Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Княеглнческне уравнения в сгпаглнсглнческой мехннняе разницей, что машина выдавала ступенчатую фигуру, отражающую также и флуктуации этой функции (см. рис. 203). Характерна и зависимость степени воспроизведения начального состояния от точности обращения скоростей: если при внесении относительной ошибки, равной !О ', первоначальное значение Я'-функции в момент 8 = 21е воспроизводилось практически полностью (при 1е = г„„р/2 получалось Ж(21е)/Я'(0) = 1, при Фе = г, „р — г(21е)/Я'(0) й 0,9), то при ошибке, равной 10 з и ге — — г„„р, обращение скоростей дисков антикинетического состояния фактически уже не создавало, и никакого подобия всплеска Ж-функции уже не возникало. $ У.
Лоренцева форма интеграла столкновений Рассмотрим в этом параграфе одну простую кинетическую схему, исследование которой удается провести без привлечения громоздких методов типа Чепмена— Энскога, и т. п. Речь идет о модификации интеграла столкновений Больцмана, произведенной еще Хендриком Лоренцем (Н.1огепгг, 1905) в связи с развитым им кинетическим подходом в электронной теории металлов. Это приближение основывается на тех упрощениях, которые возникают при рассмотрении столкновений частиц, массм которых сильно отличакпся друг от друга (для электронного газ» это обстоятельство выражено особенно ярко, так как ги,/пн 10 ~).
Исходным моментом рассмотрения является система кинетических уравнений Больцмана лля функции распределения У(1, г, р) легких частиц (плотность и = Лг/$') и функции распределения /1(1, г, р) частиц сорта 1 — тяжелых частиц (их плотность п~ = йг~/К), из которых мы выпишем только уравнение для /(1, г, р): ВЯ, г, р) р д/ ВУ д/ Вс гл дг дг др — — — — —./н(р)лр)-гна.4 а ь. .../(..)ырэ-л >ы.,з.~~., (уравнение для функции /, аналогично) и исследуем частный случай, когла гл < т~. а) Кинетическое уравнение длл легкой компоненты Интересуясь кннетикой только легкого газа в среде из тяжелых частиц, образующих своеобразный фон для легких, опустим интеграл столкновений легких частиц друг с другом.
Такое упрощение с физической точки зрения можно оправдать, если: — легкие частицы составляют малую примесь в среде тяжелых, т.е. и < пы или — взаимодействие легких частиц друг с другом гораздо слабее их взаимодействия с частицами фона, т.е. и < н, (как, например, для нейтронного газа), или, в более общей форме, — время релаксации т,' шза легких частиц по отношению к какому-либо заданному распределению тяжелых частиц гораздо меньше времени релаксации г', обусловленной взаимодействием их друг с другом, г,' < г'.
С математической точки зрения такая аппроксимация очень заманчива: уравнение для функции /(1, г, р) сразу становится линейным. Не интересуясь кинетикой частиц фона (они могут составлять узлы кристаллической решетки, т.е. даже не газ), мы будем полагать функцию распределения Д не только известной, но и совпадающей с равновесной (или локально-равновесной), например, максвелловской функцией Л(Р1) = т(р~) $7. Лоренц«во форна «нпгваролв оиоляноввн«б Ввиду того что в слабонеравновесном случае — — 'й — « 2 2 2 и гпг ~ пз, имеем е( << ез (рис. 204), поэтому можно положить и = 1ч - чг 1 св )ч! = е и вынести модуль относительной скорости за знак интеграла по р,.
Даяее, пренебрегая отдаяей при рассеянии легкой частицы на тяжелой, имеем Р~ = рг Л = Л = '«(Рг) О,(,-.т Рис.204. Распределения по схоросгяи тяжелых и яегхих частиц интеграл по рг берется, г«(рг) г!р! = 1, / и функция )'~ вообще исчезает из интеграла столкновений, остается только плотность частиц и,. Полагая гй« = а Иа г)уг = гг(е, гр) 40, где т! — угол рассеяния, г!й = и!и!ргу!Ргггр, и вводя функцию щ,г,ч) = пу, нормированную на число лепсих частиц К, получаем окончательно дР(Г, г, ч) И' ! дУ дР + ч — — — ° — — пгв (я — «')гг с!й., дс дг гп дг дч Ввиду того, что стоящая в интеграле столкновений неизвестная функция Г' = в'(1, г, х~) содержит в качестве одного из своих аргументов скорость легкой частицы т' после ее столкновения с тяжелой, которая определяется в результате решения соответствующей задачи рассеяния, полученное уравнение, несмотря на достигнутую его линейность и откровенно частный характер, все же остается достаточно сложным.
В следующем пункте мы рассмотрим, как это уравнение решается в стационарном случае, имеющем достаточно широкое применение при оценке коэффициентов переноса. У(х, е) = п(л) — ехр б) Явления лереноса яля легкой компоненты Полагая для простоты У = О, в стационарном случае получаем дЕ(г, ч) т — =п~е/(Р(г,ч) — я'(г,ч))гг(в,!«)г!й, /ч! (ч(г Выберем в качестве оси х направление градиента функции в', т. е.
положим И'/дг = (О, О, длУдв). В сферических координатах с этой полярной осью функция «' ввилу изотропности пространства от угла гр не зависит, « = .«(х,е,д), где в — угол между осью я и вектором ч. Так как при описании явлений переноса мы всегда ограничиваемся рассмотрением слабонеравновесных систем, то нулевым приближением дяя Г является локальное распределение Максвелла 336 Глава 5.
