — Иди йы г1р,.
д1 гя дг дг др в,/ Полученное уравнение — сложнейшее нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно функции /(1, г, р), в интегральной части которого неизвестная функция, в частности /' и /,', сложным образом зависит от переменной интегрирования через зависимость р' и р', от р, р,, а, у и Ф(В). Это уравнение было получено Больцманом в 1872 г. Он же рассмотрел некоторые его интересные следствия (РГ-теорема и т.д.), но получить решение уравнения ему не удалось. Серьезное математическое исследование уравнения началось уже 3!7 б 6. Кинелтчесное уравненое Больцмоно в следующую за Больцманом эпоху. Великий Гильберт (Гз.
н!1оегг, 1910) был первым из математиков, кто обратил на это уравнение серьезное внимание и создал надежную базу для исследования уравнений подобного типа. В частности, ему принадлежит идея о структуре решения, представляющего максвелловское распределение, умноженное на полипом по степеням скорости, но самого решения он не получил. Используя идеи 1ильберта, это сделал Чепмен ($. С1заршап, 1916-1917) и независимо от него Энског (!7. Епйой, 1917), использовавшие локальное распределение Максвелла в качестве нулевого приближения (на конструктивной идее метода Чепмена — Энскога мы остановимся несколько позже).
Это же решение уравнения Больцмана можно гнлучить и другим, не столь громоздким методом — так называемым методом моч. « ~ов Греда (Н. Ошб, 1949). Несмотря на то, что идейная сторона этих методов особых трудностей для понимания не составляет, получаюшееся решение имеет очень громоздкую структуру (процеаура его получения — тем более), поэтому все эти вопросы имеют специальный интерес и в общей литературе по статистической механике не излагаются.
Другое направление в кинетической теории — выяснение смысла включенных в уравнение Больцмана интуитивных предположений, было заложено Боголюбовым в 1946 г. Сформулированная им общая программа рассмотрения эволюции системы как последовательности все более «укрупняющихся» релаксационных процессов, на кинетическом ее этапе позволила не только естественным образом получить в первом приближении известное уже уравнение Больцмана, но и сформулировать уравнение следующих приближений, учитывающих тройные и т.д.
корреляции частиц. Мы остановимся на этом методе в следующем пункте, по возможности приспособив его изложение к уровню учебного пособия. б) Вывод уравиеиил иэ цепочки Боголюбова Возвращаясь к формализму 5 4, выпишем полностью первое уравнение цепочки, правая часть которого пропорциональна малому параметру Лвз/е, и второе уравнение в нулевом порядке по этому параметру (т. е, опуская в нем интегральный член и превращая его в уравнение Лиувилля для системы двух частиц): дР!(1, я1) р1 дР1 Я3 дР1 1 г дФ()г! — Г20 дРз(1, яп хз) + багз дрз, д! т дг1 дг1 др1 в I дг1 др~ дРг(1 ям хз) р дР~ рз дРз д(Ф(!г — гз!) + о'(г,)) дРз + + дз дг т дг дг, др~ д(Ф(~г~ — гз!) + (7(гз)) дРз дгз Совместное рассмотрение этой системы уравнений гарантирует по отношению к Р1 только первый порядок по В~з/в.
В соответствии с программой 5 4 будем искать решение этой системы уравнений, удовлетворяющее принципу ослабления корреляций Р2(1, йп ж2)11 о1 «» «Р((1, х1) ' Р((1, хз), вч — (г| р1)~ своеобразного граничного условия нелинейного характера, накладываемою на функции распределения, отбирающего физически осмысленные решения цепочки.
Запишем это условие с помощью оператора эволюции Я. З(В Глава 5. Кинетические уравнения в статистической маханове В соответствии с уравнением Лиувилля лля замкнутой системы в частиц функция распределения Г, сохраняет свою величину вдоль траекторий механического движения системы, т.е. Г,(1, х!,..., х,) = Г, (1, х!(1, хв),..., х,(1, хв)) = = Г, (1 — т, х! ($ — г, хв),... „х,(1 — т, хв)) = = 5(,)(1,..., в)Г,(1 — г, х!..., х,), где оператор Я( г(1,..., в) слвигает вдоль механических траекторий заданные в мо- (~) мент 1 величины х!,...,х, в прошлое на величину т (этот оператор на основе задачи 28 можно даже представить как я~'~ = е ь', но его явный вил нам все равно не гюнадобнтся).
Предположим теперь, что величина т столь велика, что частицы оказываются разведенными на расстояния, превышающие радиус корреляции (у нас система частиц с отталкиванием, связанные состояния исключены). Тогда при таком г функция Г, распадется в силу принципа ослабления корреляции на произвеление одночастичных функций Г!. Это можно записать как Г,(1, х!,..., х,) П Г!(1 — т, х,(1 — т, хв)) = !=! = Я()(1,..., в) ПГ((1 — т, х;) = Я()(1,..., в) П Я()(()Г!(1, х;) (=! ю=! (мы учли, что Я ',Г!(1 — т, х!) = Г!($ — т, х!(1 — т)) = Г,(1, х,) и что Я„' Я „= 1).
(!) Введем оператор и,(1,..., в) = 1цп Б",(1,..., в) П4Л((). ! 1 Тогда принцип ослабления корреляций можно записать как Г,(1, х!,..., х,) = сг,(1,..., в)Г!(С, х!)... Г!(1, х,). Обратим внимание, что слева и справа злесь стоят одни и те же аргументы с,х!,...,х,. Эта формула, по существу, и отвечает на вопрос, каким образом в-частичная функция распределения зависит функционально от одночастичной, Г(1,х,,...,х ) = Г(х,,...,х, ~ Г), который мы обсуждали в предыдушем пункте этого параграфа. Заметим, кстати, что в представленной выше форме условие ослабления корреляции, которое, выступая в роли граничного условия, выбирает определенный тип решения в общем-то симметричных по времени уравнений, по идее своей эквивалентно условию, накладываемому в квантовой теории поля на матрицу рассевния при вдиабатическом выключении взаимодействия Н! на С = -оо (совпадение обозначений введенного Боголюбовым оператора трансляции Я и Я-матрицы (от слова зев!ген!нл), еще не используемой в !946 г., можно отнести к разрялу «необъяснимых»), Рассмотрим теперь (по тем же причинам, что и в и.
а)) пространственно однородную систему. Принятие принципа ослабления корреляций как граничного условия, приводящего к функциональной зависимости Гз(1, х!, хз) = Гз(х(, х! ) Г!), проявляется и в том, что с точки зрения функции Г,, определяемой с точностью 319 5 б. Кинетическое уроененив Больцмоно до первого порядка по Вез/е, учет парных соударений может быть произведен на уровне стационарного явления, Действительно, так как в пространственно одноРодном слУчае др) /д! = (дР(/д!) ° Вез/и, то пеРвое слагаемое в УРавнении длЯ Р2 также оказывается величиной первого и выше порядков по Лаз/и, дл2 /, бР2 дЩ, х') гса д1,/ бра(1, х') д( и ' и в уравнении нулевого приближения оно должно быть опущено. Интегрируя оставшиеся четыре члена (У = О) по г2 и р2, учитывая, что до 2 (а) с(Р2 (а) 2 ье 2 и что в пространственно однородном случае функция Г2 зависит от г2 — г, = К, получим из оставшихся трех членов второго уравнения цепочки дФ(~г2 — г~!) дРг(1, хн х2) Г Р2 — Р1 дЕ2 б,бР,=/ .— жир,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
