Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 88
Текст из файла (страница 88)
239-1-239- 1О схема была экспериментально реалиювана в качестве одного из возможных вариантов спинового эха в 1971 г. американскими физиками У. Римом, А. Пайнсом и Дж. Вантам («У. В3»1ш, А. Р!пез, 1. Угапя). Результат измерения магнитногомомента системы приведен на рис.240. Время 1, было выбрано равным 1, = 88 мкс (на целый порядок больше времени спин-спиновой релаксации тг). Воспроизведение импульса намагничения, произошедшее через 350 мкс й 4аы оказалось достаточно убедительным (небольшое снижение пика возникает за счет неучтенных в идеализированной динамической схеме, представленной нв рис. 239, всех частностей релаксационного процесса).
Помимо этого простого» варианта эха указанные авторы осуществили и более сложные: двугорбые, обращенные, многократные и т.д. Обсудим некоторме интересные особенности эффекта Хана. Прежде всего, обращает на себя внимание, что в рассматриваемой системе, когда т, порядка десятков минут, а т, 1О з с, он реализуется в широком диапазоне значений 1, (лишь бы 1, «К г~). Примечательно, что даже при 1, л» г, (см.
рис. 240), когда поперечная намагниченность полностью срелаксировала до нуля, сама система в целом все еще «помнит» свою историю и сохраняет информацию о своем начальном неравновесном поперечном состоянии вплоть до времени полной релаксации т,. Это сохранение «памяти» является чисто динамическим эффектом, связанным с тем обстоятельспюм, что на временах Г ч.
т, спин-спиноваа релаксация происходит практически без передачи энергии в термастат (используя расхожую терминологию— «без диссипации»), т, е. без энергетического обмена с ним, вносящего необратимый хаотизационный фактор в эволюционный процесс статистической системы. Вопрос об интерпретации явления Хана не совсем прост. Можно отнестись к нему как к чисто динамическому эффекту типа: если скатывающиеся с горки санки на полпути толкнуть обратно, поменяв направление их скорости, то они снова вкатятся на первоначальную высоту. Конечно, система большого числа магнитных моментов — это статистическая система, а не какие-то «санки»„но обьяснение спинового эха на основе продемонстрированного выше динамического подхода полностью уподобило бы его парадоксу Лошмидта (см, гл. 5, 96-е)). Напомним, что в системе из нейтральных частиц типа пюа Лошмнлт прелложил в момент 1 = 1» мгновенно поменять скорости всех 1«' частиц газа, т; - -т;, » = 1,..., Аг.
Тогда в соответствии с законами механики к моменту 1 = 21» система возвратится в свое начальное (при 1 ш 0) состояние, сколь далеким от равновесного оно бы ни было заранее (при Г < 0) приготовлено. Так как реально эту операцию переключения скоростей произвести невозможно, то для ее хотя бы мысленной реализации необходимо воспользоваться услугами демона Максвелла. Этот хитрый демон был придуман для того, чтобы путем созлания вечного двигателя второго рода опровергнуть П начало термодинамики: не совершая физической работы и не потребляя никакой энергии, он способен сортировать частицы равновесного классического газа по скоростям, пропуская через вбвремя открывающуюся дверцу в отдельный контейнер только бмстрые.
Таким образом, без энергетических затрат возникает подсистема с более высокой температурой, которую уже можно было бы использовать как нагреватель для обычной тепловой машины. Обратим теперь внимание на то, что обращение динамики системы с электромагнитным взаимодействием связано не только с обращением скоростей т; — -т;, но и электрических токов и соответственно магнитных полей (с этим обстоятельством мы уже сталкивались в гл.4, $1). И если теперь в момент времени 1 = 1» (см. 238-3) заме- 8 5. Сисглемп уравнений для неравновесных функций распределения 399 нить Не — — (О,О,Н«) на -Н« — — (0,0, -На), то прецессия моментов будет происходмть с угловой скоростью ы« — — (Н«, но уже против часовой стрелки (это чисто теоретическое переключение не только «мгновенно», но и полностью лишено переходных явлений).
