Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Вводя новую переменную ннтегрнровання и,' ю и, — ах н учитывая симметрию функции Го(ио', и„, и,) по отношению к своим аргументам, получаем Р, =-а) Ви,Вводи,т — в,тю,Ро(в„и„,и,) =-ае. ! о о Учитывая, что (ю',)' = ю,' = В/т, получаем для коэффициента внутреннего трения в прнблнженнн т = сопц 0 ~ твр. В приближении Л = сопм (т = А/и) интеграл, определяющий коэффициент О, элементарно берется в сфернчсскнх коордннатах: 4 0 = — вАяю, 15 Характерное отношение гэст/(кво), отмеченное в конце задачи 14, в приближении т = сонм доя одноатомных газов (ет = 3/2) равно О,З, для двухатомных (ст — — 5/2) — 0,5, а в приблнженнн А = сапог — 0,4 н 2/3 сй 0,67 соответственно, что весьма близко к реааьным значенням этого параметра. Задача ЗВ. Считая электронный гаэ в металле классическим газом, рассчитать: а) проводимость а при условии д = сопя!; б) геплопроводносгь газа при условии отсутствия электрического тока (электрически иэолнрованный ог термостагов проводник).
Решение. Ввиду отсутствия объемнмх зарядов в проводнике в стационарном случае плотность электронного газа совпадает с плотностью ионов решетки, поэтому в этой н слслуюшей задаче можно считать и = сопя!. Полагая электростатическое поле Е = (О, О, Е), имеем для стацнонарной функции распределения согласно й 3 I ВРо ВС/ 1 дРо т д др теЕ Г = Го — и~и,— — — — ° — ) = Го — ти,п — м(т) ° — — — и„вм(т).
дх Вх т ди,) ' ВВ дя В а) Электропроводность. Полагая В = сонэ!, получаем для электрического тока Х = -еу', закон Ома: егв /зъ'~ 1 = -е о/ и,Г ат = Š— ~ — ) = Еи, в ~3)- откуда в прнблнженнн т = сапог н Л = сспм получаем для провоанмостн соответственно (см. щаачу 15) о та 2 Аи а те — н а=ве —, но ЗВ б) Теплопроаодность прн условии У„= О. Имеем совместно ВВ д (тих) еЕв (тих) Во В~ ' '~ о Š— в ( ' ) ~ ' ) дх ВВ1,3 2) В ~3 2) Задачи и дополнительные вопросы я главе 5 Обозначая фигурирующие здесь средние теми же буквами, что и в задаче 15 (но ни в коем случае не придавая им смысла каких-либо козффициеигов переноса), получаем для электри- ческого поля, препятствующего распросгранению тока, еЕи 235 ВВ В Е Вз* исключая которое из выражения для у„ имеем 88 ( 2»ох.1 ВВ дз( 23 3 Вх Подставляя рассчитанные в задаче 15 в случаях т = сопи и Л = сопи интегралы, получаем соответственно 5 тпв хы- ° — и х=-иЛР, 2 и» 3 Образуя из полученных вмражений лля е и х безразмерные отношения, не содержание параметра т илн Л, приходим к закону Видемана — Франца (О.
М6евепюпп, В. Рщпх, 1о53) лля т = сопзг и Л = сот» соответственно: е»х 5 е»х ед 2 ед Экспериментальное значение этой константы лля электронного газа в металлах близко к 3 (см. слелующую задачу), в полупроводниках с низкой плотностью электронного газа (невырожденный случай) она близка к 2, Задана 19. Решить ту же задачу 18, считая электронный гаэ в металле вырождеииыи (реальный случаи). Решение.
Таккактемпературавырожденияэлектронногогазавметаллахсоставляет!0 -10 К, 5 о то необходимо исходить из низкотемцературного приближения. Напомним некоторые формулы из равновесной статистической механики, относящиеся к этому вопросу. Обозначим 1 р» и(е) = с= —, с»'-МВ+1' 2т' тогда для функции Ро (см. 3 3) имеем 2»и» Г лг Ро = — и(г), / Роет= — = и.
— (2эй)5 / Р Интегралы по т удобно будет п»юдетавлять как интегралм по энергетической переменной е: ЯЮ 3/» / ...5»т- 4»г / ...э»о»э =4»г( — ) ° — / ...е'5»ве. о о Наконец, напомним еще низкотемпературную аппроксимацию для фермиевых интегралов по В С ег = Ро = (Ь»/2т) ° (Зя»1»Г/У)ЫЗ (см. т2, гл.2, й 2-в)): ОО я» в 3 У"(-'— )" =""- =»'Г" — '-.(!) -3 о Выражение для функции распределения (см. задачу 10) / ВРо е дРо 3 Р= Ро — т~ э,— — — Š— ) Л,*дз »и де,) целесообразно несколько преобразовать, Так как дРо дРо ВР дРо да ВРо дРЗ ВРо е — Р ВРо — = — ' — + — '— дз ВР дз де Вз' Вя де ' 89 В де ' 83. Опаг(ионорное нинелгочесное уравненое с релонсоцоонним членом 383 кроме того, ввнву е зп(ег+ег+юг)/2 дЕе ВРе — = пзе,—, де, 'де' имеем з а) Элехтропроводность.
