Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Согласно этой теории электрон-фононное взаимодействие индуцирует взаимодействие электронов (типа притяжения) через пале фононов, и эти корреляции электронов приводят к качестмнной перестройке как структуры основного состояния (пропалает резкав граница Ферми), так и возбуждений (возбуждаются не частицы, а коррелированные пары электронов), отделенных от основного состояния энергетической щелью. Но все это уже из области квантовой статистики, которая в нашу программу не входит. 5.
Продолжим рассмотрение нашей задачи. Теперь, располагая явным видом Н„ мы можем уже на квантовом уровне определить эффективную длину пробега Л(р) = (пЕ(р)) ', входящую под знак интеграла по р в выражение для проводимости о, а для этого вместо классического сечения рассеяния о(е, гй) электрона на ионе нам нужно оценить вероятность рассеяния электрона с импульсом р на колебаниях решетки, т. е. вероятность переходов р - р ~ а с испусканием или поглощением фонона, изображенных выше в виде элементарных диаграмм. Мы сделаем это с помощью стандартной квантовомеханической формулы временной теории возмущений гв(п; п') = — ((п~Н~~п') (п'1Н~~п) ( б(Е„- Е,), Следуя Блоху, будем полагать, что электроны и решетка находятся (в нулевом приближении, которое используется при подсчете матричных элементов) в общем состоянии статистического равновесия.
Тогла средние, входящие в квадрат матричного элемента оператора, будут равны (Ьг+Ь~) = 1Ь(а — й')иг, (ЬГЬЦ = Ь(й — в')(1+ иг), где и — средние числа заполнения для фононов (бозе-распределение с равным нулю химическим потенциалом), (в~а,~) = сз(р — р')пр, (а„ч ае ) =! - п чг, где п — средние числа заполнения идеального ферми-газа. Тогла вероятность квантовомеханического перехода р — р ~ в с испусканием или поглощением фонона за секунду будет равна 21г 1 — о ги(р;р~я) = — ° — у~ — (пр(1 — п )(1+и ) б(Š— Š— со)+ + пр(1 — пр )иг б(Ер — Еге + сд)) . Учтем, что с точностью до членов порядка д' грч з гп г пгсз б(ń— Егч ~со) = б~ — — од~ = — б ~созд — — ~, 1,гп / ро 1, р,г' ' а так как в нашем случае р ~ рг, а тс/рв ~ 1О г-1О 4; то угол между векторами р и а практически прямой, д ш я/2.
угол же рассеяния Ф межлу векторами р и Р = Р ~ Ч 345 $ 7. Ларемцева (барма имл(аврала сл(алммавемий в случае (р~ ™ (р1 рг и д в, рр мал и достаточно просто выражается через модуль а (аналогично ситуации в задаче 44): а= 2р ьбп —. (б 2 Таким образом, чтобы подсчитать транспортное сечение Е(р) = а (р, (Р)(1 — сов (Р) в(п (Р я(б я(р, нам нужно подставить вместо а (р, (р) квантовомеханическое сечение рассеяния, т.е. величину га(р; рж я), деленную на падающий поток рассеивающихся частиц р/гп, и выразить в нем величину д через угол д. Удобнее сделать наоборот, интегрировать не по углам (два интеграла), а по (( (тоже два интеграла ввиду наличия Ь-функции). Этот прием оправдывается в задаче 44.
Чтобы не переписывать длинных выражений, напомним, что нам надо знать Л(р) не всюду, а только на границе Ферми: в силу конструкции интеграла, определяющего проводимость а, именно в этой точке в случае д с вг величина Л(р) выносится за его знак. Поэтому, учитывая, что в силу закона сохранения Ерчв = Ер ~ о1, имеем в случае Ев —,и = 0 (при этом пр = 1, так как р < рл) 1 еЖ-м!/в . е 'в/в ев/в и (1 — и )(!+и) е(лт Ю/в + 1 е(в Ю/в е ~/в + 1 ем/в 1 (1+ е 'в/в) (еи/в — 1) * 1 е(лв-м!/в . еи/в п(1 — п~)и— Р Р+ч в е(вю Ю/в + 1 е(в~-м!/В . есв/в ( 1 еч/6 — 1 ! (1+ е и/в) (е'г/в — 1) (получается, что в среднем оба процесса рассеяния на границе Ферми вносят одинаковый вклад).
Подставляя 1 — сов(Р = 2в(п~ — =— зт в г 2р и переходя при инте(рировании по и к сферическим координатам ~~> ... -~ — / ... а Ыд в!од яд яр, з (2тй)з з( " получим для интересуюшей нас величины Е(р) на (ранице Ферми 1 ( гп 2т — а 1 1 дз (2тй)з / вл В Мпс 1+ е и/в ем/в — 1 2р~~ х — / б ~совд — — ~ в(ода ° 2тдзйд. ргт рг 346 Глава 5. Кинеюичеглие уравнения в апощиопическай механике Интеграл по,д ввиду тпс/ря чо. 1 дает единицу, а оставшемуся интегралу ло д лридадим характер интерполяционной формулы, положив, как и в теории теплоемкости Дебая (см. т, 2, гл.