В системе координат, вращающейся с этой скоростью, «быстрые» моменты (ыл > ьь), располагающиеся по-прежнему в нижней полуокружности 238-3, н «медленные» (ыз < ы«), — в верхней, начнут обратное свое движение, складывая веер моментов и проходя все промежуточные положения 238-2 (с обращенными направлениями угловых скоростей), пока в момент ! = 2!« не воспроизведется исходное состояние 238-!. Описанный процесс воспроизведения начального состояния системы после произведенного в момент Га гипотетического (с помощью демона Максвелла) «переключения» скоростей представляет собой в чистом виде парадокс Лошмндта, переведенный на систему магнитных моментов, Как мы только что выяснили, эффект Хана, внешнее проявление которого (спиновое «эхо») идентично лошмидтовскому возврату к начальному состоянию, имеет иное физическое содержание, к одной из возможных интерпретаций которого мы сейчас переходим.
С этой целью удобно воспользоваться квантовомеханическим шредингеровским формализмом, так как в данном случае он намного компактнее лиувиллиевского. Предположим, что в полном гамильтониане системы Й вьшелена часть Й,, описывающая спин-спинохое взаимодействие и связанная с релаксацией поперечного намагничения системы, й=й,+йь В принятых нами ограничениях на время ! < т, и г, ~ г, эффекты, связанные с некоммутативностью Йа и Й„могут быль отнесены к малым поправкам.
Тогда эволюция системы может быль представлена волновой функцией (см. гл. 5, 8 !) Ф(г) = ехр ( — -(Йр+ Й)г1Ф(0) = ехр « вЂ” -Йег)Ф~(г), д ) где волновая функция в квантовомеханическом представлении взаимодействия (т.е, та ее часть, которая в нашем случае характеризует поперечную релаксацию) в сделанных предположениях запишется как ((- ( ( «- \ Ф(!) = ехр ~-Нег) ехр ~ — -НГ) Ф(0) Рв ехр ! — -Н Гз Ф(0), тогда как оператор эволюции ехр (-„-'Й«г ) в нашей схеме соответствует прецессии вокруг оси х с угловой скоростью ые = (Н,. В соответствии со схемой эффекта Хана, представленной на рис.
238, эта прецессия сохраняется на всем протяжении времени Г (от Г = 0 до Г = 2Г« и далее). Процесс же «обратной» релаксации спинов (сворачивание их веера), начавшийся в момент Ге, с точки зрения последней формулы естественно интерпретировать не как изменение знака времени ! (что вообще невозможно, так как в нашем мире оно всегда течет в одном направлении), а как изменение в момент г = г«знака спин-спинового взаимодействия Йп Придерживаясь «демонической» терминологии, «дух», способный по распоряжению экспериментатора мгновенно переключить знак взаимодействия магнитных моментов, был назван «демоном Лошмидта . Так как рассматриваемое нами взаимодействие пропорционально либо квадрату магнетона Бора ед/(2гис), либо обменному интегралу, то в любом случае оно пропорционально квадрату зардда электрона е, и задача демона Лошмидта, состоящая в замене е' — -е' оказывается настолько необычной (замена заряда е на мнимую величину «е), что жке привыкшему «работать» только в действительном пространстве демону Максвелла она должна показаться достаточно фантастичной.
Ь в 5. Система уравнений для неравновесных функций распределения Задача 28. Для классической системы зз( частиц с парным взаимодействием написать цепочку уравнений Боголюбова для функций распределения Р,. Записать первые два уравнения этой цепочки, выделив корреляционные части в функциях Рз и Рз. 400 Задачи и дополнительные вопросы х главе 5 решение. Гамид«тонная системы запишем в несколько условном виде как И= ~ ~Н(з)+ ~ Ф(з,у), !<!<Я 1<!<ЗСЯ где 2 н(1) = — 1+1/(гз), Ф(з,д) = Ф(/,1) = Ф()гз — гз!).
2пз Если ввести операторы рг д, / д д здФ(з,у) (0= — — » ь(',д)=( — — — ) т дг! 1,др; дрз/ дг то уравнение Лиуеилля можно записать как дмя дт !к«як !я!<14« Обозначая х« = (г«, рз), запишем определение функции Р,: Р,(1, х„..., х,) = У" / вя да< н " дхи. Умножим уравнение Лиувилля на У' и проинтегрируем по всем хг, начниая С 1 = Е +!. Тогда, учитывая, что члены, в которых дифференцирование и интегрирование производятся по одной и той же переменной хг (т.е. лля ! = «+ 1,...,1«г), обращаются в нуль, получим, полагая в статистическом предельном случае (12' — е)/У = 1/е, — ( ~~! Ь(з) + сз! Х(1,/)) Р, = !<злю 1<д<зсв 1 ч / Вх,«1 Ь(1, в + 1)Р„1 (1, хз,..., х„х,«1 ). 1<!Яз Выписывая это уравнение для случаев в = 1, 2, 3,..., получим цепочку уравнений Боголюбоаа (см.
