Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 76
Текст из файла (страница 76)
В области х с х 1 снова возникает упорядоченная структура, рассеивать начинают незаполненные «примесью» ячейки, т. е. р (1 — х) при х 1. Обе эти возможности были объединены Нордхаймом (1.. Ыотт!Ье!ш, 193!), р„„(х) х(! — х), и эта простая формула неплохо описывает зависимость остаточного сопротивления от концентрации «примеси» (рис. 209). Провалы этого графика в точках, соответствующих сплавам Созе и СцАц при В < Вл, связаны с тем, что при температурах ниже фазового перехода в неупорядоченное состоя- в в„ ние именно в этих сплавах образуется упорядоченная В«В, кристаллическая структура, на которой электроны не рассеиваются. При В > Вл этого эффекта, естественно, нет. е) Наконец, в области очень низких температур (от долей до единиц градусов Кальвина) многие металлы скачком теряют свое сопротивление.
Этот фазовый переход в сверхпроводяшее состояние, как мы уже отмечали ранее, нашим рассмотрением совершенно не предусмотрен: мы исходили из модели идеального ферми-газа, а в формировании сверхпроводящего, состояния существенные сильные 0 025 050 ! квантовые корреляции электронов друг с другом (пары электронов с противоположными импульсами и спинами образуют подобие заряженных боРис.аов. 3ввисимопь остаточно- зе-частиц, сверхтекучесть которых и соответствует го сопротивления от нонцвнтрвции сверхпрззжздимости системы электронов в решетке), золота в сплаве с медью при твм и поэтому теоретическое обьяснение этого явления ператуРв выме " ниже твмпервту- лежит в области квантовой статистической механики ры Л-переходя неидеальных систем.
1. Остановимся теперь вкратце на характере температурной зависимости коэффициента теплопроводности электронного газа н, обусловленной взаимодействием 349 \ б 8. Нннеточегное уравнение Паули электронов с колебаниями решетки. Если в температурных областях В ( В,, где преобладает остаточное сопротивление, и В > Во, рассеяние электронов происходит на примесных центрах и на отдельных ионах, движение которых практически некоррелировано, выполняется закон Видемана — Франца, т.е.
коэффициент теплопро водности ггг В В при В < Вг (р Й сопя!), .= — —,-! 3 е'р ( сопи прн В > Вр (р В), то в области Вг < В < Во, в которой основным механизмом рассеяния является рассеяние на фононах, дело обстоит несколько иначе. Так как условие отсутствия тока Е = О (т. е. лг тй О), прн котором определяется н, исключает движение электронного газа как целого, то рассеяние электронов будет происходить не на малые углы тр, а практически изотропно, и член с соа тр в транспортном сечении окажется уже несущественным, г'(рл) Е (рл) = В(р тр) з1п тр с!ф т!гр О а это сразу приведет к понижению степени е под знаком интеграла на две единицы, н мы будем иметь О В, В, и Вг ~(р~) = е г в, В гз ! г в ьэ Кв —,Г(З) С(З) ~ — ~ сб г в, /В г =Ц 2,!ОЗ ~ — ) в случае ~во,г' Рис.
220. Характер температурной зависимости удельного сопротивления р, коэффициента теплепреепдиости х и числа Лоренца е~мр/В; О < В ( В,— область сверхпроводимости, В,(в<вг — область остаточного сопротивления, В > Вп — область рассеямия на некпррелирпеанно движущихся ионах ре- шетки в « в,, 5 8. Кинетическое уравнение Паули В этом параграфе обсудим проблему построения кинетического уравнения больцмановского типа на основе использования традиционной нерелятивистской 1 ~!о ' в случае В » Во, 4 В откуда следует для коэффициента теплопроводности гг 1бхпгел В 2 — в случае В < Во, 1 э Вг сопят в случае В > Вр.
Характер зависимости от температуры величин р, к и числа Лоренца егнгэ/В (в честь Людвига Лоренца; 1.. !.огепх, 1881) представлен на рис. 210. 350 1лава 5. Кинегличесние уравнения е опгяяиапичесноб неяинине квантовой механики. Некоторые заимствования из квантовой механики (в частности, оценка сечения рассеяния на квантовом уровне) уже делались в предьцгушем параграфе, но они носили характер «вставок» в полученные на классическом уровне основные формулы. Здесь же мы предпримем попытку рассмотреть проблему кинетики системы, начиная непосредственно с квантовомеханического этапа ее описания, причем сделаем зто на достаточно доступном уровне, не затрагивая общей программы построения кинетических уравнений для квантовых систем на уровне идей З 4-6. Не повторяя целиком материала 3 1, напомним, что в общем случае состояние статистической системы можно задать как смешанное состояние (Фытиь), вводя набор чистых квантовомеханических состояний Фю в которых может находиться система„сопоставив каждому из них вероятность вь обнаружить систему в этом чистом состоянии.