2, 64-6)), верхний предел равным 9 = йы м/с = Во/с, где Во— дебаевская температура. Тогда получим, объединяя все константы в одну и выделяя безразмерный температурный параметр 8/Во, Ъю (ря) Ео 5 дт У (1+ с 'И) ('оl — 1) ч,Во/ 1 (1+ с *)(е* — 1) = Ео о о Заметим попутно, что если бы мы при оценке величины Е(р) (которая стоит в знаменателе интегрального выражения для проводимости и) по инерции сначала усреднили бы ее ло электронным состояниям (т. е. проинтегрировали бы по р), как это обычно делается, а уж потом бы выносили за знак интеграла, то вместо написанного интеграла получили бы традиционную формулу Блоха (г. В1осЬ, ! 930) (в литературе ее чаще называют формулой 1)зюнайзена (Е.
Огбпе1звп, 1933), который сопоставил формулу Блоха с экспериментом), в которой под интегралом вместо множителя (1+ е ') ' стоит (х/2) . (1 — е *) '. Величина Е(ря) имеет характерную температурную зависимопь: Ео — — = Ео ' — Г(5)((5) — й о У В ~' Ф Ео-24,18 ~ — ) в случае В чК Во, '1,8о) оо!е Ео ! — х' 4х ~ — ) = Ео — . — в случае 8 > Во ) 2 18о) 8 Во о (мы учли, что Г(5) = 4!, ~(5) = 1,0369... ), которая целиком переносится на удельное сопротивление 1 3(2тб)з ~вз вслучае Вч;Во, — — Е(.)- и 1блтпезея ~ 8 в случае В Ъ Во.
При соответствующем подборе величины Во эта температурная зависимость достаточно хорошо оправдывается на эксперименте (рис. 206). параметры (Во)л в градусах Кальвина, подобранные из сооброскений максимального совпадения эксперимента с теорией, приведены в таблице для некоторых металлов. 6. Сделаем несколько замечаний ло поводу полученного результата.
а) Появление зависимости р ° Вз при В ~ Во казалось бы, можно было Предвилеть заранегс обшее число фононов Вт, а так как е и'. ря, рассеяние происходит на малые углы и 1 — сов уз дает фактор ° дз, то это доводит общую 347 Ь 7. Лоренцвеа форма онлгеарала ояалннаввной 0,2 О,1 1 0 200 400 600 й 'С 0,1 0,2 Рнс. 206. Удельное сопротивление нвгаллов при ни1ких температурах (закон р В ). Параметры Во приведены в таблице Рнс.
207. Отклонение сопротивления нвкогорых нег»плов от линейного за- кона степень до Вз. Однако привлекательность этой интерпретации обманчива, так как из рассуждения полностью выпадает структура амплитуды взаимодействия Ф(0), которая, как мы показали выше, существенно влияет на зависимость Е от В. Наоборот, при В 2» Во влияние Ф(0) на образование температурной зависимости Е фактически пропадает, так как появляющаяся зависимость Е ° Ф связана с релей-лжинсовской аппроксимацией средних чисел заполнения для фононов, Р ~В/( О). б) В области В Ъ Во линейный закон р ° В выполняется для большинства металлов. Учет поправочных членов по (Во/В)з, так же как и в теории теплоемкости, объясняет существующее у некоторых металлов (Ре, Сц, А8) отклонение р кверху от линейного закона (рис.
207), а поправки по (В/ср)' (см. задачу 58), которые редко преобладают ндд первыми, — отклонение графика книзу (Рд, Рг). в) В области промежуточных температур формула для р является интерполяционной, и ей свойственны все недостатки, характерные для формул такого типа. Прежде всего параметр (Во)д, определяемый с помощью сопоставления теории с экспериментом по измерению сопротивления, не совпадает с дебаевской температурой (Во)с, опреде11яемой из сопоставления с экс- 400 (Во)с периментом графика лля теплоемкости. Расхождение составляет проценты (есть случаи, (В )л когда и более 10%). На рис.
208 приведен слу- 200 чай, когда заметны не только эти расхождения, но и слабая зависимость этих параметров от температуры. 0 25 50 75 В, К г) В области низких температур суше- Рис.208. твнпврагурнаязависиность огненное влияние на температурную зависи- паранвгроа (Во)я и (Во)с для лития мость р оказывает зависимость от 0 амплитуды взаимодействия Ф(а). Формула Блоха для случая Фз(д) ° а дает р ° В', но этот закон соблюдается скорее как исключение (в логарифмической шкале это особенно хорошо заметно). Если записать р В», то окажется, что для ряда металлов, У, 348 Глава 5. !!инетпичеслие уравнение е сглоппкглочеслоо мехомоне !чЬ, Та, параметр й лежит в области 3,5 < )с < 4, для Р! и % й , дл % й 4, я Ве РЬ, !г — 4,5 < я < 5 и т.д.
(все в основном переходные металлы). В каждом частном случае можно найти причины отклонения от закона Блоха, но это уже будут частные задачи. д) В области низких температур сопротивление, связанное с рассеянием на решетке, спадает до нуля, но так как идеальных кристаллических решеток без примесей и дефектов не бывает, то ранее незаметные эффекты, связанные с рассеянием электронов на этих неоднородностях, начинают играть главную роль. менно они определяют так называемое остаточное сопротивление. Так как процессы рассеяния на аюмвх примеси и на фононах практически независимы, то и удельное сопротивление приобретает аддитивное строение Р = Рп«ж + Рппим Эта особенность р была подмечена еще Матиссеном (А.
Ма!тп!еззеп, 18б2). Решетчатое сопротивление мы только что рассчитали, а примесное — несколько ранее (см. и. б) этого параграфа). Характерно, что в отличие от р, р„„„„слабо зависит от температуры, но пропорционально концентрации рассеивающих центров и,. Обозначим буквой х относительную (по отношению к числу ячеек в решетке) концентрацию примеси, тогда р х при х « 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
