Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Ь 5 б. Линеаризованное кинетическое уравнение в приближении самосогласованного поля Темы некоторых из предлагаемых задач этого параграфа связаны с воспоминаниями об организованных профессором А.А. Власовым публичных теоретических дискуссиях, проходивших, кстати, в острой форме в Большой физической аудитории 406 Задачи и дололниглвльные вопросы к главе 5 им. П. Н. Лебедева (этой уникальной, можно сказать исторической аудитории теперь, к сожалению, не существует) старого здания Физического факультета на Моховой 50 лет назад, посвященных вопросам использования приближения самосогласованного поля и идеям Власова в объяснении целого ряда специфических для систем многих тел явлений. Задача 33.
Для классического электронного газа, двигающегося на фоне положительного компенсирующего заряда, написать полную систему линеаризованных уравнений для функции Г(з,г,т) совместно с уравнениями Максвелла. Рис. 242. Расположение компонент векторов зяеятрокагнмтяого поля при волновом возмущения, распространяющемся вдоль ося в Решение. Тек кяк плотности заряда р и тока ) выра- жаются через нескомленспрованную плотность числа частиц как р=-еп / Г(г,г,т)ат, ) = -еп / тГ(г,г,т)гзт, то, дополняя поле Е силой Лоренца, имеем дз(г,г,т) дГ е Г ! т дрв — + т — — — ~Е+ -[т х Н]) — = — вГ; д! дг 1, с ) д И!тЕ=-4кеп / Г(г,г,т)дт, а!тН=О, ! дН вЂ” ° — = — пк Е с дг -!ыг' + г!»т~уь + — ~т» ~(Е» )*+ — (Ню)») + тт ~(Е» )т — — (Нь.)»)~ Рв = -гуь.; с , »г 4»геп »Ь~Е~ ), = -4кеп / Г»„(т) дт, »-(Е» ), = — — ) е,у»,(т) гзт, с с ,щ 4кеп Г ,ы (Еш)т = -зл(Н» ), + — ) «туд (т) гзт, -»-(Нь„), = -!!»(Е» )т, ь с с ) 'с Задача 34.
Получить нз уравнений, выписанных а предыдущей задаче, уравнения, определяющие колебания вектора Е, (продольные колебания электростатического вектора Е) и определить днсперсионную зависимость ог = ьг(Д) и затухание малых колебаний в системе. Решение. Введем величину 1 дЕ 4ке à — ° — = го! Н+ — и) тГ(г, г,т) гзт, с дг с,/ Чтобы написать зту систему относительно фурье-амплитуд, положим Г =Ге(т)е ~'~г", Е=Е»„в ~'+»", Н=Н» ивыбсрсмосьлтак,чтобы й=(л,О,О),тогда(Нс ), =О;ось» — так,чтобыНш -— (О О,Н» ), тогда (Е»,), = О (рис.
242), Учитывая, что прн переходе к фурье-представлению операция го! переходит в векторное произведение, получим в выбранной системе координат следуюглую систему уравнений: йб. Линеорнзоеанное нннешическое уравнение е приближенно дольнодейсшвил 401 Проинтегрировав уравнение Власова по е„и е, и обозначив Ее(е») одномерное нормированное распределение Максвелла, получим — й»»Ь„(е,) + гйе,гь,(е,) + -(Еь„),е,Е»(е,) = -е)т (е,), е гй(Е»„), = -4кеп г~ Гь„(е,)»ге„ ,Ф 4»геп Г г-(Е ), = — ( е,Де,)Юе,. с с Выразив величину Г с помощью первого уравнения через (Еь„), и исключив ее нз второго, получим, сократив на амплитуду поля (Еь„), га О, известное нам уравнение ($5-б)) г) пге, ) — е, ехр — — г г 4ке и »ге„н =— (трстье уравнение оказываетсв следствием этого), решение которого в случае ы = й — г'Г, у < О было получено в $5, д г г 4»ге и ! гк и „гег»г> й =но+3 — й +..., ше= т=ьв'-~/ — ' — 'е ги ' гп ' 2»/2 й Задача Зб.