$4 гл.5). Выделение корреляционных частей в функции Р, связано с идеей ослабления корреляций между частицами или группами частиц при раздвижении их в координатном пространстве на достаточно большое расстояние: Р, «(з,хз„...,х„х,„„...,х«ы) Р(1,х1,...,х,)Р«(г,х+„...,х, «), !(г„ ..., г,) — (г, ,, ..., г, «)! — оо. Если бы состояние частицы 2 не зависело от состояния частицы 1, то в соответствии с вероятностным сммслом функций Рз и .Р1 Рз(1~ х! х2) = Р1(г, Х1)Р1(С, х2). Однако реально эта независимость имеет место не при всех значениях г, и гз, а только при )гз — г,! 2«Н н„поэтому в общем случае в функциях Р„Рз и т.д.
можно выделить зти корреляционные части, существенные в области )гг — г;! < н н равные нулю вне ее: Рз(1 хз х2) Рз(1 хз)Р1(! х2)+«<2(! х! х2) Рз(1, х „хг, хз) = Р1 (1, хз)Р1(1, хз)Р1(Ю, хз) + Р1(1, х1) 02(! хм аз) + Рз(! хз)62(1, хз, хз) + + Р!(1. хз)О2(1 хз, хз) + Оз(1 х1, хм хз) и т.д., причем 1«2(1, х1, хз) -! О, если !г! — гз! - со.
61(1,хз,хз,хз) -! О, если любое из !21 — .21, )г1 -гз! )гз гз! ' со. $5. Система уравнений для неравновесных функций распределения 401 Первые два уравнения цепочки Боголюбова при подстановке в ннх выписанных выше конструкций приобретают вид нелинейных относительно Ры Сз и т.д. интегральных уравнений: дР~(йх~) 1 /' дг = Х(!)Р)(й х~) + — Х(1,2) [Р1(г, х))Р)(1, х)) + Сз(Кон ха)1 ахз, е ./ дбз(д хн хз) д! = (Х (1) + Х(2) + Х(1, 2)) С,(1, х,, хз) + Х (1, 2)Р(г, х~)Р(К хз) + 1 + — / ахз Х»(1, 3) [Р1(г, ху)бз(й, хз, хз) + Р~(Г, хз)Са(й, хм ха) + Сз(Г, хн хм хз)! + 1 Х + — 3( Ихз Ц2, 3) [Р)(й хз)бт(Г, хц хз) + Р)(К хз)бз(К хн хз) + Сз(С, хм хц хз)1 ° 1» Задача 29.
Написать систему уравнений, позволяющую рассчитать одночастичную функцию распределения Р! с точностью до первой поправки включительно по параметру низкой плотности. Решение. Пусть потенциях взаимодействия частиц друг с другом соответствует случаю нейтральных частиц: на расстояниях В 2ге — интенсивное отталкивание (типа.твердых сфер), при увеличении  — быстрое спааание взаимодействия до нуля при значении В = Ве, называемом рааиусом взаимодействия. Низкая плотность (или «короткодействие») — это условие малости Ве по сравнению со средним расстоянием между частицами, или Вз — < 1. Потенциал Ф(В) входит в оператор Х(й у), который, находясь под знаком интеграла, вырезает область интегрирования порялка Вез, что вместе с множителем 1/е, стоящим перед интегралом, образует этот малый параметр.
Поэтому, если мы представим искомую функцию Р, в виде разложения по этому параметру (т. е. по степеням плотности и = 1/е — так называемое вириальное разложение) Р, =Р +-Р) +..., !О) 1 1) 1 то в интегральный член правой части первого уравнения цепочки достаточно подставить ну- левое приближение для функции Сз, уравнение для которого получится из второго уравнения цепочки, если опусппь в нем интегральные члены: ВР)(г,х)) — = Х(1)Р)(г,х,)+ — Х(1,2)[Р,(Ф,хДР,(с,хз)+С)(дхнх))~ г)хт, б! ' е/ дбз(1 хи хз) дг = (Х(1) + Ц2) + Ц1,2))Сз(Г, х~„хз) + Х(1, 2)Р)(й х1)Р~(Г, хз). Для получения уравнений, гарантирующих н вторую поправку по Ве/е, необходимо привлекать уже уравнение для коррелвцнонной функции Сз (хотя и в нулевом порядке).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
