Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 72

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 72)

Механика о Состояние системы можно характеризовать с помощью едиечвстичипй функции Р(в,х), через нее же Реализуется зависимость от г всех других функций Рвспрелеления Щ, хь..., х,) = 2п,(хь..., х, ) Р), в ) 2. Кинетическое приближение т' Гилрпдиивмическое приближение Оыпо Формируется локальное мвксвелловскпе распределение и образуются локальные характеристики я(й г), п(Г, г), у(Ф, г). Непосредственная зависимость функции е пт Г переходит в зависимость пт времени через локальные гидрпдннвмические переменные Р(йх) = Е(х ) п,а, В).

Через уравнения гидрпдиивмики в задачу входят граничные условия. Решение этих уравнений определяет время мвкроскппическпй релаксации г к состоянию статистического равновесия. Граничные условия и форма сосуда становятся не- существенными. Функцией распределения являет- ся распределение Поббсв. Квпзистптическвя тер- модинамика и равно- весная статистическая механика иметь то же свойство, а следовательно, она не может быть монотонной функцией времени в принципа вопреки утверждению Я'-теоремы. Теперь это, возражение имеет уже чисто исторический интерес.

В задаче 3 обсуждается проблема возврата и выясняется, что теорема Пуанкаре стремлению системы к состоянию равновесия не препятствует. Огрубление же рассмотрения было выполнено нами явно прн переходе к кинетической шкале времени (согласно задаче 5 точное микроскопическое значение РУ'-функции вообще от времени не зависит). б) Парадокс обратимости — парадокс Лошмидта (У. Еозсцшкоо, 1876). Остановимся на этом вопросе несколько подробнее, так как этот опарадокс* не только не потерял своего значения, но и обогатился физическим содержанием.' Ради наглядности представим себе какую-нибудь простую модель процесса. Пусть в сосуде с объемом У, небольшая его часть $'~ выделена стенками, и плотность частиц в этой области п1 Ео 2Со больше, чем в окружающей ее системе (не бу- Рмс, 202.

Схема парадокса Лешмндтв демделатьбольшойсосулпустым,хотяэтоиэф нв интеРвале го к г < 2го н его Рвзфектно). В момент 2 = О стенки убираются„и это '"'"е прн г приготовленное заранее состояние (при 2 < О оно было равновесным) становится начальным состоянием неравновесного процесса. Система начинает эволюционировать «по Больцману*, плотность п1 начинает уменьшаться (рис. 202).

В момент 2 = 2е обратим скорости всех частиц тй- ЗЗ2 Глава 5. Кинелшчеслие уравнения в сглапистллческой механике 1 = 1,..., Ф. Тогда система начнет эволюционировать обратно, и к моменту 1 = 2М« частицы сами соберугся опять в коробочку ~~. На интервале Г«< 1 < 21«рг"-теорема Больцмана инверсирована, е.«г"/аг > О, зто и есть парадокс Лошмидта, на основе которого делается вывод, что М«-функция может и убывать и расти в зависимости от выбора начального распределения, а поэтому кинетическое уравнение, с помощью которого получена традиционная М'-теорема и'.7г/ег < О, не выдерживает проверки на элементарном мысленном эксперименте. Что касается эффекта роста А' (а у нас — роста плотности п~(1)) на интервале 1«< 1 < 21«, то туг нет парадокса.

Процедура получения уравнения Больцмана методом Боголюбова допускает получение и «антикинетического» интеграла столкновений: для этого надо выбрать условия ослабления корреляций не при т - оо, а при т - — со. Совершенно так же, как в задаче рассеяния можно искусственно создать сходящуюся волну и общим принципам квантовой теории зто противоречить не будет, так и здесь можно наблюдать антикинетическую эволюцию, если только суметь приготовить исходное антикинетическое состояние, В наши дни, по прошествии более ста лет, ответ Больцмана Лошмндту: «попробуйте же их повернуть» воспринимается как трагический возглас отчаяния. Но обратить скорости все же хочется.

Так как спонтанного возникновения антикинетического состояния никто никогда не наблюдал, предположим поэтому, что мы наняли армию из 1Ою демонов Максвелла, которые по команде в один и тот же миг обращают скорости всех 1« частиц. Заметим мимоходом, что при этой операции неизбежно возникнут мелкие ошибки, т. е. будет т; - -«г + бт;, и возникает вопрос, насколько устойчиво антикинетическое состояние по отношению к этим неточностям обращения. Это очень сложный и специальный вопрос, но интуитивно чувствуется, что антикинетические состояния очень чувствительны (в отличие от устойчивых кинетических) к этим неточностям.

И здесь опять помогает аналогия с теорией рассеяния. Действительно, внесение небольшого возмущения в расходящуюся волну так и остается возмущением, которое к тому же будет рассеиваться по всей сфере, и относительная его роль будет падать. В сходящейся же волне роль неточности, возникшей при обращении расходящейся волны в сходящуюся, по мере схождения будет возрастать, волна уже не сойдется в точку, и «начальное» состояние будет далеко до воспроизведения. Совершенно так же и в статистической системе ошибки в отражении скоростей частиц приведут к весьма приблизительному воспроизведению начального состояния (пунктирная линия на рис.

