Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 89
Текст из файла (страница 89)
1» Задача 30. Выделить малый параметр для системы с кулоновским взаииодействием и написать систему уравнений, позволяющую рассчитывать одночвстичную функцию Р! с точностью до первой поправки по этому параметру. Решение. Ради упрощения будем, как и в б 5, считать, что классический электронный газ движется на фоне однородного положительного компенсирующего заряда. Кулоновское взаимодействие Ф(г) = ез/г имеет бесконечный радиус действия Ве, однако эффективная экранировка его на дебаевском радиусе (см. б 5 гл. 5) позволяет ввести безразмерный параметр ° высокой плотности» в виде е 1 е —,<1, —,=нз=вя —. гз ' гз Ве' 402 Задачи и дополнительные вопросы и главе 5 Заметим, что кулоновский потенциал в безразмерных переменных г = т/тр пропорционален этому параметру: 1 1 е 1 -Ф(т) = — — ° —, В 4зг э'р т поэтому, входя через оператор б(С, у) в иодынтегральное выражение, »тат потенциал нейтрализует обратную величину малого параметра при этом интеграле: Г ! е, à — / ...
бг = — — тр С ... бг, е,/ е тр з ' превращая его в член уравнения, содержащий нулевой порядок и выше. Малый параметр е/тр сохранится лишь в членах с Б(С, У), которые стоят вне интегралов. Полагая, что разложение функции Р, начинается с нулевого порядка, корреляционной к ней поправки 6з — с первого и т.д., получаем из цепочки, полученной в задаче 28, замкнутую систему уравнений дРэ(С, хэ) 1 = Р(1)Рэ(С, хэ) + — С (1, 2) [Рэ(С, хэ)Рэ(С, хз) + бз(С хэ хз)] Йхз, без(С, х„х,) = (Е(1) + б(2))6з(С, х„хз) + Б(1, 2)Рэ(С, а,)Р,(С, хз) + 1 Г + — / Ихэ Ц1, 3) [Рэ(С хэ)6з(С хз хэ) + Рэ(С хэ)6з(С, хэ* хо)1+ 1 Г + / без Х(2,3)[Рэ(С,хз)6з(С,хэ хэ)+Рэ(г,хэ)бз(г,хэ,хз)), определяющую функцию Р, с точностью до первого порядка па е/тр'. В нулевом порядке первое из этих уравнений, в котором надо опустить 6з, соответствует кинетическому уравнению Власова.
Ь Задача 31. Показать, что «частицеподобиые» выражения для функций Рэ и Рз. полученные иа основе удовлетворяющей уравнению Лиуеилля микроскопической функции шлг эрн = П б(г! — гз(С, хс))б(рз — р!(С, хо)) э=! (см. задачу 1), удовлетворяют первому уравнению цепочки Бонэлюбова.
Решение. Так как мн, представленная в условии, удовлетворяет уравнению Лнувилля, если только г;(С, хо) и р;(С, хо) удовлетворяют уравнениям Гамильтона р; = -дЫ/Вгз и г; = дЫ/др, с начальнмм условием х(0) = хо, функции Р, и Рз получаются нз мн, а уравнения для них— из уравнения для мн, то утверждение, содержащееся в условии задачи, впалые очевидна. Сделаем, однако, некотарме уточнения. В гл.
5 мы полагали, что функции Р„Рз и т.л. имеют физический смысл функций распределения, в частности величина и Р,(С, г, р) бгбр определяла число частиц (цричем любмх из Ф частиц системы), находящихся а области бг бр в момент времени С. Полученная же с помощью микроскопической ын величина 1 — Р;(С,гэ, р;) = / мн Ихэ ...бх< э эгхэтэ... Ихн эе б(гэ — г,(С,о,'о)) б(рэ — рэ(С хо)) представляет плотность вероятности обнаружить не какую-нибудь нз !у, а именно з-ю частицу в окрестности точки хз = (гь р;) в момент С. Чтобы вернуть этой функции привычный смысл, цросуммируем цо всем з, сохраняя принятую нормировку: 1 У Рэ(С, г, р) = — ~э б(г — г!)б(р — рэ)Рэ(С, го рэ) = — ~~э б(г — гэ(С, хо)) б(р — рз(С, хо)). эяэсн эяэсн Задачи и далалнишельные вопросы к главе 5 быль исключено, так кшс частицы — это не математические, а как минимум материальные точки, совмещение которых невозможно (реальные частицы всегда имеют конечный радиус г, М' О, и вероятность полного совмещения их центров равна нулю), поэтому произведения двух и более гь-функций с одинаковыми х, = хг(г, хе) мы должны полагать равными нулю.
Чтобы более ие возвращаться к «частицепадабным» решениям для функций распределения, остановимся еше на одной их особенности: в пределе аà — ао, е = У/йГ = сапа! они автоматически удовлетворяют принципу «ослабления корреляций». Действительно, учитывая оговорку, сделанную относительно понимания в нашем контексте б(х — х;(Г, х»)), имеем в пределе ат -ч оо тгз Р,(т,х, х') = ~ б(х — х;(Г,х»))б(х'-х;(Г,х )) = Ф(йг — !),, т« — б(э — ш(! хе)) . — ~ б(х' — хг(г, хо))— дг ' йг 1«э б(х хь(Г хо))б(х хэ(Г хо)) = Ю~ х) ' Р1(Г х ). \ Мы поставили кавычки не случайно, так как приведенное выше мультипликативное соот- ношение экзамена в мультипликативной структуре используемой функции мл и, в отличие от статистического принципа ослабления корреляций, являющегося дополнительным требо- ванием к выбору типа решения кинетического уравнения, выполняется при всех х, х' и Г и независимости движений частиц не означает; они связаны решениями задачи механики х~ - -х,(г, х,,..., хл ), которые все (( = 1,..., ж) входят в определения частицепакобных !»1 !«1 функций Рм Р, и т.д.
