Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Ь Так как в случае 1ч! < И/3 (т. е. при О ~ Е ц 1/2) процесс рвзмещищния, приводящий к выравниванию этих количеств, соотве/ствует /2/Е ) О, а в случае уу! > 1Р3 (т. е. 1/2 ~( ( м 1) /.'2Е С О, то имеем, что с течением времени в обоих случаях М )О. Этот результат не только рааует глаз, напоминая о сущеспюввнии в макроскопической теории второй части 11 начала термодинамики, но и отдает дань «хитрости» логарифмической конструкции, используемой для опрелеления энтропии.
с $2. Элементарные кинетические представления и оценки характерных величин Задача б. Определить среднее значение модуля относительной скорости двух частиц равновесного идеального классического газа. Решение. В соответствии с распределением Максвелла вероятность обнаружить скорости двух частиц в области значений (тп уз + /!ч!! т„уз + /!тз) равна в(т,,т/)пт!а«3=в(ч,)в(ч/)!!ч!дч/= ~ — ) ехрс — — 12 ~ — ) ехрс — — /еч!дт/. ~,,2хВ) ~ 2В ~'~2ха) ~ 2В 1 Отметим интересное свойство этой формулы.
Перейдем к переменным, характеризующим скорость движения центра инерции двух частиц и их относительную скорость: ГП3 т,=ч+ — в, ГП! + /Н3 ( ГЛ! + /Н2 или и =т! -«21 Нч! Ч2 в 3/- — В. /н! + ГП2 369 2 2. Элененшарные конелшческне вреде/повленил и оценки Якобиан преобразовання (т,, тз) - (в, Ч) равен, как несложно показать, единице, щз Х гп/ + гпг д/(т/, тз) о(в, Ч) -гп/ — ° ! гп/ + /пз где / — трехмерная единичная матрица. Пересчитывая сумму кинетических энергнй т,е, гоге/ М1/~ Ри — + — = — +— 2 2 2 2 ' где полная н приведенная массы в системе двух частиц ~1 1 1Л М = ш/+пгм — = — +— гп/+гп, !хд гп, гнзг! мы получаем, что распределения по Ч н в являются не только независимыми, но и чисто максвелловскнми: гМ~//з г М1/з! г Р Лз/г г нг! м(тот/) /Гг, /Гтз = м(Ч)м(в)/!Чав = ~ — ) ехр ( — — ~.
~ — ~ ехр ~ — — ~ ИЧ/Гв. ~2 В) ( 2В )1 ~2яВ~ !( 2В)У После сделанного замечания расчет интересуюшей нас величины элементарен: 3/2 2 ~"~=.0)" -").(" ")"" =(2".Р) 1'-хР(-М=~-.',' Вводя характерную для равновесного классического газа масштабную единицу скорости 86 )т) = 6 = ~— яп/ н учнтышя, что в случае одинаковых частно Р = ш/'2, получаем )и! = И = т/2 6, т.е. интересукицая нас средняя скорость относительного лвюкения почти в полтора раза больше средней скорости частнш г> Задача У.
Оценить среднюю длину Л н среднее время т свободного пробега частиц классического газа низкой плотности, считая полное сечение рассеяния частиц друг с другом известным. / — ',— Т / наг Решение. Эта задача, решение которой основывается -г на подсчете среднего числа частно, падающих на дру- 2ге гую частицу (нлн еше какой-либо абьект), характерна для элементарной кинетической теории, основанной на использовании распределения Максвелла. Величины Л и г явлватся масштабными свининами длины н времени в системе частно со взаимодействием, поэтому их оценка лаже в упрощенном варианте предстввляет несомненный интерес лля всей кинетической теории.
Рис. 221. К выводу выражения для 0/таничиваясь парными соударениями частиц, среднею числа парных соударений клас- рассмотРим лве нз них в системе отсчета, в которой сического газа за секунду одна частица неподвижна, а другая по отношению к ней имеет скорость в.