202). Далее, само обращение т; - — т; и его момент 1« должны удовлетворять довольно жестким условиям. Так как в статистической системе отдельная частица очень быстро теряет память о своем прошлом состоянии„то вся система обладает тем же свойством, и для успешного воспроизведения при 1 = 21«начального состояния надо выбрать Ге меньше, чем это время памяти. Последнее же измеряется в масштабе времени свободного пробега (для газа при нормальна~а условиях согласно задаче 7 это 1О ьз с). И еше, само переключение не может быть мгновенным, время этого пеРеюгючениЯ Ю должно быть много меньше Ге. Предположим теперь, что все условия выполнены (т.е. 1«< т' и Ьг « 1«).

Посмотрим, как будут развиваться события дальше. В момент Ф = 28«система прилет в первоначальное состояние, но с обращенными скоростями. Но состояние в момент 1 = 0 было инвариантно по отношению к обращению скоростей частиц как всякое равновесное состояние, и поэтому дальше события будут развиваться, как будто бы начинал от нуля. А в целом получается так называемое «эхо» (см. рис. 202). Конечно, в системе типа газа этот эффект наблюдать не удается, но в системе ялерных магнитных моментов (см. $4 раздела задач к гл.

5) значения времен релаксации, в частности спин-решеточного ты достигающего десятков минут, оказываются э б, Кннепгнчеспое уравнение Больцмано вполне благоприятными для практической реализации процесса воспроизведения начального неравновесного состояния системы, Спиновое эхо было впервые экспериментально воспроизведено американским физиком Ханом (Е.(.. Найп, 1950), Необходимо заметить, однако, чтохотя в результативном плане(практически полное воспроизведение в момент 1 = 2!в первоначальной величины поперечной намагниченности) эффекты Хана и Лошмидта полностью подобны, механизмы реконструкции начального состояния в них несколько различны (о явлении снинопое зхо см. Подробнее в задаче 27 к этой главе).

Таким образом, парадокс Лошмидта по существу своему парадоксом не является. Просто ни сам Лошмидт, 1 !О' ни почитатели его парадокса в пылу дискуссии не задумывались над тем, О Я), г,'! каким условиям необходимо удовлетворить, чтобы эффект антикинетического состояния мог бы действи- -! тельно реализоваться, как реализуется спиновое эхо.

! ! 10 1 ! г! Весьма впечатляющими в свя- ! з ! г зи с этим представляются результаты ! машинных экспериментов, которые стали возможными с появлением достаточно мощных ЭВМ. Скажем не- 1 сколько слов об одном из первых та- 'А' 1 ких экспериментов (Л ОгЬап, А. Вейе- 10 таз, 1967), который заключался в расчете механического движения ста упругихдисковвнутриквадратасиде- О !,г-' ально отражающими стенками.

Плотность этого двумерного газа составляла 0,04 от значения, соответствуюшего плотной упаковке дисков. В ка- Рнс.2ОЗ. Трн графика,огнбвющнв полученные в нвчестве начального состояния выби- шинном злспврннвнге Орбвнв н бвлленвсв точки знвралось пространственно упорядочен- чвннй функции нос расположение дисков в узлах во- г дг К ОбражаЕМОй КВадратНОй СЕТКИ, а На- Ж(Ф) = / — У(г, Р, С) 1п — Г(г, Р, Г) !Гг!ГР. правления их скоростей, при 1 = 0 одинаковых по абсолютной величине ПРн отРажении снпраствй дисков допуспвлнсь случай- выбирались случайно. Оказалось, что ныв ошнблн, ннвюжнв относнтвльную величину 1О З, после 150-200 произошедших в'си 1О н 10 соответственно. Монвнты отРвженнл в единицах среднего времени свабодного пробега стеме столкновений (т.

е. по пРоше- выбраны соответственно гз = г!2 (через бо соудвСтВИИВРЕМЕНИПОРЯЛзса 2т,„„в) ОтзтО- Ремнй в снствнв нз зоо дисков) н йз = г (через сто го упорялочения не оставалось и еле- соударений) да, а распределение по скоростям становилось максвелловским. После определенного числа соударений (выбирались моменты 1р, соответствующие 50 и 100 соударениям) расчет останавливался, зафиксированные в 1 = гв значения скоростей обращали на обратные (т.е.

роль демона Максвелла брал на себя оператор машины), а затем машину включали вновь. В процедуру создания антикинетического состояния вводили и небольшие случайные ошибки, в относительном выражении имевшие величину 1О ', 10 з и 10 '. Результаты для Ж-функции Больцмана полностью совпали с изображенными на рис. 202 с той 334 1)гава 5.

Характеристики

Список файлов книги