Это состояние описывается статистическим оператором р, который в некотором условном ~-представлении, соответствующем выбору системы базисных функций (фг), в которой Фь = ч , 'Фь(4, 1)161, имеет вид 1 <6М') = ~~', чяьФ»(ь«.1)Ф»(ч«1). Отметим, что так как величина Фь(ч Ю)Фь(с,1) = 1Фь(с 1)~ = йгь(ь 1) является квантовомеханической вероятностью обнаружить у системы, находящейся в чистом состоянии й, параметр (, равный написанному значению, то диагональный матричный элемент всего оператора фри = ~~ь вьЪГ»(С, С) = й'(С, 1) имеет смысл такой же вероятности для системы, находящейся в данном смешанном состоянии (ге»).
Предположим теперь, что статистическая система определена гамильтонианом Н + 6Н, таким, что собственные функции оператора Н НФ» = Е»Ф» известны и могут быть использованы в качестве базисных (Ф„), Если 6Н = О, то набор стационарных состояний»6„образует как бы состояния идеальной системы, между которыми нет переходов, и, следовательно, система никуда не релаксирует.
Это чисто механическое состояние. Положим теперь, что оператор 6Н допускает любые переходы между состояниями 16„и тем самым, выполняя роль планковской черной «пылинки», о которой говорится в задаче 4, обеспечивает процесс релаксации к какому-то конечному распределению по состояниям и и, следовательно, статистичность всей системы в целом. Не конкретизируя здесь вид этого оператора (рали упрощения выклаяок мы будем даже заменять его некоторой эффективной величиной), рассмотрим, как эволюционирует система в результате таких квантовых переходов. 1. Рассмотрим сначала стандартную временную квантовомеханическую теорию возмущений. Пусть в момент времени 1 система находилась в некотором состоянии Ф»(д). Состояние системы в момент Р > 1 представим в виде разложения 16 (Д 1) Е Ф (и 1)»ч (ч)' »' б В.
Конел)ечесное ураененце Пауло 351 Уравнение Шредингера для компонент этого вектора состояния будет иметь вид —, Фн(п', Ц = ~~~ (п'>Н + бН>пн) ФФ(П", $ ) = Н" = Е„,Ф„( б, 1') + ~~) '< '<бН<пн>ФЕ(п", Г'>. НФ Если ввести для амплитуд Ф„представление юаимодействия Ф„(п, г') = Ф„(п', е ) ехр — Е„Ф' 1К то это уравнение и начальное к нему условие запишутся как — — Ф„( ',б) = Е'( (бН( ) р<-(Š— Е„)б')Ф ( ',б). Н" Ф„(п', Ф'агро = Ь(п — п'). Интегральный эквивалент этого уравнения Ф (" б)=Ф( )'; —.~~( (бН( ) р 1-(ń— Е )б)Ф ( б )Е я" позволяет сразу, используя метод итераций, выписать последовательность прибли- жений для Ф„(п', Е): Ф(Ф(п', Г') = гз(п — п'), Ф(й(п', Г') = <п'>бй<п> —, ехр -(Е„- Е„)Ф" еб", Ф 2 ФД1(п', Г') = ~ '<п'<бй< е> < "<бй<п> 1' —.) ,') х йе Ю'" ехр -(ń— Е„)ГН+ -(ń— Е,)Г ',Ь " й и т.л., где мы на случай, если оператор бН зависит от времени, ввели эффективное значение его матричного элемента (и'>бй>п>, которое, не желая усложнять рассмо- трение структурными подробностями, вынеслн ради простоты за знак интеграла по г".
Интегралы по ге, Г и т.д. берутся элементарно. Область применимости полученных результатов определяется просто: модуль первого поправочного члена должен быть значительно меньше единицы, з)п ( — '-'-(р — г)) >Ц>(~',Г')~= ~ ° <( <бй< ')~ — ч,1,. й что определяет ограничение на временной интервал г' — г сверху: Ь. /(п~бй!пб)> 352 Вава 5. Кинетические уравнения е гглгапистяичегкай механике Заметим теперь, что величина ~Ф„(п', Р) ~ = ~Ф„(п', РЯ представляет собой вероятность обнаружить систему в состоянии и' к моменту времени Г', если в момент Г она находилась в состоянии и.
Положим теперь, что в момент времени Г система находилась в смешанном состоянии ~(тан(Г)), Ф„(д)~, т.е. начальные состояния и' определялись с помощью распределения ми(г). тогда вероятность обнаружить систему к моменту времени г в состоянии и будет равна мн(г) = ~~~ %В'(Г)Фй(п Г)Фе(п г) л' (для сравнения см. лнагональный матричный элемент статистического оператора р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
