Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 79
Текст из файла (страница 79)
213) и приподнятую наа ней на величину С, = ь/2тЕ, где Е = рз/(2т) — энергия частицы. Во втором случае, исключав сов (ы!) и йп (ы!) иэ выражений дяя р и х, получаем Это уравнение эллипса (рис. 214), полуось которого в направлении р имеет величину l2тЕ, где Е = р'/(2т) + йх'г'2 — энергия осциллятора, сохраняющаяся вдоль всей траектории.
гн Рнс. 214. Траектория фазовой точки для гармонического осцнллятора Рнс. 213, Траектория фазоаой точки дяя свободного движению частицы Задача 3. Доказать теорему Пуанкаре о возврате (Н. Ро!псаге, 1890): если движение точки х, изображающей состояние консервативной (гамильтониан Н не зависит от времени) системы в фазовом пространстве, фннитно (т.е. ограничено некоторой областью Й, имеющей конечный объем Р), то для любой конечной (не нулевой меры) области ЯУ, включающей начальную точку хс этой траектории. существует такое время 2', за которое фазовая точка х возвращается в эту область.
Зб2 Задачи и дапаяншпяльныа вопросы я главе 5 Решение. Ограничение случаем финитного движения лля статистической системы чем-то неожиланным не представяастся: обиасзь я = (г„..., гл) ограничена тем, что все частицы двишются внутри трехмерного сосуда конечного размера, область изменения р = (ро..., Рл) ограничена фиксацией полной энергии системы К = Н(р, д), Траекгория х = х(Г, х«) Отлет располаппъсл на энергепгческой поверхности К, которую на рис. 215 мм условно поместили внутри пунктирной линки, ограничивающей область Е, и совместили с плоскостью чертежа. Теорема Пуанкаре является настолько обшей, что р --Е--- доказыэастся без каких-либо выклаяск с помощью одних логических построений.
l 33рсаположим, что существуют точки в области Я3, которые не удовлепюряют теореме Пуанкаре, т. е. никогда Я3 в область Я3 не возвращаются. Предположим, что этих 1 хэ ! м ! точек так много, что они заполнают некоторую конечную подобласть Я3' области %. Пусть г' — то время, эа которое все эти точки выйдут из Яг (и, по предположению, никогда l уже обратно не вернутся) н займут область Я3', в обшей Я3. Согласно теореме Лиувилля объемы областей ЯУ и Я3', олинаковы и равны некоторой величине У . По прошествии времени 2Г' множество этих исключительных точек займет Рис.айз.
Иллюстраяиа фазовых область я3', причем се пересечение с ф будет равняться траекторий к теореме Пуанкаре нулю. Если же этого не будет, т. е. области Я3г и Я3', булут иметь общие точки, то, обращая в момент Р время (уравненияа механики обратимы) и вспоминая, что траектории фазовых точек не пересекаются, область Я3', и предшсствуюшаа ей Я3' также должны бмли бы иметь общие точки, что противоречит исходному прсшюложению, что все точки ю' покидают Я3 навсегда. Рассматривая аналогично последовательность моментов времени ЗГ', 4Г',..., Кг', мы получим последовательность непересекающихса областей Я3», Яу«,..., Яу», занимающих в области Я3 объем Кгг'.
При К - оо этот объем не только превосхпяит предельный Зг, но и вообще расходится, что противоречит исходному предположению о финитности движения (исключение составляет случай Зг' = О, что нас вполне устраивает), и наше предположение, что существует конечномерная обласп точек Я3', ие подчиняющихся теореме Пуанкаре, оказьпюстся несостоятельным. Сделаем несколько замечаний по поводу доказанной теоремы. а) Согласно теореме Пуанкаре существует конечное врема У, по прошествии которого микроскопическое состоиние системы воспроизводится с заранее оговоренной точностью.
Естественно, что чем меньше область Я3, тем это время больше. Точный расчет времени возврата в начальное состояние возможен при точном жс решении механической задачи о движении системы. Оценка для системы 3Т ° 1Ою тел (порядка моля вещества), произведенная различными авторами, дает огромную величину Т. Сделаем такую оценку в самых грубых предположениях.
Рассмотрим систему типа равновесного пространственно однородного газа, 3т = 3гГе — — 6- 1Озз; ге = 22,4л. По отношению к квкдвй частице можно сказать, что она проводит в объеме Лз (Л вЂ” средняя длина свободного пробега) в среднем время т (время свободного пробега). Оценка зтнх величин (см.
задачу 7) дает Л ° Рд з см, т 10 'е с. Выбирая в качестве масштаба, фиксирующего «воспроизведение» первоначального положения частицы не ее размер (т. е. область г', где ге 10 ' см), а значительно большую область Лз, мы можем сказать, что среднее время, через которое, поблуждав по всей системе, частица вернетсл в «свой» первоначальный кубик Лз, булет порядка У~т/Лз = Уг 10э с.
Полагая, что все лте частиц независимы (в «нулевом» Приближении), мы получим, что вероятность каждой частице вернуться в свой исходный кубик Лз пропорциональна 3гу-й степени вероятности ю~ = 1/2'ы а среднее время, которое необходимо ждать, чтобы зто событие произошло (т.е. время воспроизмдення только пространственного р»«- 1ложения частиц, да и то с достаточно грубой 51. Обягие вопросы иятоничеаяоао двшкеяия огпвеиы .363 точностью), будет порядка Т (Т )и (Т )и . Чтобы оцеиитьтромадиоеть этой величины, напомням что возраст Вселенной, оцениваемый теперь уже десятками-миллиардов лет, составляет по сравнению с Т довольно скромную яеличину 10"- 1бм с.
