Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 71
Текст из файла (страница 71)
задачу 47). В связи с этим произведем самую грубую, но зато эффективную оценку времени релаксации т'. Сохраним в правой части точного уравнения 1 Г в с И= — И = 1~(Ь+Ь| — й — Ь|)Р1вд Ф т',/ только одно первое слагаемое, пропорциональное л. Тогда уг сократится вообще, и мы получаем для оценки порядка величины им учитывая, что вв1в Иув = й~, выражение з7т з 1 11 — л1 и Ио с1р1 — — а п1т1 — т~ — 1 ехр — — )г сЬс — — и„ ,Г,l в точности совпадающее со средним числом соударений частицы, имеющей скорость г с другими частицами за секунду (см.
задачу 8). Усреднив по всем т, мы приходим к известному результату элементарной кинетической теории (см. задачу 7) для времени свободного пробега: 1 1 /нас — тсп пр— Р, 4па т' д Таким образом, время релаксации т' к локальному максвелловскому распределению оказывается порядка среднего времени свободного пробега Р ' тсв.лр Более корректная оценка минимального собственного значения и, = Цт', основанная на вариационной процедуре типа метода Рнтца в квантовой механике (см, задачи 47, 48), приводит практически к такому же результату: 15 тсв. лр = 2тсп пр 8 328 Вава 5. Ниневшчеснне уровнення а птпиопичесной неханнке Наивно конечно полагать, что максвелловское распределение возникает за два з столкновения. Напомним (см.
п, а)), что за время т „в обьеме порядка Л происходит не два, а 10ч сголюювений частиц друг с другом. д) Гидродинамичесиий этап эволюции системы Остановимся вкратце на обзоре ситуации при 1 > т', т.е. случае, когда каждой локальной области системы можно сопоставить локальные термодинамические па- раметры. Первое, на что следует обратить внимание, это то, что как шкала 1, так и шкала г в этом случае оказываются одинаково отрубленными: л1 Ъ» тсв.пр ~~Ьв > Лср»»р (лаже если вместо символа Ь стоит дифференциал В); т. е. левая и правая части уравнения Больцмана в отношении масштабов оказываются полностью согласован- ными. Далее, так как 1 > т', то, как мы показали в предыдущем пункте, в каждой локальной области произошло образование максвелловского распределения, опре- леляюшего главную часть функции Г, т.
е. зависимость самой функции от 1 будет определяться уже не непосредственно, а главным образом через зависимость от 1 локальных величин п(1, г), в($, г) и В(1, г): Г(1, г, р) = п/(1, г, р) = Г(г, р ~ в, в, В). Таким образом, введение гидродинамической шкалы времени — зто второй этап ее огрубления (первый был связан с переходом от механического к кинетическому этапу эволюции, когда мы полагали Ь1 Ъ тн т ). Зависимость же самих величин и, в и В от времени можно определить с помощью того же уравнения Больцмана. Действительно, проинтегрируем уравнение ВГ(1, г, р) р дГ ВТУ дГ (ВГ 1 Е т дг+ д др+Ьдт/ по р, тогда, учитывая, что согласно лемме Больцмана з(1) = 0 и что интеграл по р от дГ/др обращается в нуль, получим дп(1,г) д Г р — = — — ( — ГВВ= — гйчпв = Ф„(г; п,в, В ~Г). дт дг Г т Это известное уравнение непрерывности лля плотности числа частиц п(1, г), в правой части которого мы специально отметили, что зависимость от времени осуществляется через зависимость от $ локальных величин и, в, В; а функциональная зависимость от Г входит через определения этих локальных параметров (см.
б 2). Аналогично, умножая уравнение Больцмана на р,/(тп) (а = и, р, х) и интегрируя по р, приходим к трем уравнениям Эйлера: — = — ~ — / — Гйр~ = Ф„(г,п,в, В ~ Г), д Г1 Гра 1 00 дт д1 ~,п .Г т и наконец, пятое уравнение (уравнение для температуры В): дВ д Г2 1 Г (р — рр)' — — — 1 — ГВВ = Фр(г; ц, в, В 1 Г) д1 д1(3 е/ 2т (более подробно этн уравнения будут выписаны в задаче 49).
Обратим внимание, что в силу Г(1) = Х(р, ) = 1(Г') = 0 интеграл столкновений непосредственно 329 5 б. Клнелшческое уравнение Больцлана в эти уравнения не входит (его влияние сказывается только через функциональную зависимость от Р, которая в свою очередь удовлетворяет кинетическому уравнению с интегралом столкновений в правой части). Далее, ввиду перехода к шкале 1 > т' сама функция Р в гидродииамическом приближеиии мало отличается от локального распределения, т. е.
Р(1,г,р) й Г(г,р) (1+ 1Л($, г,р)), где 1л < 1. Подставляя эту функцию в уравнение Бсльцмана, получаем в нулевом приближении известное уже нам соотношение 0= (РР, — РР~)идыдрп а в первом — линеаризоваииое относительно 1л уравнение р — + — ° — — — — = ~ РР~(1г'+Ю', — 1г — 1г~)я4 Фр, Вг пз дг бг др / в левой части которого стоят производные по 1 и г от медленно меняющихся (в масштабе времени и ллины свободного пробега) величин, а справа — линеаризоаанный интеграл столкновений Больцмана.
