Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем (1185128), страница 69
Текст из файла (страница 69)
дг, др, дй С точностью до мнсскителя — это правая часть уравнения для Р) (1, гн р~) дв)(1 г~ Р1) 1 ( Р2 Р2 д( и ( пь дК вЂ” — Р2(рн Рг, й ! Р~) бй 4~рг. Прежде чем подставить в правую часть Е2(хн х2 ! Р)) = и2(1, 2)л) (1, х~)Е~ (1, хг), заметим, что в пространственно однородном случае, когда Р, от г~ вообще не зави- сит, дп'(!)6~((,гор~) =Р) (,г~+ — т,рь =Р)((,гнрд, т.е Яг(')(1) = 1 и о2(1,2) = 1цп Я,(1,2).
ьа Используем вновь цилиндрическую систему координат с осью л вдоль вектора и = (О, О, ц) (см. рис. 199), получим после подстановки функции Р2 дв)(г,г~ Р)) 1 Г Г Г Г д = — / а(~ / оба / б(2 и / — сг2(1,2)зч((,х~)Р)((,х2) с(х = д( иl l l l д. о о -са 1 Г (2) ) ь +00 / ирзио2и!пп и-,(! 2)Р)(1 х~)Р~(1. х2)( и а ю М= СО При х = — со оператор 8 „отодвигая частицы в прошлое, к столкновению их не приводит, поэтому нижняя подстановка дает -Р,(1, р~)Р,(1, р,); при л = +со оператор Я, в случае в < Ле приведет частицы (обратным ходом) к столкновению (Рн Р2) — (Рн Р2), где Р' и р2 — импульсы частиц после столкновения, являющиеся функциями начальных импульсов, а также величин а, р и взаимодействия Ф(В), так что верхняя подстановка дает Г1 (1, р',)Р1(1, р2); а в случае а ) Вс столкновения вообще не будет, частицы пролетят мимо друг друга и р', = ры рз = Р2 (так Что 320 Глава 5. Кинетическое уравнения в ствтиппичегкой механике интеграл по прицельному расстоянию автоматически ограничивается областью О < а < Вв).
В итоге получаем известный уже нам интеграл столкновений Больцмана: дР,(э,г,р) 1 Г = — з( (вз (1, г, р', )г/э (1, г, р ) — Щ, г, рэ)вэ (1, г, р)) в Йи ар. Мы намеренно так подробно остановились на методе Боголюбова получения кинетического уравнения для систем, в которых Ввз/в « 1, чтобы на этом несложном примере нролемонстрнровать автоматизм и замкнутость этой процедуры, которые сохраняются и при построении высших приближений.
Уравнение Больцмана из уравнения Лиувнлля можно было бы получить и проще, как это сделал, например, Кирквуд (1. К1/Ьчоск1, 1947), усреднив уравнение Лиувнлля по Ы Ъ тя/, т. е. введя более грубую шкалу времени, в которой дЕг/дэ = О, и аппроксимируя появляющуюся в интеграле столкновений разность Рг — Рг комбинацией У'~,' — Э'Э з. При этом несколько смазывается динамическая природа приближения, соответствующего уравнению Больцмана, что и нриводило к трудностям при построении дальнейших приближений.
В метоле Боголюбова построение следующего приближения связано с учетом не только парных (уже в первом приближении), но и тройных корреляций (в нулевом приближении), удовлетворяющих условию Рэ(1 вз вг вэ) = Рз(вз вы вэ ! Рз) = из(1. 2 3)Т(1 в/Ю(1 вг)Р/(1 вз) Интеграл столкновений при этом приобретает структуру н дР~ эз 1 /" ) = / /зЧ~ "ЧгПг(вз ~Ч~ Чг)Р/(1 Чз)гэ(1 Чг)+ ст 1 / + — г / йЧ~ йЧгйЧзПз(*з! Чэ Чг Чз)Р/(1,Ч/)Р/(1 Чг)рь(1.Чз)+" в которой оператор Пг был уже нами получен: дФ(згг — гэ~) д Йг(в~ ! Ч„Чг) = йгг /эрг ° — иг(1> 2) б(рз — Чз) 6(рг — Чг).
дгз др~ Структура Пэ конечно, намного сложнее, она включает учет не только различных по последовательности парных соударений в системе трех тел, но и сами тройные соударення; и простой наглядной интерпретации, какую имеет первое слагаемое в этом «разложении» интеграла столкновений (см. и. а) этого параграфа), тройная часть не имеет.
в) Лемма Больцмана и некоторые общие ее следствия Рассмотрим интеграл, представляющий собой свертку некоторой функции Ф(Р) с интегралом столкновений Больцмана, / и/) /Р= / Ф(Р)(/( ° //ь) /ь з/~/зэ / ///Р дс (мы будем фиксировать здесь только импульсные аргументы у функций у и Ф). Запишем этот же интеграл еще в трех видах. Меняя частицы местами, т.е.