Для простоты оценки будем считать, что частицы представляют собой сферы радиуса г,. Построим (рис. 221) цилиндр с образующей нЖ н плошадкой а = а.(2ге)' = лясса в основании. тоглд за время /21 все частицы, имевшие относительную скорость в, центры которых будут находиться в этом цилиндре, налетят на частицу 1. Среднее 370 Задачн и дллолншпельные вопросы к глава 5 число таких частиц 2, имеющих относительные скорости в диапазоне (м,и+ ен), равно оиЫ ° пм(н) еи. Интегрируя по всем значениям модуля относительной скорости 0 ( и ( оо, деля на оьс н устремляя о»1 -«О, получим для среднего числа парных соударений одной часпщы системы за секунду величину 1 Г мы 1пп — / ем еиГЛГпн(и) = не~ — ) / ояи~схр~ — — ~ он = пей = потг26.
ь о!с/ ~4яв),/ 46 ) Так как за секунду частица системы пробегает в среднем путь 6, то для средней длины свободного пробега Л и среднего времени г получаем оценки 6 1 1 1 1 /'Бч зГ2по, и .Г2пой опо !( 6 Условие разреженности системы, которое позволило нам испольэовать схему, изображенную на рис. 221, можно записать как Л > го. Из приведенной ниже таблицы значений Л и т для ряда швов при нормальных условиях (О' С и ! ат) следует, что го составляет от Л лишь доли процента. Значения средней донны свободного пробега Л н среднего времени свободного пробега т для газов прн нормальных условиях (1 = 0' С, р = 7бО мм рг.
сг.) Характерные масштабы полученных величин состааояют Л 10 о-10 о см, т 1О 'о с. Для определения этих характеристик в других условиях достаточно прибегнуть к простым формулам пересчета: по Р Ро ! 6 Ро л = л — = л — —, т = т = оуг —. —. н Ро р 6' во р Для того чтобы длина свободного пробега стала сравнимой с лабораторными размерами, мапример Л 0,1 см, необходимо понизить плотность шэа в 10о раз. Для «космической» плотности газа и 1 см ' величина Л достигает (в предположении, что газ в межэвеэлном пространстве сосюит из нейтральных частиц) также космических размеров, Л 3 10'о см.
Этот путь свет проходит почти за 3 ч. Задача 8. Определить среднюю длину свободного пробега частицы в классическом разреженном газе твердых сфер, имеющей заданную скорость о = !т1. Решенне. Повторяя построение, использованное в предыдущей задаче, имеем для величины и» в качестве исходного выражения ьч н»»о / йт'( — ) ехр ( — — ) (т — т'!оп. 5 2. Элененшерлые кинешичесипе предсшаеления и оценяи Э71 Вводя новую переыенную интегрирования в = в' — т, замечая, что во = от + вт — 2инсов тз, и интегрируя по углам 2в.
/ ехр ( — сов та~ вгп гэ гйэ = — — (ехр ~ м™~ ~ — ехр ~ — — ~), в получаем после нссложнык преобразований а х — -х+ — х '-... а случае х й; 1, Г г 3 1О ,р(.) -Г ьгьв в -тГй — — е ' ~1 — — +...) вслучае ха!. 2 2х Х 2хт В случаях малых и больших скоростей е по сравнению со средней тепловой скоростью среднее число соударений с другими частицами за секунду опрелсляется без таблиц (рис. 222): 2 в случае — ч, 1, 2Р ит ы тне в случае — Ъ 1. 2Р Заметим, что значение этой величины при в = О (покоящеяся частица нли просто большая и тяжелая частица) равна «поверхности» частицы Б = 4М = 4а, умноженной на среднее число частиц газа, падающих в секунду на 1 см' поверхности, (1/4) ° нд.
т=-~ Рис. 223. Зависнность от скорости частицы среднего врененн и средней длины свободного пробега Рис. 222. Зависимость от скорости част»цы среднего числа соударений с другини частицани эа секунду гле интеграл ошибок (табулированная величина) О 1 л=~»" З7г Задача и дополнительные запросы к главе з Для среднего времени своболного пробега т, и средней длины свободного пробега,А, частицы со скоросп ю е имеем соответственно юе~ в случае — ч:. 1, 2Р 1 т,= — ш н, нвез в случае — .м 1 2Р пю в случае — й 1, 29 е л,= — ш н~ пге' в случае — Ъ 1. 2а Задача 9.