С помощью уравнений задачи ЗЗ исследовать поперечные колебания вектора Е и определить частоту ы = ы(й) и затухание згих колебаний. Решение. Введем величину Уь,(е,) = / егуь„(г) ггег де». Умножая уравнение для Г» (т) на е„и интегрируя по ег и е„получим е — гни»„(е,) + гйе, Г»„(е.) + — (Еь„)»Р»(е,) = -еУ». (е»), +ПО йг г 4;геи Г = г(Е )г г г (Е»ю)г + / Гы(ез)»уе н Выразив шличину Г»,(е,) нз первого уравнения и подставив ее во второе, получим уже новое дисперсионное уравнение: ше г/2еа,/ ы — «,й+ге ОО Рассчитывая интеграл по методу, разработанному в $5-6), получим чисто формально в случае малых значений вектора й Г ы =ей +не !+ — — +3~ — ~ — +...~ — гкые' — )à — ехр~ иг ыг ~н»~ и' ' '~ й гГ 2кд ( 2айг) Однако формальный подход в данном случае приводит к превышению точности рассмотрения.
Действительно, наша задача сушественно нерелативисгская, а последнее слагаемое в правой части было получено при подстановке в максвелловскую экспоненту величины е, = ы/й, которая согласно полученному уравнению превышает скорость смта с. Поэтому полученную формально мнимую часть интеграла необходимо просто опустить (в релятивистском варианте 408 Задачи и дополнигпельные вопросы я слове 5 задачи она даже не возникает). Таким образом, для поперечных колебаний вектора Е в плазме имеем г 11 =ей +ыо(1+ — — + "), г гг г/ щйг 7 = О. Заметим, что в пределе и = О (т.е. ыь = О) мы получим из этой формулы Й = Ьс — закон дисперсии лля поперечной электромагнитиой волны в вакууме.
Задача Зб. Написать уравнение для продольных колебаний в электронно-ионной системе и определить частоту собственных ее колебаний и их затухание. Решение. Будем считать для простаты, что ионы однозарядны, т. е. о, = -е, д; = +е и и, = и; = и. Общее пале 0 формируется частипами обоих сортов, поэтому, обоэначея нх массы как пг и М и буквами Р, н Рг соответствующие максвелловские распределения, имеем уже в линеаризоаанном варианте д~, дД, е дР, — '+г — ' — — Š— ' = -еу„ д1 дг гп дг дД дД е др) — + г — + — Š— = -егп дс дг М дг = 41чЕ= -4яеп ~(У, — Ягст, нли по отношению к отдельной фурье-гармонике для случая продольного колебания вектора Е -вшу ~(е,) + 1Ье,У~~~(е,) + -е„г,(е,) = -еуь„(е,), д*' -йиуз,г(е,) + гйе,у~'~(е,) — -е, Рг(е,) = -еу„',(е,), д ' Послелние .ша слагаемык в случае гп < М являются поправочнмми (последнее же вообще можно опустить), н мы получаем, что частота колебаний й н их затухание Г определяются злектРонной ленгмюРовской частотой ые н стандаРтной фоРмУлой Ланлаг длЯ 7, 11 — ые~(1+ + ")+ Ь (1 + ° ° )+" 1 7 — ыь г/ ехр( 1ЬЕв = -4яеп / (гд',(е,) — Л (е,)) Ое,.
Величина (уй1 — у ге)ь, выражается из первых двух уравнений без труда, исключая эту разность нз третьего уравнения и сокращая на Е„, получаем дисперсионнае уравнение + ~О ~00 1 4яе и /' е,Х',(е,) Ие, 1 4яе и /' е,Х~(е,) де, Ь д / ы+1с — еЬ Ь д / ы+1с — еЬ Рассмотрим случай, когда М > гп н 4яе и , 4яс и пг г ы = — Ъгг = — = — ы. ь — о — М вЂ” М о. Если искать решение уравнения в области частот ы ьь, то, обрабатывая каждый из интегралов по методу, изложенному в й 5, получим вб. Лонеаризовонное кинепшчесяоеуравненое в лрибложенцц дальнодецсшацл 409 Однако рассматриваемое дисперсионное уравнение имеет решение и в области значений «» ч. «»«.
