Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 83
Текст из файла (страница 83)
ит/2 нз зю Змд ят 4 При Г - О зто выраженно конечно. Задача 14. Оценить в предположении задачи 12 коэффициент внутреннего трения г), считая плотность и температуру газа постоянными, а также оценить силу трения между двумя параллельными пластинами, разделенными слоем газа толщины ( и движущимися относительно друг друга со скоростью н. Решеное. Пусть пластины движутся относительно друг друга в направлении осн я. В стаци- онарном случае средняя скорость слоя х газа, находяшегося между пластинами, О < х < (, равна и, = (н/Г) х. В направлении осн х частица переносит среднее колнчеспю движения гпи„баланс которого за секунду в расчете на 1 ем' пластины и определяет сину вязкого тре- ния в направлении, противоположном скорости и,.
Таким обрезом, подмял р(з) = пши,(х), имеем сразу ди, пглЛВ ди, Р„=- — * — =- — * б, Вх 3 Вл Зта Задачи и Вополншлельные вопросы л славе 5 где коэффициент вязкости 1 О = -пЛше. 3 В случае 1 2» Л таким образом имеем 1 ы 4Ю и Рт пЛше сх 3 1 Зит/я '1' В случае же 1 < Л частица, летящая без промежуточных столкновений от неподвижной стенки на двигмошуюся, при столкновении с ней приобретает в направлении э средний импульс ти, поэтому, учитывая выражение для среднего числа частиц и, падающих эа секунду на 1 си' стенки, имеем 0 Л Рис.
229. Характер зависимости ст 1 отиссмтельнмх величин силы трения / = Рт(1)/Ре(0) к потока а 3. Стационарное кинетическое уравнение с релаксационным членом и коэффициенты переноса Задача 15. Рассчитать с помощью решения стационарного кинетического уравнения с релаксзционным членом (сй. гл. 5, а 3) коэффициенты переноса, характеризующие плотности потока числа частиц и потока энергии в приближении постоянного времени свободного пробега т и постоянной длинм свободного пробега Л.
Решение. Для неподвижного таза (в = О) в отсутствие внешнего поля (т/ = О) в классическом случае ттт Ре -- и( — ) ехр ( — ~ = пы(т). Поэтому для одночастичной функции распределения Р(г, т) в сшцноиарном случае (см. $3 гл. 5), полагая, по неоднородность снсшмы связана толысо с одним направлением в системе (выбнраеммм за ось э), имеем ВР Вп В дд Р = Рэ - тет — = Рв — те»ш(т) — - ге,п — ы(т) —.
да да ' дд дз Вычисляя с помошьш этой функцми плотность потока чпсла частиц дп Г дд д Г, Вп7ет'т Вд В/ тц 1» = / е»Рйт= - — »/ те»ы(т)т(т- — и — ) те,'ы(т)дт«» - — 1 т-) - — п~ т-) Вэ) * В. дд) = Вл~ 3) Ва дд~ 3) тепла (3/ст) Зт(1)/7т(0) пд 2н»/2аш Р = -шин=-ши — = — 'о. о в ражение при 1- О конечно. Выражения Рт(1)/Р«т(0) и (3/сг)'О«()/5»( ))" алены как функции расстояния между пластинамн на рис. 229, Заметим, наконец, что из полученных выше коэфФициентов переноса можно соста- влять безразмерные комбинации (типа закона Внлемана — Франца), например, сравнивая выражения для коэффициентов н н О, получаем — = 1 = сопят, Ос» миг Естественно, что в буквальном смысле этот полученный в рамках очень грубой теории закон не подтвержаается. Однако длл инертных тазов (Не, 1че, Аг) написанное отношение имеет величину 0,402-0,424, лля газов типа Нт, 14т, От — величину 0,53-0,57, т.
е. что-то похожее на «константу» все же имеется. 8 3. Ьпацоонарлое яииетачасяае уравненае с релахсацаанныи членом 379 = ( 3) ~'="Вр('7) ="ВВР а также для теплопроводности х (коэффициент при -Вд/Вз в выражении для потока у,) н коэффициента диффузионного переноса тепла х„(коэффициент при -Вн/Вг в выражении для 3,) В / е' тезЛ В / ег пзегЛ х=п — т — ° — =и — х„, х„= г— ВВ~ 3 2~ Вбе (3 2~ Заметим, что ввиду очевидного соотношения коэффициенты Р, Ре и х связаны соотношением Рг 3 хь = -Ре + -дР, и,2 которое (см.