Определить среднее число таких парных соударений сферических упругих частиц разреженного газа, происходящих в 1 смз за 1с, при которых: а) проекцив скорости относительного движения на линию центров н„ в момент столкновенмя превышает величину ео = ~~~,' а') энергия «перпендикулярного» соударения н~/(2пв) лежит в интервале значений (ео ео + г(ао); б) относительная трансляционная энергия частиц превышает значение е'; б') энергия относительного движения лежит в интервале значений (е*, е' + г(е').
Решение. На сфередействня с радиусом 21 = г~ +гг (г~ и гв — цвдиусы взаимодействующих частиц, которые мы не считаем обязательно одннаковмми), прелставленной на рис. 224, отметим штриховкой кольиевую пяоишдку ба = 2е11 в1п д 21 ед = 2а в1п д од, где а = в звг — полное сечение. Вместо угла е можно фиксировать прицельное расстояние а = 21в1лд. Среднее число столкновений частиц сорта 1, одна из которых помещена в начало коорлинат на рис. 224, с частицами сорта 2 (илн частицами того же сорта), модули относительной скорости которых лежат в интервале (и, и+ Фи), а угол д (нли прицельное расстояние) — в (е, д+ ад), происходящих в 1 смв системы за 1 с, равно м г~+гз Рис. 224.
К расчету числа соударений сфернческнх частиц с заданнын пркцель- ным расстоянием а = 21 в!пд ур ~зю г „11 йнвл=2ампддд псевд н~ — ) ехр~ — — ~еенгди, ~2ед) ( 2д ) здесь т п~пт — ° н, — одинаковые частицы, и= — = 2 а!2 и, нг — разные частицы, гле п~ н пг — плотности числа частиц сорта 1 и сорта 2. Заметим, что, проинтегрировав зто выражение по углам, шг 1 в!п д сов д йа = —, 2' о На рнс. 223 зги зависимости представлены вместе с нх средними (по максееллоаскому распределению) значениями, рассчнтаннымн в предыдушей задаче. 5 2. Элеменгларные кинеюические лредсшавления и оценки 373 мы получим подынтегральное выражение в определении величины н в задаче 7. Но угол В у нас теперь ограничен условием ев 1 л> х = соз В ) )—, н в связи с чем интеграл по В уже не будет равен 1/2, ! ез ( хде — — (1 — — ), чг» и лля требуемой в и. а) условия задачи величины н,,>ч получаем зГз и иа(2 В) 4к/ехр( 2В ~ ( ')о ан = иа — ехр — — = пабе "' = не "' '(( зггз ( 2В ) Для требуемой в и.
а') условия величины Ынм, отсюда сразу имеем -, гв ггве мГв Вез = иан е-««1 — не-~»Г В В Полученное выражение для н,>нн определяющее плотность числа столкновений частиц с относительной энергией выше пороговой за секунду, имеет непосредственное отношение к задачам зиементарной химической кинетики. Кроме того, заметим, что исходное выражение Внв,„ по своему физическому содержанию и конструкции соответствует второму слагаемому в интеграле столкновений Больцмана (см. $6), описывающему среднее число столкновений частиц со скоростями ч и ч«, с прицельным расстоянием из интервала (о, а+ Ие), происходящих в 1 см пространственно однородной системы в секунлу.
Для решения и. 6) задачи позаимствуем из задачи 7 выражение для среднего числа соударяюшихся за секунду частиц с модулем относительной скорости из интервала (и, о+ до): Вн, = 4к( — ) пав ехр ( — — ~ гзи. Произведя замену переменной сз = шнз/2, и = т/2е'/ш, получаем сразу для величины, требуемой п. б') задачи, В '1В/ В В' ее/В нни с'/В е /В « е'/В а) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