Отсюда слелует одно очень интересное (с теоретической точки зрения) свойство неко- торых кинетических уравнений. Как мы видели в 95, подстановка Рз -- Р, Р, привапнт первое уравнение цепочки Боголюбова к кинетическому уравнению Власова. На основании сказанного выше эта уравнение содержит не только те представляющие интерес решения, которые мы обсуждали в б 5 и которым посвпцен следующий параграф раздела эааач, но и ча- стицеподобное решение, описмваюшее движение всех частиц системы в соответствии с их механическими траекториями (это было замечено самим Власовым в 1950 г.).
Если при выводе какого-либо более сложного уравнения из цепочки уравнений Боголюбова мы используем по- мимо принципа ослабления корреляций еще и операторы сдвига во времени Я, (сдвига вдоль траекторий механического движения системы), который, естественно, не нарушает частице- подобнык конструкций, то полученное таким образом уравнение тоже будет иметь помимо статистических также и решения, воспроизводящие механическое движение частиц системы. По отношению к уравнению Больцмана (при выводе которого как раз и используется опера- тор Я«) эту теорему доказал Боголюбов в!975 г. (мы не будем вновь отдельно воспроизводить все детали ее доказательспм, ограничившись сделанным выше общим заключением). 1> Задана 32. Нв примере двух первых уравнений цепочки Боголюбова показать, что эти уравнения при подстановке Р,(г, гы ры..., г„р,) = ш(р!)...
ш(р,)Р,(гы..., г,), т. е. в предпаяажении, что распределение по импупьсвм частиц является ивксвеляов- ским, а функция Р» не зависит от времени, переходят в цепочку уравнений Боголюбова для равновесных функций распределения Р, = У у — е ' бг,»~... Игл, » г -л~/г ,/ д где Х, =Х,(гн...,гл) = ~~г У(г;)+ ~~г Ф(!г; — гг~). 1цгкл !ц!<5<к 36. Ланааразаванноа канешачасхоа урааненаа а лраблажанаа дальнодевгшаол 405 Решение. Выпишем подробно первые два уравнения цепочки: ВР,(зж, р,) р, ВР Ви ВР, 1 )'ВФ(!г,— О ВР(С,г„р,г,а ) вр, ВРз(1,гьр„гз рз) рз дРз р дРз /ВУ ВФ()гз-гз~)~ дР, /ВГГ ВФ((гз-гз!)) дРз + + ь 1 Г ВФ(1гз-гзО дРз ВФ(1гз-гзИ ВРз Подставим в них Рз = аз(рз)Рз(гз) Рз = ю(рз)ы(рз)Рг(гз, гз) Рз = м(рз)за(рз)ы(рз)Рз(гз, гз, гз) и выполним указанные операции дифференцирования, учитывая, что в р — (р) = — — ы(р).
др пза Тогда, интегрируя по импульсу в интеграле столкновений (м(р) нормировано на единицу) и сокращая на оставшиеся в каждом слагаемом распределения ю(р,), получаем дРз(г,) ВУ - 1 ( ВФ(1г~ — гзО— — + — Рз +— Ез(гогз)багз = О, рзо(гз,гз)+ рз13(гз, гз) = О дгз дг, ае,/ дгз где ВР,(гп г,) Мг - ВФаг, — г ~) - 1 з" ВФ(~г, — г,~)- 0(гз, га) = + — Ра + Рз + / Рз агз дг, дг, дг, ва / вг Так как второе соотношение выполняется при любых р, и рз, то отсюда следует, что функция С(гь гз) = О.
В полученных уравнениях для Р, и Р, сразу узнаются цепочки Боголюбова лля равновесных функций распределения (1946), которые можно получить, если продифферень пировать определения Р,(г,) и Рз(г„гз), приведенные в условии задачи, по г, (ц = в, у, з) и, учитывая конкретный внд функции Нз(гз,..., гл), произвести соответствующие интегрирования (см, т.2, гл.3, б1-в)). Таким образом, формализм кинетических функций распределения на том этапе, когда они перестают зависеть от времени, а распределение по импульсам становится максвелловским, автоматически переходит в формализм равновесных корреляционных функций Р,(г„..., г,), построенных на основе гиббсовской 1з'-частичной функции распределения для классической системы йл(гз,, ги) = -е а'и. Я Результатм, полученные в задачах 31, 32, можно подытожить с несколько иной точки зрения: мы показали, что уравнения цепочки Боголюбова длл функций Р, (как и вытекающие из них кинетические уравнения) содержат решения, которые в каждый момент времени соответствуют чисто механическому состоянию всех частиц системы, и в то же время их решениями являются функции распределения Р„соответствующие равновесной статистической механике Пзббса, описывающей предельное смешанное состояние равновесной статистической системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
