Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 91
Текст из файла (страница 91)
так как ве — — О, то пщродинамическаа скорость в = в~(г, г) также является возмущением. Выражая градиент давления Р через р| (считается, что уравнение состояния Р = Р(р, д) в принципе существует), получим дР ЧР = — Чр = с Чрп др где с' — положительная величина, дР ! дР ез/ дР~ др пз дп гп ~ де / в силу условия термодинамической устойчивости системы др/дв < О (для системы нейтральных частиц величина с — стандартное выражение для скорости звуке). Сохраняя в уравнениях пглролинамикн только линейные члены по возмущениям, имеем, учитывая электростатическую природу силы Р, р1 + ре аЬ в, = О, рев, + с Чр~ = ре — Е~ з пз е агч Е~ — — 4лр~ —. пг Об. Линеаризаяаннае линешичеслае уравнение в приближении дальнадейопяил 411 Исключая Е, из второго, в~ из первого уравнений, получаем » »» е Р', - с 5» Р, + 4лло — Р» = О.
Если искать решение этого уравнения в виде распространюощейся волны р, ю р»„° е то, положив ро — — гл, сразу получим дисперсионную формулу » 4яе и ы = — +се, гл структура которой нам уже известна, и предпринятое здесь рассмотрение может служить лишь нллхктрапией к 0 5-6). Рассмотрим теперь систему гравитирующих частиц. Закон Кулона заменвется законом тяготения Ньютона (всегда только притяхенне), е» бгл» !г-»! !г- Г Всюду однородным по плотности р облако гравитируюших частиц, конечно, быль не может, но где-то в районе его центре можно полохнть р = ро и самосогласованное поле (Е)о — — 0 и на этом фоне рассмотреть возмущение р, и соответственно в, н Е,.
Будет все то хе самое, только мы получим другое дисперсионное уравнение 0 (е -» -бп»»; ь»оц — » -4»гбро) (рис.244) 4ябро+ с й . » »» -4л~Ро Обозначая 4ябро»п Рнс. 244. Зависимость квадрата ча- стоты колебаний от веянчннм еолполучим, что при В < й колебания плотности неусгой- нового вектоРа е системе граентн. чивы (чисто мнимая частота о»), при й > йо — возмож- Рую»чн~ чвщ"ч Ахнпсв ны устойчивые колебания плотности.
Эта неустойчивость системы гравитирующих частиц по оппипенню к возникновению возмущений ее плотности была отмечена уже Джинсом (1,1еапз, 1902, 1929). Определяя максимальную длину вопим, при которой колебания еще устойчивы, как ! 2а' 1»' яст 1 яа 1,= 2 йо 21/ бро 2)( б»про полагая, что средний молекулярный вес межзвездной среды имеет величину ° 1,5, вводя кельвиновскую температуру 7 и плотность числа частиц н = »»Г/1», имеем Гт А» щ 5,206»г — парсек, ум (1 парсек и 3,26 световых года = 3,08 1О" км).
Подставляя сюда разумную величину дла н (от О,! до 1О частиц в 1 см ) и температуру (!-10 К), получаем для А» величину, неожиданно соответствующую наблюдаемым толщннам дисков галактик (1О»-! 0' парсек). Это совпадение тем более удивительно, что галактики существенно неоднородны, и идеализированная модель Джинса (да еще в ньютоновском приблихении), конечно, никогда не реализуется. В следующей задаче, приведя анализ дисперсионного уравнения, полученного для частоты колебаний плотности с помощью кинетического уравнения в приближении самосогласованного поля, мы увидим, что в случае гравнтируюших частил оно вообще не имеет решений, соответствующих устойчивмм колебаниям плотности.
Задача 38. Исследовать решения днсперсноннога уравнения для частоты колебаний в однородной системе с взаимодействием частиц, пропорциональным !)т. 412 Зодочц и дополнцшельные вопросы и главе 5 Решение. Основная формальная трудность, с которой мы встретились в 9 5-6), — это расчет интеграла, входящего в дисперсионное уравнение. Вообще говоря, этот интегрол достаточно хорошо обсчитаи, установлена его связь с другими интегралами, в частности, с интегралом вероятности, имеются подробные таблицы н диаграммы уровней его реальной и мнимой частей в толстых справочниках, но такие таблицы — это же не таблицы умножения, которые выучиваются наизусть, поэтому мы постараемся провести не очень слакное аналитическое его исследование.
Обозначим г огггг 2 ш г" г 2 Н ' 0 дг' тогда тле, г 2 т г.~','-,.' = + е, ехр — — *~ г!е, где +оР +о Х(а) = — 1т — е дх = — у — е «!х, 1(а) = «г -ае ' 1 ! х оггг 1 1 х оггг г я — ггг «/2я яУ х — а Яя я7 хг — аг ' !г' 2 (вторая форма интеграла Х(а) получается из первой при умножении числителя и знаменателя полынтегрваьной функции на х+ а и сохранении ее симметричной по х части). В случае а Ъ 1 интеграл,7(а) был уже нами рассчитан в 4 5 (там рассматривался случай ы «ыо, е12 /(пхоо) < 1, и мы несколько позже воспользуемся этим результатом).
для оценки этого же интеграла в случае а «К 1 воспользуемся следующим приемом: положим в Х(а) (первый вариант интеграла) х — а = и и разложим подынтегральную функцию в !ящ по а„ «.«О 1 Г „~ы/ а1/ а!22121«1 Х(а) = — у див " ~! + — ) ~! — иа — — + -и а + -иа + -а — -и а +... ). Остается только перемножить скобки и учесть, что (12'и)=й=иг=б, и'=1 ит.д. В итоге получаем (с привлечением результата 4 5) 1 — а + — а —... 5 при а ~(1, г 24 Х(а) = 1 / 1 1 — — ~!+3 — +15 — +,, ) при аг>! а' г, гог а" !)гафия этой функции, а также 1(а) приведен на рис.
