Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Всегда присутствующее и неистребимое флуктуационное воздействие на рассматриваемую систему со стороны окружающих ее систем, не нарушая равновесного ее состояния и всех квазистатических закономерностей, по отношению к реальным термодинамическим системам сводит на нет актуальность несомненно правильной в своих жестких условиях теоремы возврата. Относить же эту теорему ко всей Вселенной хотя и заманчиво, но тоже нет видимых оснований, так как физики до сих пор еше не договорились, сколь «механичной» она является, и вообще, что она из себя в целом представляет.
Задача 4. Исследовать характер движения заданной в момент ле —— О ограниченной области (О,Ья: ре ре+ Ьр) в фазовом пространстве для случая одномерного движения одной частицы (мли газа мз невзаммодействующмх друг с другом частиц): л) в ограниченном стенками сосуде О < з < Ь; б) в поле упругой силы Р= -йм. Решение. Ня примере этой задачи, элементарной в математическом отношении н достаточно примитивной е физической точки зРения, постараемся обсулнть некотоРые хаРактеРные особенно- »зов«я траехстн эволюции системЫ, изображаемой в фюовом пРостРанстве ' „ю теряя частицы, двигаюе|еапо шь фу кцн ю. ся е ящике с зерллльнымя я) Предположим, что стенки одномерного ящика обеспечи- стенялми вают ллилбатнческую изоляцию системы (т.е.
являютея идеально отражающими). Энергия частицы Е = Р'/(2«п) сохраняется. Фязовля траектория имеет внд (см. Рнс. 2!6 н залечу 2) двух отрезков (упругий удар о стенку в точке х = Ь мгновенно переволнт частицу из состояния (Ь, р«) в (Б, -р«)). Движение частицы является циклическим с периодом Т« = 2бгл/Р«. Зб5 В 1. Общие вопросы механического движенил системы Предположим теперь, что начальное состояние системы с одной частицей задано как смешанное состояние с помощью функции в(х, р, зо) такой, что во, если 0(»<Ьх; ро<р<ро+Ьр, в(» Р Зо) = в О, во всех других случаях, где во — — 1/(ЬхЬР) — плотность в-жидкости. Иными словами, состояние системы задано не на поверхности знергии Е = рзо/(2гл), а в знергетическом слое йд = роЬР/ш.
Модель идеального газа (т. е. газа из невзаимолействующих друг с другом материальных точек), часто используемая для интерпретации различных общих положений, в ланном случае позволяет представить себе область Ь»ЬР нс равномерно заштрихованной, т.е. как бы залитой в-жиакостью, а равномерно покрытую 7«Г точками (ДГ частиц заза в момент 1 = зо), каждая из которых движется подобно частице, изображенной на рнс. 2! б. Начальное состояние будет соотвстствоиать нахождению всех К частиц в области О ( х < Ьх; Ро < р < ро + Ьр. Форма начальной области при 1 > О уже не будет прямоугольной (рнс.
217) авилу несовпадения скоростей частиц. Зацприхованнвя область будет все баксе перскашиваться, а через время от ро 1 = — =т °вЂ” Ьр ' Ьр частица с импульсом ро + Ьр, стартовавшая вместе с частицей ро из точки х = О, догонит ес, сделав лишний оборот вокруг прямоугольника (О, о; рю -р,). При 1 л 1, первоначальная область ЬРЬ» вытянется в ленту, много раз «намотанную» на зтот прямоугольник. Предельное Р Ро+ЬР тЛ~~ ! «нги!Ввел ! ! ! Ро Ро Ро -Ро-ЬР 1< -д 1 2 зо зшсо Рис. 217.