Проведем оценки более аккуратно. Пусть — (е,)з, но — д — = (е,). (для усиления этих неравенств помимо условия пг и. М еше дополнительно иногда предполагают, что температура электронного газа Р, = пзе,'/3 значительно выше ионной температуры 9;). Оценка ионного интеграла остается прежней, а электронный необходимо рассмотреть заново специально в обласцн ы га О. Имеем, сохраняя по «» только нулевой член, — »» Так как показатель экспоненты в последнем слагаемом мал по сравнению с единицей, затухание определяется только стояшим перед ней множителем, и мы получим, опуская экспоненциааьно макую мнимую часть ионного интеграла: ыеш, я «»егл ы ггг Пе з / з / 2 ! + — (1+...) + г ~/- . — — ~ — — — (1+...) = О.
йзв "' 'У' 2 йзв 3'У' Р Попали»« = й — »у и приравнивая нулю действительно часть уравнения, получим чисто акустическую ветвь для П(3): юе /В / !Фз - ~/ — ~1-- — +...), У М~ 2н' приравнивая нулю мнимую часть — затухание этих колебаний: »2« Выявленный нами колебательный процесс в лвухком- О й понентной плазме называется ионным зеуком.
В отличие Рис. 343. Структура коллективных от обычного звука в системах из нейтральных частиц возбуждений е электронно-конной в механизме образования ионно-звуковой волны суще- плазме: ионный звук н плазменные ственным является электрическое поле, возникающее вследствие движения электронов и ионов, а не столк- колебания новения частиц друг с другом, приводящие к возникновению локального давления, двигающего волну плотности. Над ионным звуком (рис. 243) расположена плазменная ветвь с небольшими поправками на гл/М, так что однокомпонентная модель «желе», использованная в 35 для получения основных результатов, оказалась не такой у:к плохой, хотя в ней н нет ионного звука.
с» Задача ЗУ. С поиощью кинетического уравнения в приближении самосогласованного поля получить уравнение для массовой плотности р = гп п(1, г) и гидродинамической скорости и(1, г) и рассмотреть с их поиощью проблему малых колебаний в системе. Оценить возиожность существования таких колебаний в однородной сипеие гравитирующих частиц (критерий Джинса). Решение. Запишем уравнение Власова в виде 113'(1, р) + — — +а — =О, бт гп дг др где а = -б(СГ+ Сг)/бг — величина типа эффективного ускорения, и получим с его помощью уравнение движения длл величин !»(1, г), введенных в б 2, представляющих собой свертку 410 Задачи и доаолнательные вопросы и главе 5 по импульсам функции Р,(г, г, р) с некоторой функцией Ф(р).
Для этого умножим почленно уравнение на Ф(р) и проинтегрируем по р. Учитывая, что при взятии по частям дР, Г дФ(р) Ф(р) — др, = — / — Р, ар„а = (а, р, з), дре др~ получим — г/ Ф(р)Р3(г, г,р) ар+ — Г/ — ФР! ар = / — аР| ар. д Г д Г р ГдФ(р) д/ ' д.l l др Рассмотрим две возможноспг выбора Ф(р): ппг и пр, = ппю . Соответствуюшие срелние будут представлять массовую плотность р(г, г) и величину ри (г, г), гда в(г, г) — гидродинамическая скорость. Первому выбору соответствует уравнение непрерывности (первое уравнение гилродинамики) др ч д — + ~ — рир — — О, дг дгр второму — уравнение д ~ д — рв.+7 — п~ р.рЛР,ар=в / о„Р,Нр, Преобразуем второе слагаемое левой части, введя относительную скорость с = р/пг — в(г, г), и учтем, что величина и / 2гвс, ° с,Р~Ир=п~с~Р|ар=Р, ~ .>О1 выражает статическое давление частиц на стенку, перпендикулярную оси в.
Будем считать, что система изотропна, с, = с„= с, = О, Р, = Р„= Р, = Р. Тогда, расписывая первое слагаемое в виде двух, учитывая уравнение непрерывйости для др/дт и замечая, что в правой части стоит плотность объемной силы Р, получим после несложных алгебраических действий ав р — +йгааРыР. дг Это — «равнение Эйлера (второе уравнение ппгролинамики). Уравнение баланса энергии (последнее гидродинамическое уравнение) можно получить, положив Ф(р) = р'/(2пг). Рассмотрим теперь в системе типа плазмы на однородном фоне рь — — оопп малое возмущение плотности р, = р(г, г) — ре < ре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