8 2 гл. а) обеспечивает вмполнение соотиошенш взаимности Онсагерв в явлениях переноса рассматриваемого типа. Для окончательного расчета этих коэффициентов необходимо знать функцию т = г(и). С целью лучшего соответствия с экспериментальными даннымн зту функцию подбирают различными способами, Мы остановимся только иа двух самьпг простых (но не лучших) вариантах. Выпишем предварительно табличные значения средних /й — к(86~ т, В - ГВ~ ь г/2 ,г е = г †, ег = — — г) т -(е), иУ = 3 †, ее = 15 ~ — г) н т. д.
У ят' 2 ~ят 2 ' т' ~т/ Имеем: а) приближение т = сопзг, гр ит 5 та~ 5рлт Рт —, Ргт —, х т- —, хт —; т' ги' 2 т' из б) приближение Л = те = соим, т.е. т = Л/е, Ле нЛе . 2 Р = —, Ре - -—, х„= -Лде, х = иЛе. 3' 66' 3 Естественно, что мы получили разные результаты дая одних и тех же коэффициентов. Желая их как то сопоставить друг спрутом, необходимо выразить среднее время свободного пробега т через среднюю длину свободного пробега Л, например, как это предполагалось в задаче 7, т = Л/й. Тогда (Ре) = — (Ре)з ы 2 Зб(Ре)» бк 8 (Р) = — (Р)зы118(Р)ы За 8 (х), = — (х)ь Й 1,9б(х)и 51г г— 15т (х~~) 32 (ха)з М 1 89(х ) (пользуясь свойством симметрии функции м(т) относительно е„е„, е„мы заменилн под знаком интеграла величину е,' на (е,'+ е„'+ е,')/3), где чертой сверху обозначено усреднение с помощью нормированного максвсллоеского распределения, и плотность потока энергии пъиз Вн / ез тез'1 66 В / юг тез г 3, = / е,— этот= — — ~т — — ) — — и — ~т— / *2 Вз~З 2/ ВзВВ~З 2 получаем для коэффициента диффузии Р (коэффициента при -Ви/Вз в.
вырюкении для потока у„) и коэффициента термодиффузии Ре (коэффициента при -ВЮ/Вз в выражении для потока у„) 380 Задачи и дополниглельные вопросы н главе 5 Он ~ 2 в случае т = сопя!, — = сопи = 23«н» ( 3 в случае Л сопя! с упомянутой уже нами «точностью«совпадаюшим с экспериментально наблюдаемой величиной. !> Задача 16. Определить коэффицмент теплопроводности газа (в частности, идеального р = пВ), давление которого всюду постоянно, р(х) = р = сопя!. Решение.
Как мы вплели в предыдушей залаче, поток т', складывается из двух частей, пропорциональных градиенту плотности и градиенту температуры. Однако между и н В может сушеспювать связь самого различного характера. Тот коэффициент и, который мы определили в задаче !5, зто коэффициент теплопроводности при дополнительном условии и = сопз! (т. е. газ, помешенный ме.кду термостатами В, и Вы имеет всюду одинаковую плотность). Если же внешних силовых полей нет, то е газе реализуется состояние р = сопя!. Считая, что Р = Р(В, е), имеем (О") ! (Вв) Вычисляя производную (де/ВВ)р для идеального газа Ре = В, получаем, группируя подобные члены, откуда получаем в приближении т = сопхг и Л = сопя! соответственно результаты 5 птВ, пЛО и= — —, и= —, 2 пз' 3 заметно отличающиеся (в два или три раза) от результатов ддя и, полученных в предыдушей задаче.
!э Задача 12. В приближении т = сопв! и Л = сопя! определить коэффициент внутреннего трения терми- чески однородного классического газа. Решение. Стендарпгая схема эксперимента» по определе- нию вязкости среды изображена на рис. 230: нижняя (х»» О) пластина покоится, верхняя (х = 1) — двигается в напра- влении осн и со скоростью и. Имеем: Сг=О, В=сонм, о=соды, и и,=-х=ох, 1 и„= и, =О. Сила вязкого трения рассчитывается на ! см' поверхности верхней пластины.
Она создается потоком в направлении х частиц, переносяших количество движения в направле- нии х, Рис. 230. Схема установки для определения коэффициента вну- треннего тренин Х' = / е«Рше,ат, Это расхождение не будет казаться столь ужасным, если учесть, что несовпадение этих коэффициентов (при использовании формулы для Л илн т из щаачи 7) с экспериментальными также составляет десеткн процентов. Наконец, небезынтересно отметить, что полученные выше выражения для коэффициентов, характеризуюших процессы переноса в рззреженном классическом газе, связаны соотношением В 3. Стационарное яинеглическае уравнение с релалсацианныи членом 381 где в нашем случае (см. й 3), выписывая все аргументы, В Р = Ро(ио — ах,и„,в,) — ти,— Ро(ио — ах, и„и,) = Вх по = Ро(ио — ах, и„, в,) — атв,— (и, — ае)Ро(и, — аз, и„, и,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