В случае В = сопэг (и = согмг по условию) исчезают пронзволные по э, ВРе/дэ = О, и мы имеем лля электрического тока 2зпз до(е) 1=-е еРг(ч=Е е ) — тс,~ — — ~й= (2 а)з '( де ) 2Н' згз Г / дп(е)Л =Е е ) тем ~ — — ) Их=Ее 3тпегн ) ~ ° ) о (в интеграле по ч мы сдслалн замену ег -+ (ег + сг + ез)/3 = ез/3).
Пренебрегая температур- ными поправками (чнтатсль при желании может учесгь их самостоятельно), т, е. полагая дп(е) — — = В(е — ро), ра = ет, д получаем, обозначая значение времени пробега н длины пробега электрона на поверхности Ферми /2ре т(ст) = т(не) = т, Л = стт(ст) = 3~ — т, лля проводимости формулу, полученную Зоммерфельдом (А. Бопнпег(е18, 1928), ег от 2егпзЛ е" = = 'Ие. зп 3еглз б) Теплопроволносзь электронного газа прн условии 1 = О. По сравнению с классическим случаем рассмотрение в техническом отноюеннн несколько усложняется. После перехода к интегрированию по е имеем 2з/зепи 1 Гдр р дВ е ВВЧ згг / дп(е) Л 1» ~ — +еŠ— — — + — — ~е 'г~ — — ) ее = О, 3тегй~ дэ В дэ В дэ Ве е 2лг зм, ГВ„„ВВ Зг— ) т ° ~ — +еŠ— — ° — + — — ~е ~ — — /1 г(е. 3 Н) (дэ В дэ В дэ) 'з, де ) е Обратим внимание, что интегралы, содержапзне дд/дэ, лавут вклад только прн учете первок поправки к фермневскнм ннтеграэам: 00 В о ог 5кг В е Задачи и дополнишельные вопросы л главе 9 Поэтому, сохраняя низшие по степеням В/ег члены, получим после интегрирования по с т(де)2ж~ш~г~ 252 Гдр тз В ВВ) Згпя2Л дз 2 и дз! 1« и" ~ — +еЕ+ — — — ~.
522 т(52«)25гзш222 2 ( 022 Зяз В ВВ) Зщязй' ~дз 6 52 дз~ исключая поле е (сразу всю комбинацяю Вгг/Вз + ее), приходим к закону Фурье: дВ 1,=- — к дз с явным выражением для коэффициента теплопроводности 2 пВт 2ВшЛ225 К = 22 Зт 962 Результатм теории Зоммерфельда дают очень неплохое значение для константы закона Видемана — Франца: 2 К 2Г 2 е — = — ъ 3,29. ад 3 Константы закона ймдемаиа — Франца длв металлов арм коммвгимх гамяературах Вообще же зта «константа (часто называемая числом Лоренца), измеренная на эксперименте, зависит от температуры, хотя и не сильно (рис. 231). Эту зависимость в нашей грубой теории, основанной на полуфеноменологическом кинетическомуравненми срелаксационным членом, обнаружить не удается. ек ад Задача 20.
Используя результаты задачи 19, оценить коэффициенты Е, П и т, характеризующие термоэлектрические явления в металлах. 100 200 300 Решение. Прм оценке укаэанных величин в принятом в этом параграфе приближении мы почти сразу (при определении поля Е внутри проводника) обнаружим, что кинетическая характеристика Л (или т) вообще выпадает из рассмотрения. Прецедент такого рода, впрочем„у нас уже был: коэффициент тть, определяющий величину эффекта Джоуля-Томсона, тоже не зависел от Л.
Ограничимся сразу рассмотрением вырожденного случая, предоставляя читателям самостоятельно проделать аналогичные выклааки дея классического электронного газа. Выражения для потоков 1„(1 = -еу„) и 1, в предыдущей задаче были уже написаны. Остается только сопоставить их с формулами полуфеноменологической теории явлений переноса (см. $2 в гл. 4).
При этом оказывается, что достаточно рассчитать только один из этих коэффициентов, например 8, определяющий термоЭДС в случае 1 = О. Условие 1 = 0 дает для напряженности поля Е внутри проводника 2гз В ВВ Вд еЕ = —— 2'и д В' Рис. 231. Темлературмая зависимость константы закона Видемаиа — Франца (чмсло Лоренца) дяя ряда металлов 386 Задача и дапалналгельные вопросы н главе 5 в 4, Релансационный член в уравнении Блоха. Эволнуция двухуровневой системы Рассматриваемые в этом параграфе системы — зто, по существу, механические системы (точнее, системы слабо взаимодействующих друг с другом «частиц» с внутренними степенями свободы), взаимодействие которых с термосгатом (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