245. Рассмотрим теперь конкретные случаи. а) 1)гавитируюшая система, рассмотренная в задаче 37. Обозначая дог = 4яСРотГЕ, имеем, заменяя в дисперсионном уравнении 4 5 величину но~ на -4яйро, дг г — = †. —. — = Х(а) +21(а). !г Е '!2',г Левая часть этого трансцендентного уравнения также изображена на рис. 245. Ситуация получается довольно сложная ввиду относительно больших значений 1(а). Исслелуя решение в области !о 1оо, аг < 1, имеем чисто формально до — д г à — = 1 — Х(а) — !1(а) од а — о« вЂ” а. "о У 2 26. Линеиризоеанное линегличеслое уриенвние е приближении двльнодебсглеия 413 Рис. 246.
Графики действительной Х(а) и мнимой Х(а) частей дисаерсиоииого интеграла, а также функции нгмг/(Ей»газ) (пунктирные лиими) для случаев двух точек пересечения с Х(а) и одной точки касания, опредеяяюжей ог' Полагая ог = й — гу, получаем грубую оценку йг йг щ ГГг щ 11,1 /я йо Е йо Р йо У 2 )/ Р йо /е г Й Й 5~-г/й~ ц— 3«г, 7 Й --)/ — 1/ — йо.
Результаты неутешительные; мело того, что 7 < 0 (т.е. возмущение не затухает, а развивается как е и), еще и в=и~ /в ог Гй аог(/ — й, !/ т но мнимая часть Г(ао) ю 0,7, а действительная часть й(а) « 1, т, е. и здесь тоже никаких колебаний не происходит. В области й > й, «действительных» решений для и нет жюбще, Рассмотрим теперь чисто формально случай ьг' < О. Полюса подынтегрвльной функ- ции находятся на мнимой осн, и никакой е-процедуры уже не нужно. Имеем, обозначая /1~ »» -гоко~/(Рй~) > О, «и г «»» й' 1 Гиге»гг г 1 Ге»ггдм — — — дп = 1- 1уг — — = У(/5).
й' т/2яя./ и'+/5' г/2н / лг+)5' т. е. никаких (даже «возрастающих») колебаний просто нет. Это отношение становится меньшим единицы только при й < й', гле йо — 1«' к — = — а 0,2. йо 16 Эта область, в которой еще как-то можно нппеяться на существование раскачивающихся колебаний плотности, обозначена на рис, 246 сплошной линией. Вторая точка пересечения (см. рис. 245) находится в области а' а аг»» 1,7. Это случай й < йо. Имеем сразу для частоты Рис.
246. Характер зависимости «частотна м от волкового вектора дяя граеитирующей системн. Пунктиром обозначены области, в каторга декремеит затухания у > ог 4(4 Задачи и дополнигпельные вопросы я главе 5 Как видно иэ этого уравнения, в области й й» величина /2 < 1. Вспоминая (см. $5 гл. 3), что — 2~ - б(х), )3/я хэ + пэ получаем при малых )3 откуда сразу следует, что 8 В - -- ' — (йе — й)- 2Г йе В случае же й и. йе, когда Р л» 1, имеем совсем другое разложение 2 »«» -»2/2 2 е ' х дхрд — ~х2+ — х«(.
йэ )32 /Оя к/ 1 ! х2/)32 Д2 ~ Д2 ) ' -«» Подставляя сюда й»2 и средние хз = 1; х« = 3, получаем «власовоподобное» решение ы = -4«бр»+3 — й, 2 В 2 гн 0 которое в залаче 37 было беэ всяких к тому оснований зкстраполироваио на область й йе и даже й ) йе. П2афикн зависимости ыэ от й, привеленные на рис. 247 (на котором изображен также резуль- 42г~Р» тат ы' ) О, соответствующий рис. 246), показывают, что ничею похожего на зависимость, изображенную на рис. 244, на самом деле нет. Рас. 247. Завис««ость квадрата частоты ы' ст волнового вектора й, получаю- б) СлУчай электроны«'й плазмы. Дисперсионщаясяараэультатереюен«яд«свере«о«- нос УРавнение в наших обозиаченивх имеет вил ного уравнения дкя системы граакткру- транспендентного УРавнениЯ ющкх частиц из 1 — — = 1(а) + !1(а), Мэ «22 о отдельные части котороп2 изображены на рис.
248, из которого ясно, что если опустить член !1(а), то уравнение имеет от нуля до двух решений. В области ы «К ые точка пересечения А,, определяющая корень уравнения ы(й), соответствует величине аэ ~ а»2 = 1,7 (,1(ае) = 0), поэтому сразу имеем ы с«а»~ — й Ш 1,3~ — й, т т однако 1(ае) Рд 0,69, и зта «акустическая» ветвь возбуждений не реализуется вследствие огромного декремента затухания.
При ы ~ ые могут существовать два решения: плазменные колебания, соответствующие 2 случаю 1/а «К 1 и знакомые нам по 8 5 (точка Р на рис. 248) В, /ян ( 1 «) ы =хе+3 — !г +..., 1(а)=)/ — — ехр1! — — — ~ ч.1, т ' 2/2й ( 2 йз) и сильно затухающий (практически не возбуждаемый) звук (точка Аз). 1)эафик решения дисперсионного уравнения без мнимой части 21(а) приведен на рнс. 249, на котором пунктиром обозначены те частотм гипотетических колебаний, которые не могут возникнуть вслелствие значительно превмшаюшего их частоту затухания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