заменяя р / рэ, имеем ~= /Ф(р)(~(Р')У(р') — У(р)У(р))вд й 1рз. 322 !Лава 5. Кимегаичесяие уравнения е отатиояичесхай мехамихе где к — этолюбая изкомпонентвекторов р или г (мы учли, что йг(г, г, р) ~, - 0), мы будем иметь, что в выражении для скорости изменения функции Рг'(!) останется только член, включающий интеграл столкновений, з Воспользовавшись леммой Больцмана, получим 1 г /дУ 1 Ир аг Ф(г) = — / (1п У + 1п У~ — ! и У' — 1п У;) ~ — ) 4й ~, дг )„(2яй)ь ! / У'У;" ийидр1 дранг ( ~ ~ ) Так как конструкция, стоящая под знаком интеграпа, всегда неотрицательна, а ~)0 при а~Ь, (а — Ь) 1п— Ь (=О при а=Ь, то мы приходим к неравенству аЯ' — <О, а! которое, собственно, и составляет содержание Рс-теоремы Больцмана.
Таким образом, мы получили, что, в отличие от уравнения Лиувилля, являющегося уравнением механики, уравнение Бопьцмана описывает необратимую во времени эволюцию системы. Связана ли и в каком смысле величина ру' с термодинамической энтропией или нет — это уже частный вопрос, важен сам факт получения необратимого во времени прямого следствия уравнения Больцмана (согласно решению задачи 5 аналогичная функции Зг" величина, но введенная с помощью функции распределения, соответствующей чистому механическому состоянию, во времени вообще не меняется).
Еше раз отметим те моменты, которые привели к появлению этой необратимости. Во-первых, мы перешли в функции Ь' (С, я) к кинетической шкале времени (уже не механической), сгладив тем самым процессы в масштабе сьг ° т (это не причина необратимости, а только предпосылка ее появления). Во-вторых, несмотря на то, что время как динамический параметр благодаря переходу к кинетической шкале в интеграле столкновений выпало, мы сохранили его направление, точно зафиксировав понятия до» и «после» (это и дало комбинацию Р,' -Х~ = У У~ -01).
В математическом аспекте выбор характера необратимости при рассмотрении цепочки Боголюбова произошел вследствие принятия граничного условия, выражающего принцип ослабления корреляции (см. 05-6)). Если же в операторе а,(1,..., в) вместо т — оо положить т - — со (т. е. поменять прошлое и будущее), то мы получим интеграл столкновений с другим знаком, и функция Ж будет уже возрастать во времени. Подобная ситуация не единственна в теоретической физике, достаточно вспомнить задачу рассеяния, в которой помимо физически осмысленного решения существует и решение типа сходящихся волн, которое выбираемому при постановке задачи граничному условию на бесконечности не удовлетворяет и поэтому автоматически отбрасывается.
Монотонный характер изменения функции ру'(!) еще не означает, что система участвует в релаксационном процессе. Для этого необходимо, чтобы предельное значение 3с (оо) = Яа было конечным, как это изображено на рис. 200 (иначе величина 5 б, Кинегпочесное уравнение Больцнано 323 п(г) = дг(г, р) Ир (2яй)э — локальная плотность числа чартиц; — локальная средняя скорость; 2 (р — ро(г))э 3 2т — локальная температура. Рг(1) при 1 - +со «провапивалась» бы в -сю).
Конечно, мы чисто интуитивно полагаем, что предельное при 1 — +ос решение, следующее из уравнения Больцмана, соответствует описанию термодинамически равновесного состояния системы. В задаче 32 показано, что цепочка уравнений лля кинетических функций распределения в стационарном случае дР,/д1 = О содержит в себе цепочку уравнений дпя равновесных функций Р„О Ф построенных на основе распределения Гиббса, т.
е. рис. 2ОО. характер эволюции равновесные функции Р, удовлетворяют цепочке З~-функции Бок»пивка кинетических уравнений, однако то, что они одновременно являются и предельными при 1 — +со, нам приходится принимать как «само собой разумеющуюся» аксиому или как своеобразное граничное условие. Выясним теперь, какая функция дг соответствует предельному значениюфункции Рг(со) = Руо, когда д'г« /д1 = О.
Так как под интегралом, определяющим эту производную, стоит неотрицательная величина, то интеграл равен нулю только в случае дг7,ф« 1п — ' (д!" 9~' — двУ'~) = О. дгйг! Обратим сразу внимание, что функция ~, удовлетворяющая этому функциональному уравнению, обращает в нуль и интеграл столкновения Больцмана. Если записать это уравнение в виде 1и Ыг(г, р) + 1п Ыг(г, р!) = 1п Ыг(г,р') + 1и Зг(г, р!), то становится ясным, что 1пУ'+!пУ~' представляет собой любую адаптивную величину, сохраняющуюся в задаче об упругом столкновении двух тел, и любую их линейную комбинацию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