б) Теорема 11уанхаре не утверждает, Чгц 'состояние системы периодически воспроизводится через одно и тоже время Т, она указывает на факт возврашения системы в область точки еа за конечное Т, но интервалы между последовательными возвращениями могут составить последоватальность случайных величин. Конечно, если систему можно представить (букваяьио или в переносном смысле) в виде совокупности связанных осцилляторов, то,,представляя движение системы как суперпозицию ее Нормальнмх коЛебаний и ограничиваясь в этоы «снектральном» ее представлении конечным (но любым) числом гармоник, мы получим, что микроскопическое состояние воспроизводится в 'заданном приближении через период, кратный периодам этих колебаний, т. е.
в целом процесс будет квазипернолнческим. Идея такого подхода может быть использована при рассмотрении теоремы Пуанкаре в квантовом случае, для которого спектральные представления '(разЛожения по частотам) являются органическим свойством теории. Действительно, записывая оператор р в энергетическом преасталлении, будем иметь, что каждый его матричный элемент представляет периодическую фуницию (и1Р(Ф)1и') = ехР— -(йя- Еи)г (Я1Р(0)1п'). й Если оператору р соответствует Конечная ггатрица, то первоначальное состояние будет воспроизводиться периодически, если нег, то йернодическн воспроизводиться будет заранее выбранная «главная» часть этой матрицы (тем, реже, чем она больше), и уже будет необходимо говорить о квазипериодическом характере воспроизведения начального состояния системы.
в) На первый взгляд теорема Пуанкаре противоречит представлениям,еб эволюции статистической системы в направлении достижения ею равновесного состояния. В частности, на ней строились и «прннципиальные» возражения против идей Больцмана (см. э 6-е) гл. 5). Приведем достаточно стандартный (и.ставший уже «классическим») пример возникновения «противоречия». Пусть малый сосуд с газом находится внутри пустого сосуда большего размера, стенки которого обеспечивают ааиабатическую изоляцию системы от окружающих тел. В момент гз = 0 крышка малого сосуда открывается и газ заполняет всю систему, — это «нормальный» процесс, который только и наблюдается на эксперименте.
Но система удовлетворяет условию теоремы Пуанкаре, и поэтому через какое-то время Т частицы газа вновь ссберугся в малом сосуде, причем совершенно самостоятельно, бсз помощи поршней, насосов н т.п., что с макроскопической точки зрения представляется уже проунщюстественным: таких гигантских флуктуаций никто пикапа не наблюдал. Оставляя в стороне вопрос о том, что необходимые для условия теоремы идеальные адиабатнческие стенки не удошытворяют требованиям, предьявляемым к статистическим системам и что сами понятия термодинамичаского равновесия (псиного илн локального) и нулевого начала термодинамики являются макроскопическими (с механической точки зрения далеко не тривиальнымн), заметим, что из указанного выше «парадокса» можно выйти на основе идей, обсуждавшихся в $1. Действительно, процессу размешнваннд (который позволяет переходить к описанию системы с помошью крупнозернистой функции распределения) теорема Пуанкаре не мешает.
Скорее наоборот, фазовые траектории, начинаюшиеся в точках яа области Я), с течением времени прочерчивают всю область .Й, образуя Зб4 Задачи и дополнигпельные вопросы л главе 5 амебообраэную фигуру со все разветвляющимися, удлиняющимися и утончающимися «щупальцами», что только способствует уменьшению «крупнозернистости* отрубленного распределения й(е, р, г). (Если область ОЗ распадается на несколько подобластей, таких, что фазовые траектории, начинающиеся в какой-либо из них, все время в них и остаются, то эта «амеба» заполнит только соответствующую выбору Я) подобласть.
Физическая реализация подобного случая возможна в рамках, конечно, квазиравновесного состояния, например, состояния с двумя температурами, характеризующими разные типы квазиустановившегося микроскопического движения системы.) Напомним еше раз, что возврат системы в первоначальное состояние яе для системы зт взаимодействующих прут с другом частиц в свете приведенной выше оценки времени возврата и конечности лабораторного» времени наблюдения за системой представляется событием чрезвычайно маловероятным. Поэтому переход к огрубленному описанию системы сводит это событие на нет аналогично тому, как выколотая точка на графике функции не меняет плошали фигуры, определяемой с помощью интеграла.
г) Наконец, условия теоремы Пуанкаре исключают какой-либо контакт системы с окружающими ее телами. Между тем, абсолютно изолированных систем многих тел в природе не существует. Те условные стенки, которые выделяют рассматриваемую систему и находятся с ней в состоянии термодинамического равновесия, несмотря на их откровенную модельность, тоже являются статистическими системами, а эквивалентность выделения системы иэ окружавшего ее мира с помощью стенок какого-либо типа возникает лишь в предельном статистическом случае, впрочем, как и само равновесное распределение Гиббса в любом из его вариантов (см. т. 2, гл. 1, й 3-5), являющееся по своему построению послепредельным.