Эволюция области фазового пространства при одномерном движении частиц в ящике с идеально отражаю!кими стенкани 1 Ьх О Ьх 2«х Ро О Ро Ро+ЬР Р Рис. 21В. Внд начальных (тонкий пунктир) и конечных (толстые линии) распределений по импульсу н координате для частицы, двигающейся в ограниченном ящике с зеркальныни стенкани, и реально возникающее гауссоео распределение взг(Р) в ящике с неидеально отражающими стенками 366 3одичи и дополниглельные вопросы х главе 5 значение фушшни й(я, Р) таким образом оказывается равным ы(и, р,е))о „= й(н) ° й(р), где распределения по координатам н импульсам (сплошные линни на рис.
218) соответствуют равномерному распределению в энергетическом слое бб: 1 1 1 - —, если Ро<!Р!<ро+бзр й(в) = —; й(Р)»о 2 оЗР' Ь' О, если 1р~ < ро или !р! >Ро+ Ьр (мы не будем проводить здесь подсчета промежуточных значений й(в,р,1), основанного на вмчнслении площалей парвшелограммов, — это уже на уровне школьной задачи). Мы выявилн релаксационный процесс, но эта релаксация связана с чисто кинетическими особенностями системы. Сама система все равно не являетса термодинамической. И дело здесь не только в том, что система идеальная. Наш гаэ находится в контакте со стенками, которые помимо их идеальной «геометрии» по непонятным причинам нс участвуют в тепловом движении (как бы выморожены ло иуля темпершуры).
Если отказаться от этой в принципе не реализуеыой идеализации, то характер движения частиц в системе существенно меняется. Действительно, частица, проходя каждый раз путь Ь, испытывает случайное воздействие со стороны стенки, причем за время 1 Ъ 2бт/«/Рз этих случайных воздействий накапливаетса много, движение начинает приобретать черты брауиовского движения, а «закон больших чксел» (см. гл. 3, центральная предельная теорема) навязывает нам по прошествии достаточного промежутка времени гауссово распределение 1(1Р) йм(Р) = — ехР 1 — — ° =, 11.
мерз Р Чтобы прнйтн окончательно к максвелловскому распределению, остается только «позаимствовать у термостата» (т. е. у стенки) значение Рз = тб. Приведенные рассухщения в идейном отношении принадлежат Планку, который, разрабатывш теорию равновесного излучения н желая упщить вкусам современников, сохранил в полости идеальнме зеркальные стенки, но ввел в нее крохотную, вроде бы на первый взглвл ничего сушеспюнно не меняющую черную пылинку, присутствие которой сразу превращало находящееся в полости электромагнитное излучение в термолинамическую систему, релаксирующую к определенному состоянию термодинамического равновесия (с температурой н всеми необходимыми лля его описания атрибутами).
Р Заметим, что изменение функций стенок лишает нас права пользоваться мореной Пуанкаре, говорить о несжимаемой м-жидкости и т. д, (хотя общее ее количество сохраняется в силу условия нормировки). Ф>0 И последнее, в системе взаимодействующих частиц ! роль стенок в установлении состояния термодинамиче! ского равновесия уже не является столь опредшшющей, 0 Ья равновесные (квази) состояния в локальных областях системы могут возникать н вдали от стенок, но это уже совсем другой сюжет (см, $6 гл.5), не связанный с данной задачей. б) Решение уравнений движения в поле упругой силы получено в задаче 2.
В отличие от предыдущего случая кинематических причин для размешивания первоначального четырехугольника в июбраженном на рис. 2!9 слое нет, через период Т, = 2я/ы заштрихованный четырехугольник снова займет это место. Если частота и хоть как-нибудь зависит от амплитуды колебаний, то с течением времени первоначальная область вытянется в нить, намотанную на эллипс, аналогично тому хак зто произошло в случае а). 0 1. Общие вопросы иехолпческоео движения шсглены ,367 Если перевести эту задачу не физический язык, то сй.,соотасгствуст эдскгромегчннмве излучение, заключенное между зеркальными стенками, с полосой частот Жи сгзртй около частоты ые = сре/Д.