Кинвпичесмие уравнения в стиявистичвсмоб иеяиниме Зависимость же от угла д может быть представлена в виде разложения по полиномам Лежандра Ре(созд) = 1, РДсозд) =совр, Ограничиваясь только первой поправкой, положим Р(я, о, д) м Р(я, о)(1+ Ф(я, о) соз 0). Тогда имеем о — ' совр =и!о ! Р(я,е)Ф(я,о)(созд'-совр)а(о,1р)ей дР(я, е) Г дя д!и Р(я, о) дя стжд = н!Ф(я, е) (созд — созе!)а(е, Ф) в(й. По существу, это уже решение дяя Ф. Чтобы выполнить интегрирование по углам, введем другую систему координат с полярной осью вдоль вектора т (рис. 205). На единичной сфере будем иметь тогда т, = — = (0,0,1), 6 т' т', = — = ( з!и тр соз !в, з!и тр з!и !е, ссз 1р), з, =(з!пвз,б,созд). Отсюда сразу слелует известная формула три- гонометрии на сфере (ав ' в~) соз д = Б!и д 3!и 1р соз р + соз д соз Ф, Интегрирование по углу !в дает Рнс.
205, Пространственное рвсооложе- нне еднннчных векторов в„ в, н К зв зв Н!в = 2з', сов!о бр = 0, о о поэтому получаем д1пŠ—.созд =и!Ф (соз1р свмд — саед)а(е,1Р) з!птрйтр 2к. дя о Сокращая на соз д и вводя эффективное сечение (иногда называемое тлрамсяортллым) в Е(е) = 2я а(е, 1Р) (1 — соз 1Р) з!и Ф НФ, о получаем 1 д!пР(я,е) д!пУ(я,о) Ф(я е) = — —. = -д(о) п,Ци) ' дл д б 7. Лоронцаао Форио ннглегроло алолнноаоной 337 где Л = 1/(в~Е) эффективная длина свободного пробега (см. задачу 7 в случае, когда в силу т ч, гв~ приведенная масса р = гв). Таким образом, для получения окончательного решения стационарного кинетического уравнения Р(л, о, В) = Р(л, о) - Л(о) ° соз  — * дР(л, о) дл остается рассчитать при заданном потенциале взаимодействия частиц Ф(Я) величину эффективного сечения Е(о) (илн Л(о)), Для случая твердых сфер это сделано в задаче 55.
Кинетические характеристики теперь рассчитываются непосредственно по формулам в 2. Для потока частиц легкой компоненты имеем, полагая Р = в(л)гл(ч), о, у„= о,Р Нч = о, в(л)ги(ч) — Л вЂ” ° — (в(л)го(ч)) оч. о дл Обозначая чертой сверху средние по максвелловскому распределению м(ч), учиты- вая, что о, = О, заменяя под знаком интеграла по ч величину оЩч~) на („з + ог + оз)) (!ч!) оз г(о) и вынося д/дл за знак интеграла, получаем 1 д г 1 — дв 1 д — дВ у'„= — — — '(в(л)(Л(о) ° е) ~ = — — (Ло) — — — в — (Ло) —, 3дл1 3 дл 3 дд дл' откуда для коэффициентов диффузии 22 и термодиффузии Вч имеем 1 — 1 д— 23 = -(Ло), 27г = — в — (Ле), 3 ' 3 дВ Перенос энергии, обусловленный частицами легкой компоненты г гво' 1 д 1 / гво''ч1 у,= Г о,— Рдч=-- — в~Ло — ~~= ,/ ' 2 3 да~ ч, 2,/) определяется с помошью коэффициентов теплопроводности х и диффузионного переноса тепла х„: х„= — Ло —, х = — в — Ло— Обращает на себя внимание совпадение этих результатов с теми, которые были получены в рамках полуфеноменологической теории с релаксационным членом вместо интеграла столкновений (см.
б 2 гл. 5 и б 3 раздела задач к гл. 5), только здесь величина эффективного свободного пробега Л(о) появляется из микроскопического рассмотрения, а не является подгоночным параметром Л полуфеноменслогнческой теории. 338 Глава 5. Кинеюичесиие уравнения а пяатиаличагяой механике в) Явления переноса в электронном газе Сделаем несколько замечаний, касающихся истории вопроса.
Понятие «электронный газ» было введено Друде (Р. Ршбе, 1900) с целью объяснения характерных особенностей проводников (заметим, что сам электрон был открыт Томсоном всего за три года до этого). Лоренц в 1904-1905 гг. поднял эту теорию (в классическом варианте) до уровня кинетической теории, которую мы рассмотрели выше. Для вырожденного электронного газа соответствующие расчеты были выполнены несколько позже Зоммерфельдом (А. Бошшегуе(б, 1928) — через три года после формулировки по отношению к электронам принципа запрета Паули. Большую роль в развитии квантовой электронной теории сыграли фундаментальные работы Феликса Блоха (Е В!осЬ, 1928-1930), который показал, что движение частицы в периодическом поле кристалла описывается не плоскими волнами„а так называемыми блоховскими функциями, которые периодическим полем решетки не рассеиваются, поэтому механизм возникновения сопротивления и т.и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