Это уравнение похоже на уравнение для Х(1, г, р), рассмотренное в предыдущем пункте, но оно другое по содержанию (поэтому и изменены обозиачеиия). Это неоднородное интегральное уравнение для первого приближеиия функции Г, в котором дР~дг необходимо еше выразить (зависимость Р от и, я и В известна) через производные по времени от и, ы и В с помощью выписанных выше уравнений гидродинамики. Причем в правых частях этих уравнений необходимо также произвести соответствующее разложение Г = Р+ Р1г, чтобы получить в конце концов согласованную в смысле приближения систему шести уравнений для шести функций 1г, и, я и й. Проведение этой программы и составляет основу так называемого метола Чепмена-Энскога решения уравнения Больцмана. Несмотря иа ясность и физическую согласоваиность общей программы метода, практическая реализация ее приводит к весьма громоздким выкладкам (отметим, что в нее пслиостью включается проблема исследоваиия свойств линеаризованного интеграла столкновений с использоваиием специальных функций Сонииа и т.
и., см. задачу 48). В упрощениом виде мы проведем эти исследования в разделе задач (5 8), А сейчас ограничимся только несколькими замечаииями. 1) Реализация указанной программы дает решение для 1л (а следовательно, выраженные через микроскопические величины коэффициенты вязкости гл и г(з, диффузии Р, теплопровсцности х), приводит к уравнениям гидродинамики (в нулевом приближении — к уравнениям идеальной жидкости Эйлера, в первом— к уравнениям вязкой жидкости Навье — Стокса), т.
е. все, что необходимо для дальнейшего уже макроскопического описания системы в рамках задач математической физики с начальными, граничными и т. п. условиями. 2) Решение уравнения Больцмана с точностью выше первого порядка по (я (или, что то же, в следующем порядке по параметру плотности Вез/е) представляет уже чисто математический интерес. Действительно, итерация интеграла столкновений в форме Больцмана означает учет четырехчастичной ситуации, в которой две пары частиц (1-2) и (3 — 4) не взаимодействуют между собой, т. е.
в этом приближении не присутствуют равноценные учтенным вклады от взаимодействий частиц (1-3) 3ЗО Пгава 5. Кцяевочасаяе уравнения а слюлгосааческой механале и (2-4), а также от взаимодействия сразу всех четырех частиц. Тройные же корреляции, предшествуюшие четверным и включающие не только учет различных по последовательности парных соударений, но и сами тройные взаимодействия, в этом «втором» приближении ие рассматриваются вообще. Таким образом, желая получить результаты, имеющие физический смысл и гарантированные в исследуемом за первым поРЯдке по'ПаРамегРУ плотности Лез/э, необхолимо всю пРедложеннУю выше пРоцедуру, включающую гидрадинамическое приближение, осуществлять не на основе кинетического уравнения Больцмана, а на основе цепочки уравнений Боголюбова, включающей корреляционные функции Гз и Р«с граничными условиями, выражающими принцип ослабления ко~реляций, и последовательно проводимом разложением по степеням параметра Я /е (при этом, естественно, ограничение первыми двумя уравнениями автоматически приводит к результатам Чепмена — Энскога).
3) Изложенную в пункте д) общую программу действий можно применить и к кинетическому уравнению с релаксационным членом вместо интеграла столкновений, которое при $ > т' может оказаться, как мы показали в п. г), вполне оправданным. Этим и обьясияется его неожиданный на первый взгляд успех: все гораздо проще, так как член «столкновений» не имеет интегральной структуры, и решение для р получается элементарно. Мы воспользуемся этой возможностью в задачах 88. В связи со сказанным в предыдущем замечании следует отметить, однако, что элементарно осуществляющаяся в процедуре решения уравнения с релаксационным членом (с возможными его модификациями) вторая итерация по т, несмотря на ее заманчивость (нелинейные эффектм и т.д.), не имеет физического смысла, так как само это уравнение генетически связано с уравнением Больцмана и прелставляет как бы его частный вариант.
е) Обсуждение Так как параграф, посвященный уравнению Больцмана, по естественным причинам получился большим, то мы провели необходимые обсуждения в кюкдом из его пунктов, так сказать, по горячим следам. Нам остается сделать только два общих замечания. 1. Проведенное нами в этом параграфе рассмотрение эволюции системы многих тел с короткодействием в достаточно яркой форме выражает идею Боголюбова об иерархии временных релаксационных процессов в статистических системах.
Не повторяя всего, что по этому поводу говорилось ранее, представим эту последовательность временных масштабов в виде схемы (с. 331). 2. Уравнение Больцмана необратимо во времени. Наиболее ярко эта необратимость выражена в ДГ'-теореме. В и, в) мы уже обсудили, почему при переходе от уравнения Лиувилля к уравнению Больцмана была потеряна инвариантность по отношению к обращению времени, — это те дополнительные условия типа граничных при т - оо, которым были подчинены высшие корреляционные функции в цепочке Боголюбова и которые обеспечивали появление физически осмысленного решения.
В свете работ Боголюбова все это понятно и общепризнано. В конце Х1Х века появление этой необратимости (в частности, Я"-теоремы) вызывало резкие возражения против всего кинетического подхода Больцмана. Идеи основных возражений можно разделить на две группы. а) Парадокс возврата, или парадокс Цермело (Е. пеппе!о, 1896; Н. Ро!псаге, !892), основанный на теореме Пуанкаре (см. задачу 3) и заключающийся в том, что Ъоскольку микроскопическое состояние системы воспроизводится с наперед ' заданной точностью через какое-то время Т, то Р-функция (или энтропия) должна б б. Кинетическое уравнение Бальцнана Скемв ппспеяеввтепонесгм репвксвцненных процессов в статистической системе Состояние системы описывается координатами и импульсами всех частиц системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