Если же стенки еотгйюг» н начнут выполнять роль пляиковско» пылинки, то частоты отреженных фотонов нечнут меняться, и вся четкая прямоугольнея картинка для Н(ы) респлымтея в соотвстствуюпые'распределение Планка. ' ' ' с "( Задача 5. Показать, что если функция ю(х,!) удовлетворяет уравнению Лиувилля, го величина У' = у(ю(х, 1)) г(х, ег где у — такая функция ш, что интеграл У(А) всегда сходится, не зависит от времени (т.
е. является интегралом движения). Решенпе. В б 1 мм установили, что вдоль фезоеой траектории функция ы(а, 1) не меняется, т. е. м(я(Д яе), Г) = (х, 0). переходя в вмрвжснии лля У (г) к интегрированию по хе и учитывая, что якобиан переходе от переменных х к хе равен единице, получаем требусыое: ' У (1) = / 7(м(х(Две) Ф)) Ихс= / 7(м(ем 0)) гзхл = У(0). но нг В квантовом случае (51-а)) теорема тоже является следствием урквнения Лнуенлля— Неймана. Вспомним, что в квантовой механике функция от оператора определяется как бесконечный ряк па степеням этого оператора: СО у(р(Ф)) = ) аь(Р(1)) . Учитывая, что 1 (р(Г)) =ехр ~ — — НФ)р(0)скр ( — Нг~ ° схр [ - -Нг~р(0)ехр ~-НГ~ х... г „.
х ехР ( — — Нг ~Р(0) ехР ~ — НФ ~ = схР ~ — — НС 1(Р(0)) ехР С вЂ” Нг~, \д получеем (г Др(1)) = ехр ( - - Нг 1 Г(р(0)) ехр 11 - Н ), откупе, учитывая очевидное свойство Бр(АВ) м Бр(ВА), имеем Зг (1) вз Бр(у(Р(Ф))) = Бр ( ехр ( - - Н+(р(0)) ехр (-. НГ ~ ~ = .
= Бр ~7(р(0)) ехр ~ — НГ~ ехр ~ — — Нс ~ ) = Бр(у(р(0))) = У (0). '(д ) ( д Теореме интересна в связи с достэточно традиционным «микроскопическим» опрелеле- ннем понятия энтропии кек средней велнчннм от минус логарифма функции рячпределения. Полетел 7(м) = -и 1п и илн /(р) = -р 1п Р, получаем, что тэк определяемвл энтропия вообтде от времени не зависит', $(1) м — / м1пмля м $(0) или $(1) = -Бр(Р!пр) як В(0).
368 Задачи и дополнительные вопросы и главе 5 Понятно поэтому, что такая «микроскопическая» энтропия ко второй части И начала термодинамики отношения не имеет. Если же лля построения энтропии использовать огрубленную функцию распределения, то положение существенно меняется, так как в отрубленном описании релаксационные процессы, щюисходящие в неравновесной системе, становятся явными. Приведем для пояснения этого обстоятельства малень/ / кий пример, не выделяя его в отдельную завачу. Идея его / ! может быть использована для проведения н более обше/ го рассмотрения. Пусть достижимая для фазовых траекто! рий область Е разделена на две равные по объему части О/х = 1//2, которые используем в качестве масштаI / ба о/рубления («крупнозернистее» просто уже невозмо;кно). Лля удобства выкладок положим /!3х = 1 (выбор единицы измерения).
Обозначим количества в-жидкости в квкдой О Е из областей (рнс. 220) И', и /Р3 и учтем, что в силу условия нормировки И'! + И3 = 1, И/! — — ~ в(х,г) дх = С, 11/2 «вЂ” » / в(х,с) /!х =! — С. «3! В2 Записывая энтропию системы по аналогии с ее «микроскопическим» определением в крупнозернистом варианте как Рис. 220. К расчету энтропии прп санси просгоп варианте огрубленпя рассиогрениа Я= — ~ в/1пв!, !А«!, получаем для ее изменения в нашем случае ! = 1,2, связанном с переходом некоторого количества в-жндкости Ь4 из олной части системы в другую, что l! Ы =Ь(-21 2-(1-()1 (1-~)) =!» ~- — !) Лб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
